1、1知识点 20 二次函数几何方面的应用1. （2018 贵州遵义，17 题，4 分）如图，抛物线 y=x2+2x-3 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，点 P 是抛物线对称轴上任意一点，若点 D、E、F 分别是 BC、BP、PC 的中点，连接 DE、DF，则 DE+DF 的最小值为_第 17 题图【答案】 32【解析】点 D、E、F 分别是 BC、BP、PC 的中点，所以 DE、DF 是PBC 的中位线，DE= 12PC，DF= PB，所以DE+DF= 12(PC+PB)，即求 PC+PB 的最小值，因为 B、C 为定点，P 为对称轴上一动点，点 A、B 关于对称轴对称，所以
2、连接 AC，与对称轴的交点就是点 P 的位置，PC+PB 的最小值等于 AC 长度，由抛物线解析式可得，A(-3,0)，C(0,-3)，AC= 3，DE+DF= 12(PC+PB)=32【知识点】三角形中位线，勾股定理，二次函数，最短距离问题2. （2018 江苏淮安，14，3） 将二次函数 y=x2 -1 的图像向上平移 3 个单位长度，得到的图像所对应的函数表达式是 .【答案】y=x 2+2【解析】由平移规律“左加右减” 、 “上加下减” ，可得平移后的解析式.解：. 由平移规律，直线 y=x2 -1 向上平移 3 个单位长度，则平移后直线为 y=x2 -1+32即 y=x2 +2故答案为
3、 y=x2 +2【知识点】二次函数图象与几何变换3. （2018 山东省泰安市，17，3）如图，在 ABC中， 6， 10BC， 3tan4，点 D是 AC边上的动点（不与点 C重合） ，过 D作 E，垂足为 E，点 F是 D的中点，连接 EF，设 x，DEF的面积为 S，则 与 x之间的函数关系式为 【答案】 235Sx【解析】 ，由 tan4C可以知道线段 DE、 EC 的数量关系， CDx，则由勾股定理，可以将 DE、 EC 用含 x 的代数式来表示，由点 F是 BD的中点，则 1=2DEFBES,从而列出 S与 之间关系式.解： 3tan4 设 3,4.kC，由勾股定理得： 5k. C
4、Dx， ,.5E 10.5BEk点 F是 B的中点 2343=()25DFSxx故答案是： 235Sx【知识点】三角函数，勾股定理，三角形中线性质，二次函数.4.35.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.25.26.27.28.29.430.31.32.33.34.35.36.37.38.39. 三、解答题1. （2018 湖北鄂州，23，12 分）如图，已知直线 12yx与抛物线 2yaxbc相交于 A(-1，0)， B（4，m）两点，抛物线yaxbc交 y 轴于点 C（0， 3） ，交 x 轴正半轴于 D 点，抛物线的顶
5、点为 M（1）求抛物线的解析式及点 M 的坐标；（2）设点 P 为直线 AB 下方的抛物线上一动点，当 PAB 的面积最大时，求此时 PAB 的面积及点 P 的坐标；（3）点 Q 为 x 轴上一动点，点 N 是抛物线上一点，当 QMN MAD（点 Q 与点 M 对应） ，求 Q 点的坐标【思路分析】 （1）将 B（4， m）一次函数的关系式即可解得点 B 的坐标，再将 A、 B、 C 三点的坐标代入二次函5数关系式即可求出其关系式，再将其化为顶点式就能得到点 M 的坐标；（2）过点 P 作 PE x 轴，交 AB 于点E，交 x 轴与点 G，过点 B 作 BF x 轴于点 F，则 S CDE
6、1PEAF，求出直线 AB 的关系式，设点 P 的坐标为（ m， 132） ，则点 E 的坐标为（ m， 2） ，即可得到 S CDE的函数关系式，将其化为顶点式即可求出最大值；（3）由勾股定理的逆定理可证得MAD 是等腰直角三角形，则 QMN 也是等腰直角三角形，从而得到点 Q 的坐标【解析】解：（1）将 B（4， m）代入 12yx得， 1542m ， B（4， 52） ，将 A(-1，0)， B（4， 52） ，C（0， 32）代入 yaxbc得0516423abc，解得132abc，抛物线的解析式为132yx， 11122yxxx，故顶点 M 的坐标为（1，2） ；（2）如下图（1）
