1、1知识点 30 直角三角形、勾股定理一、选择题1. （2018 山东滨州，1，3 分）在直角三角形中，若勾为 3，股为 4，则弦为（ ）A5 B6 C7 D8【答案】A【解析】三角形为直角三角形，三边满足勾股定理，弦为： 23+45【知识点】勾股定理2. （2018 四川泸州，8 题，3 分） “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲.如图 3 所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形较长直角边长为 a,较短直角边长为 b,若 ab=8，大正方形的面积为 25,则小正方形的边长为（ ）A. 9 B.6 C. 4 D.3第
2、 8 题图【答案】D【解析】因为 ab=8，所以三角形的面积为 21ab=4，则小正方形的面积为 25-44=9，边长为 3【知识点】勾股定理，三角形面积，平方根3. （2018 年山东省枣庄市，12，3 分）如图，在 ABCRt中， 09， ABCD，垂足为 ，AF平分 CB，交 D于点 E，交 于点 F.若 5,3，则 E的长为（ ）2A 23 B 34 C 35 D 58【答案】A【思路分析】在 ARt中， AB， F平分 CAB，可知 CE=CF，过 F 作 FH 垂直于 AB，FH=CF，在RtFBH 中设 CF=x，利用勾股定理列方程求出 CF 的长，从而得到 CE 的长.【解题过
3、程】解：在 Ct中， D，ACD=B， A平分 CB，CAF=BAF，CEF=CFE，CE=CF，如图，过点 F 作 FGAB， 平分 ，CF=FG，AG=AC=3，BG=2，设 CF=FG=x， 5,3ABC，BC=4，则 BF=4-x，在 RtFBG 中，22(4)x，解得 3x，即 CE=CF= 2，故选 A.ECA BDFG【知识点】勾股定理；角平分线的性质；等腰三角形4. （2018 湖南长沙，11 题，3 分）我国南宋著名数学家秦久韶的著作数书九章里记载有这样一道题目：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三边
4、长分别为 5 里，12 里，13 里，问这块沙田面积有多大？题中的“里”是我国市制长度单位，1 里=500 米，则该沙田的面积为（ ）A.7.5 平方千米 B.15 平方千米 C.75 平方千米 D.750 平方千米【答案】A【解析】将里换算为米为单位,则三角形沙田的三边长为 2.5 千米,6 千米,6.5 千米,因为 2.52+62=6.52，所以3这个三角形为直角三角形,直角边长为 2.5 千米和 6 千米，所以 S= 1262.5=7.5(平方千米)，故选 A【知识点】勾股定理的逆定理，三角形面积5. (2018 山东青岛中考，6，3 分)如图，三角形纸片 ABC，AB=AC，BAC=9
5、0，点 E 为 AB 中点沿过点 E 的直线折叠，使点 B 与点 A 重合，折痕 EF 交 BC 于点 F已知 32E，则 BC 的长是（ ）A 32 B 32 C3 D 3 【答案】B【解析】AB=AC，BAC=90，B=45由折叠的性质可得BEF=90，BFE=45，BE=EF= 32点 E 为 AB 中点，AB=AC=3在 RtABC 中，BC= 2ABC+= 23= 故选 B【知识点】折叠的性质；等腰三角形的性质与判定；勾股定理；6.（2018 山东省淄博市，12，4 分）如图， P 为等边三角形 ABC 内的一点，且 P 到三个顶点 A、 B、 C 的距离分别为 3、4、5，则 AB
6、C 的面积为（A）9+ 2 （B）9+ 253 （C）18+ 253 （D）18+ 2534图12图AB CP【答案】A【思路分析】将 APB 绕点 A 逆时针旋转 60得到 AHC，作 AI CH 交 CH 延长线于点 I，则 APH 为等边三角形，利用已知线段证明 PHC 为直角三角形，从而得到 AHC=150， AHI=30，求得 AI、 IH，进而求得IC，利用勾股定理求出 AC，再利用正三角形面积公式求出三角形 ABC 的面积.图12图AB CPHI【解题过程】将 APB 绕点 A 逆时针旋转 60得到 AHC，作 AI CH 交 CH 延长线于点 I，则 APH 为等边三角形， H