7、，过点 P 作 PE x 轴，交 AB 于点 E，交 x 轴与点 G，过点 B 作 BF x 轴于点 F， A(-1，0)，B（4， 5） ， AF4（1）5，设直线 AB 的关系式为 y kx b，设点 P 的坐标为（ m， 32） ，则点 E 的坐标为（ m， 12） ， 点 P 为直线 AB 下方， PE（ 12m）（1） 12m， S CDE S APE S BPE 12PEAG PEFG PE（ AG FG） 2PEAF 5（ 32） 535416x，当 3m时， PAB 的面积最大，且最大面积为 156，当 2m时，2118m，故此时点 P 的坐标为（ 32， 158） ；（3）抛
8、物线的解析式为 32yx， 2yx，抛物线的对称轴为：直线 x1，又 A(-1，0)，点 D 的坐标为（3，0） ，又 M 的坐标为（1，2） ， AD3（1）4， AD24 216， AM2（13） 2（13） 28， DM2（31） 2（20）28， AD2 AM2 DM2，且 AM DM，MAD 是等腰直角三角形， AMD90，又 QMN MAD， QMN 也是等腰直角三角形且QM QN， MQN90， QMN45，又 AMD90， AMQ QMD45，此时点 D（或点 A）与点 N 重合， （如下图（2） ）此时 MQ x 轴，故点 Q 的坐标为（1,0） 6【知识点】二次函数关系式；
9、顶点式；一次函数；相似三角形的性质；等腰直角三角形的性质和判定；勾股定理的逆定理；三角形面积公式2. （2018 湖北黄冈，24 题，14 分）如图，在直角坐标系 XOY 中，菱形 OABC 的边 OA 在 x 轴正半轴上，点B，C 在第一象限，C=120，边长 OA=8.点 M 从原点 O 出发沿 x 轴正半轴以每秒 1 个单位长的速度作匀速运动，点 N 从 A 出发沿边 AB-BC-CO 以每秒 2 个单位长的速度作匀速运动.过点 M 作直线 MP 垂直于 x 轴并交折线 OCB与 P，交对角线 OB 与 Q，点 M 和点 N 同时出发，分别沿各自路线运动，点 N 运动到原点 O 时，M
10、和 N 两点同时停止运动.（1）当 t=2 时，求线段 PQ 的长；（2）求 t 为何值时，点 P 与 N 重合；（3）设APN 的面积为 S，求 S 与 t 的函数关系式及 t 的取值范围.第 24 题图【思路分析】 （1）由题可知 RtPOM 中，POM60，RtQOM 中，QOM30，当 t2 时，OM2，可得PM 和 QM 的长度，进而求得 PQ；（2）根据点 P 和点 N 的运动速度，可知点 P 和点 N 在边 BC 上相遇，因为BC=8，用含有 t 的代数式表示出 PC 和 NB 的长度，二者之和为 8，解方程可得 t 的值；（3）根据（2）中的分7析，可以将运动的过程分为 4 个
11、阶段：0t4，4t 203， t8，8t12，前 3 个阶段，边 PN 都与 x 轴平行，求出 PN 长度和点 P 到 x 轴距离即可求出APN 的面积，第 4 个阶段，APN 的三边与坐标轴都不平行，因此，由 APNAONCPAB=SSS 菱 形 ，其中菱形面积易求，三个三角形都有一边与 x 轴平行，可以逐个求出面积，从而得到APN 的面积。【解析】 （1）菱形 OABC 中，AOC60，所以 RtPOM 中，POM60，RtQOM 中，QOM30，当t2 时，OM2，可得 PM 23，QM ，所以 PQ 43；（2）当 t4 时，AN=PO=2OM=2t， 当 t=4 时，P 到达 C 点
12、，N 到达 B 点，由此可推断，点 P、N 在 BC 上相遇，设 t 秒时，点 P 与 N 重合，则 PC=t-4，BN=2(t-4)，PC+BN=BC=8，即(t-4)+2(t-4)=8，t= 203，即 t= 时，点P 与 N 重合；（3）当 0t4 时，PN=OA=8，且 PNOA，PM= 3t， 118422APNSMt当 4t 20时，P、N 在边 BC 上，所以 PNOA，PN=8-3(t-4)=20-3t，112034036APNSMtt当 203t8 时，P、N 相遇后还在 BC 边上运动，所以 PNOA，PN=3(t-4)-8=3t-20，1132046340APNStt当
13、8t12 时，如图所示，ON=24-2t，N 到 OM 距离为 123t，N 到 CP 距离为4312383t，CP=t-4，BP=12-t，APNAONCPAB2=113813438243256SSSttttt 菱 形综上所述，S 与 t 的函数关系式为：8243,(0t4)206,t)3,(83156,(t12)Stt 第 24 题解图【知识点】菱形，三角函数，一元一次方程，三角形面积，分段函数3. （2018 湖南郴州，25，10） 如图，已知抛物线 2yxbc与 x轴交于 A（-1，0） ，B（3，0）两点，与 y轴交于 C 点，点 P 是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点 P 的横
14、坐标为 t.（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴为 l，与 x轴的交点为 D，在直线 l上是否存在点 M，使得四边形 CDPM 是平行四边形？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图 2，连接 BC，PB，PC，设PBC 的面积为 S，求 S 关于 t的函数表达式；求 P 点到直线 BC 的距离的最大值，并求出此时点 P 的坐标.9【解析】解：（1） 2yxbc与 x轴交于 A（-1，0） ，B（3，0） ， 093bc，解得： 3c，抛物线的表达式为： 23yx；（2）抛物线的表达式为： 2yx，抛物线的对称轴为 12ba，C 点的坐标为（0，3） ，D 点的坐
15、标为（1，0） ，点 P 的横坐标为 t，且点 P 在抛物线 yx上，P 点的坐标为（ t，23t） ，设 M 点的坐标为（ 1， a） ，分两种情况讨论：M 点在 x轴的上方，当四边形 CDPM 是平行四边形，且 C、P 和 D、M 分别是一组相对的顶点时，设平行四边形的对角线的交点为 N，根据平行四边形对角线互相平分，则 N 点的坐标可表示为（ 02t，23t）或（1， 02a） ， t=1，23t= 0a，解得： t=2， a=6, M 点的坐标为（1，6） ；M 点在 x轴的下方，当四边形 CDMP 是平行四边形，且 C、M 和 D、P 分别是一组相对的顶点时，设平行四边形的对角线的交
16、点为 N，根据平行四边形对角线互相平分，则 N点的坐标可表示为（ 2， 3a）或（ 12t，23t） ， 12=t， 3a=2t，解得： t=0， a=0, M 点的坐标为（1，0） ，此时 M 点和 D点重合，且 P 点不在第一象限，C、D、M、P 四点不能形成平行四边形，故不存在；10综上，点 M 的坐标为（1，6） ；（3）B（3，0） ，C（0，3） ，OB=3，OC=3，设 P 点的坐标为（ t， 23t） ，过点 P 分别作 PE x轴，PF y轴，垂足分别为 E、F，PE= 23t，PF= t，连结 OP，则： POCBOCSS211332tt2tt22339ttS 关于 t的函
17、数表达式为 S= 2t；B（3，0） ，C（0，3） ，OB=3，OC=3，BC= 32，设 P 点到直线 BC 的距离为 h，则PBC 的面积 S=122h=，S= 239t， 3h= 29t，()2ht=- 22 3948t t-+-+，当 t= 32时， h有最大值为 98，此时 P 点的坐标为（ 2， 154）.【知识点】 二次函数，平行四边形的判定，三角形面积，二次函数的最值26 （2018 湖南郴州，26，12）在矩形 ABCD 中，ADAB，点 P 是 CD 边上的任意一点（不含 C，D 两端点） ，过点 P 作 PFBC，交对角线 BD 于点 F.（1）如图 1，将PDE 沿对
18、角线 BD 翻折得到QDF，QF 交 AD 于点 E.求证：DEF 是等腰三角形；（2）如图 2，将PDF 绕点 D 逆时针方向旋转得到PDF，连接 PC，FB，设旋转角为 a()08a0)（1）证明：该抛物线与 x 轴总有两个不同的交点；（2）设该抛物线与 x 轴的两个交点分别为 A， B(点 A 在点 B 的右侧)，与 y 轴交于点 C， A， B， C 三点都在 P上试判断：不论 m 取任何正数， P 是否经过 y 轴上某个定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由；若点 C 关于直线 2x的对称点为点 E，点 D(0，1)，连接 BE， BD， DE， BDE 的周长记为 l， P
19、的半径记为 r，求 l的值【思路分析】 （1）根据二次函数和一元二次方程的关系，利用一元二次方程根的判别式来判断抛物线与 x 轴交点个数；（2）分别求出（或用 m 表示）点 A、 B、 C 的坐标，画出示意图，利用“同弧所对的圆周角相等”证明两三角形有两角对应相等，然后利用相似求出定点坐标 （3）先由对称性求出点 E 的坐标，再根据E（ m，2 m4） ， B（ m2，0） ， D（0，1）用 m 分别表示 BE2， BD2， DE2用勾股定理逆定理证明 DBE90，然后求出直角三角形三边比例，求 lr的值【解析】（1）令 y0，则 x2 mx2 m40 m2 m(2 m4) m28 m16(