7、A=HP=PA=3， HC=PB=4， PC=5， PC2=PH2+CH2， PHC=90， AHI=30， AI= 32， HI= ， CI=32+4， AC2=（ 3） 2+（ +4） 2=25+12 3，S ABC = 34AC2= （25+12）=9+ 54.【知识点】图形的旋转的性质；解直角三角形；正三角形的面积；勾股定理及逆定理1. （2018 湖北黄冈，5 题，3 分）如图，在 RtABC 中，ACB=90，CD 为 AB 边上的高，CE 为 AB 边上的中线，AD=2，CE=5，则 CD=（ ）5A.2 B.3 C.4 D.23第 5 题图【答案】C【解析】在 RtABC 中，
8、CE 为 AB 边上的中线，所以 CE= 12AB=AE，因为 CE=5，AD=2，所以 DE=3，因为 CD 为 AB边上的高，所以在 RtCDE 中， 2CDE=4，故选 C【知识点】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理2. （2018 四川凉山州，3，4 分）如图，数轴上点 A 对应的数为 2， AB OA 于 A，且 AB1，以 O 为圆心， OB长为半径作弧，交数轴于点 C，则 OC 长为（ ）A.3 B. 2 C. 3 D. 5 【答案】D【解析】 AB OA 于 A， OAB=90.在 Rt OAB 中，由勾股定理得OB= 2251OB. OC=OB= 5.故选择 D.
9、【知识点】直角三角形的判定，勾股定理，尺规作图.6二、填空题1. （2018 年山东省枣庄市，15，4 分） 我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作数书九章一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式.即：如果一个三角形的三边长分别为 cba,，则该三角形的面积为2221()4abcs，已知 ABC的三边长分别为 1,25，则 ABC的面积为 .【答案】1【解析】方法一：把 1,25代入三角形的面积得 21541()0164s，故填 1.方法二：由 ABC的三边长分别为 1,25，根据勾股定理的逆定理得 ABC是直角三角形，其面积为12，故填 1.【知识点】二次根式；勾股定理的逆定理2. （2
10、018 四川省成都市，14，4）如图，在矩形 ABCD 中，按以下步骤作图：分别以点 A 和 C 为圆心，以大于 12AC 的长为半径作弧，两弧相交于点 M 和 N；作直线 MN 交 CD 于点 E，若 DE2， CE3，则矩形的对角线 AC 的长为 【答案】 30【思路分析】因为由作图可知 MN 为线段 AC 的垂直平分线，则有 AE CE3，在 Rt ADE 中，由勾股定理可以求出 AD 的长，然后再在 Rt ADC 中用勾股定理求出 AC 即可【解析】解：连接 AE，由作图可知 MN 为线段 AC 的垂直平分线， AE CE3，在 Rt ADE 中， 2AE 2D72DE， AD 2AE
11、D 5，在 Rt ADC 中，AC ， CD DE CE5， AC 25 30【知识点】尺规作图；线段垂直平分线的性质；勾股定理3. （2018 天津市，18，3）如图，在每个小正方形的边长为 1 的网格中，ABC 的顶点 A，B，C 均在格点上.（1）ACB 的大小为 （度） ；（2）在如图所示的网格中，P 是 BC 边上任意一点.A 为中心，取旋转角等于BAC，把点 P 逆时针旋转，点 P 的对应点为 P.当 CP最短时，请用无刻度的直尺，画出点 P，并简要说明点 P的位置是如何找到的（不要求证明） 【答案】90; 如图，取格点 D，E，连接 DE 交 AB 于点 T；取格点 M，N，连接