20、 m4) 2，又m4，( m4) 20此方程总有两个不相等的实数根，抛物线与 x 轴总有两个不同的交点；28（2）设 P 经过 y轴上的另一个交点 F令 y0，则 x2 mx2 m40( x2)( x m2)0 x12， x2 m2又 m4，点 A 在点 B的右侧 A（2，0） ， B（ m2，0） 当 x0 时， y2 m4， C（0，2 m4） 则AO0， BO m2， CO2 m4 BCO BAF， CBO AFO， BCO FAO =FOC，=4FO FO1，点 F（1，0） xy ABCOF点 C（0，2 m4）关于直线 x 2m的对称点为点 E， E（ m，2 m4） ，又 B（
21、m2，0） ，D（0，1） BD2( m2) 21 2 m24 m5， DE2(2 m5) 2 m25 m220 m25, BE22 2(2 m4)24 m216 m20 BD2 BE2 DE2 DBE90 DE 是 P 直径 BD2( m2)21 2 m24 m5， BE22 2(2 m4) 24 m216 m20 21=4BDE 12设 BD a， BE2 a，则 DEa lr 32a 106529xyEABCOD【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图像与坐标轴的交点问题；勾股定理；轴对称的性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质10. （2018 贵州遵义，27 题，14 分
22、）在平面直角坐标系中，二次函数 253yaxc的图像经过点 C(0,2)和点 D(4,-2)，点 E 是直线 123yx与二次函数图像在第一象限内的交点。（1）求二次函数的解析式及点 E 的坐标；（2）如图，若点 M 是二次函数图像上的点，且在直线 CE 的上方，连接 MC，OE，ME，求四边形 COEM 面积的最大值及此时点 M 的坐标；（3）如图，经过 A、B、C 三点的圆交 y 轴于点 F，求点 F 的坐标。第 27 题图【思路分析】 （1）由待定系数法可得 a 和 c 的值，进而得到二次函数解析式，联立两个函数解析式可得交点30E 的坐标；（2）分析四边形 COEM 是由COE 和CM
23、E 组成的，而COE 面积已经确定，CME 中 CE 确定，点 M位置不确定，因此以 CE 为底，M 到 CE 的距离则为高，因为 M 在抛物线上运动，作一条与 CE 平行的直线，当它与抛物线相切时，两直线距离最远，即三角形的高最大，切点即为 M 点，设出直线的解析式，与抛物线联立得到一元二次方程，令=0，可得直线解析式，进而求出点 M 坐标，求得四边形面积；（3）连接 BF、AC，可得ACO=ABF，则AOCFOB，通过边的比例关系得到 OF，进而得到 F 坐标。【解析】（1）因为二次函数 253yaxc的图像经过点 C(0,2)和点 D(4,-2)，由此可得2=56423ca，解得 2c，
24、二次函数解析式为 253yx，与 123yx联立，得x1=0（舍去） ，x2=3，此时，y=1，故 E(3,1)。（2）S 四边形 COEM=SCOE +SCME ，S COE = 12ECOx，因为 C(0,2)，E(3,1)，所以 SCOE =3，S CME = 12CEh，其中 h 为点 M 到 CE 的距离，因为 M 在抛物线上运动，因此当平行于 CE 的直线与抛物线相切于点 M 时，h 最大，从而面积最大，设 l: 3yxb，与 253y联立，得 1533xbx，=36+8(6-3b)=0，b= 72，此时点 M 坐标为( ,3)，过 M 作 MNy 轴，交 CE 与点 N，在 12y中，令x= 32，得 y= ，N( , )，所以 SCME = 12CENx= 94，所以 S 四边形 COEM=SCOE +SCME = 4第 27 题解图（3）在 253yx中，令 y=0，得 12573573,44xx， 573,44OAB，连接 BF，AC，因为ACO=ABF，AOC=FOB，所以AOCFOB，则 CF，所以 25734F，得，OF= 32，所以 F(0,- 32)