12、 MN 交 BC 延长线于点 G；取格点F，连接 FG 交 TC 延长线于点 P，则点 P即为所求.8【解析】分析：本题考查了勾股定理及其逆定理解题的关键是分析题意并构造出如图所示的三对格点解：(1)在网格中由勾股定理得： 22 2250 505AB,34BC,183=ACABABC 为直角三角形，ACB=90(2) 如图，取格点 D， E，连接 交 AB于点 T；取格点 M， N，连接 交 BC延长线于点 G；取格点F，连接 G交 TC延长线于点 P，则点 即为所求.【知识点】勾股定理定理及逆定理；格点作图4. （2018 浙江湖州，16，4）在每个小正方形的边为 1 的网格图形中，每个小正
13、方形的顶点为格点以顶点都是格点的正方形 ABCD 的边为斜边，向内作四个全等的直角三角形，使四个直角顶点 E， F， G， H 都是格点，且四边形 EFGH 为正方形，我们把这样的图形称为格点弦图例如，在图 1 所示的格点弦图中，正方形ABCD 的边长为 65，此时正方形 EFGH 的面积为 5问：当格点弦图中的正方形 ABCD 的边长为 65时，正方形 EFGH 的面积的所有可能值是 （不包括 5） 【答案】9，13 和 49【解析】设图中直角三角形的长直角边为 a，短直角边为 b，则 a2+b265小正方形的面积为（ a b） 2只要能把长为 a 和 b 的线段在网格中画出来，并且 a 和
14、 b 的端点都在格点上即可65 可以写作 64+1 或49+16，所以 a， b 的值分别为 8，1 或 7，4此时小正方形的面积为 49 或 9图 19另外，长为 13 和 5 的线段也可以在网格中画出，所以 65 还可以写成 52+13 或 45+20，此时 a， b 的值分别为 2 13， 和 3 ，2 此时小正方形的面积为 13 和 5小正方形的面积为 9，13 和 49 对应的图形分别为下图的故填 9，13 和 49.【知识点】勾股定理1. （2018 湖北黄冈，13 题，3 分）如图，圆柱形玻璃杯高为 14cm，底面周长为 32cm，在杯内壁离杯底 5cm 的点 B 处有一滴蜂蜜，
15、此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 3cm 与蜂蜜相对的点 A 处，则蚂蚁从外壁 A 处到内壁 B 处的最短距离为_cm（杯壁厚度不计）第 13 题图【答案】20【解析】如图，点 E 与点 A 关于直线 l 对称，连接 EB，即为蚂蚁爬行的最短路径，过点 B 做 BCAE 于点 C，则RtEBC 中，BC=322=16cm，EC=3+14-5=12cm，所以 20EBCcm第 13 题解图【知识点】轴对称，勾股定理2. （2018重庆 A 卷，16，4）如图，把三角形纸片折叠，使点 B、点 C 都与点 A 重合，折痕分别为DE、 FG，得到 AGE30，若 AE EG 23厘米，则 ABC 的
16、边 BC 的长为 厘米 10【答案】4 36 【解析】如下图，过点 E 作 EM AG 于点 M，则由 AE EG，得 AG2 MG AGE30， EG 23厘米， EM 12EG （cm） 在 Rt EMG 中，由勾股定理，得 MG 22(3)(3（cm） ，从而 AG6cm由折叠可知， BE AE 23（cm） ， GC AG6cm BC BE EG GC 64 36（cm） M30FGDCBAE【知识点】翻折；轴对称；勾股定理；直角三角形的性质；等腰三角形3. （2018 江苏淮安，15，3） 如图，在份 RtABC 中， C=90，AC=3, BC=5,分别以 A、B 为圆心，大于21
17、AB 的长为半径画弧，两弧交点分别为点 P、Q,过 P、Q 两点作直线交 BC 于点 D，则 CD 的长是 .(第 15 题）11【答案】1.6【解析】本题考查勾股定理和基本作图，连结 AD,由线段的垂直平分线的性质可知 AD=BD,再由勾股定理可求得CD.解：连结 AD由作法可知 AD=BD,在 RtACD 中设 CD=x,则 AD=BD=5-x,AC=3.由勾股定理得，CD 2+AC2=AD2即 x2+32=(5-x)2解得 x=1.6故答案为 1.6【知识点】勾股定理；轴对称；线段的垂直平分线；基本作图4. （2018 山东德州，15，4 分）如图, OC为 AB的平分线， CMOB，
18、5， 4M，则点 C到射线 OA的距离为 【答案】3 【解析】因为 CMB， 5O， 4M，所以 CM=3，过点 C 作 CM OA 于 N，又因为 OC为 AB的平分线，所以 CN= CM=3，即点 到射线 A的距离为 3【知识点】勾股定理，角平分线的性质5. （2018 福建 A 卷，13，4）如图，在 RtABC 中，ACB=90，AB=6，D 为 AB 的中点，则 CD= _【答案】312【思路分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得出 CD 的值.【解析】解：在ABC 中，以ACB 为直角的直角三角形的斜边 AB=6，CD 是 AB 边上的中线，CD= 12AB=3.【知
19、识点】直角三角形6.（2018 福建 A 卷，15，4）把两个相同大小的含 45角的三角板如图所示放置，其中一个三角板的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点 A，另外三角板的锐角顶点 B、C、D 在同一直线上，若 AB= 2，则 CD=_【答案】 31-【思路分析】首先利用勾股定理计算出 BC、AD 的长，过点 A 作 AFBC，由“三线合一”及等腰直直角三角形的性质易求得 AF=CF，在直角三角形 ADF 中，再次利用勾股定理计算出 DF 的长度，问题便获得解决.【解析】解：过点 A 作 AFBC，垂足为点 F， AB=AC，CF= 12BC， AB=AC= 2， AD=2BC=+，CF=1，
20、 C=45，AF=CF=1， 23DFA=-=，31DF-.【知识点】等腰三角形的性质，勾股定理7. （2018 福建 B 卷，13，4）如图，在 RtABC 中，ACB=90，AB=6，D 为 AB 的中点，则 CD= _【答案】313【思路分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得出 CD 的值.【解题过程】解：在ABC 中，以ACB 为直角的直角三角形的斜边 AB=6，CD 是 AB 边上的中线，CD= 12AB=3.【知识点】直角三角形8. （2018 福建 B 卷，15，4）把两个相同大小的含 45角的三角板如图所示放置，其中一个三角板的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点
21、A，另外三角板的锐角顶点 B、C、D 在同一直线上，若 AB= 2，则 CD=_【答案】 31-【思路分析】首先利用勾股定理计算出 BC、AD 的长，过点 A 作 AFBC，由“三线合一”及等腰直直角三角形的性质易求得 AF=CF，在直角三角形 ADF 中，再次利用勾股定理计算出 DF 的长度，问题便获得解决.【解析】解：过点 A 作 AFBC，垂足为点 F， AB=AC，CF= 12BC， AB=AC= 2， AD=2BC=+，CF=1， C=45，AF=CF=1， 23DFA=-=，31DF-.【知识点】等腰三角形的性质，勾股定理9.（2018 湖北省襄阳市，15，3 分）已知 CD 是A
22、BC 的边 AB 上的高，若 CD= 3，AD=1，AB=2AC，则 BC 的长14为= .【答案】 723或【解析】解：分两种情况讨论：当 CD 在ABC 内部时，如图在 Rt ACD 中，由勾股定理得 AC= 2CDA=2. AB=2AC=4， BD=AB-AD=3.在 Rt BCD 中，由勾股定理得， BC= 2CBD= 3.当 CD 在 ABC 外部时，如图此时， AB=4， BD=BA+AD=5,在 Rt ABD 中，由勾股定理得， BC= 2CBD= 7.综上所述， BC 的长为 723或 .故答案为 2或 .【知识点】勾股定理，分类讨论思想1510. （2018 广西玉林，17
23、题，3 分）如图，在四边形 ABCD 中，B=D=90，A=60，AB=4，则 AD 的取值范围是_第 17 题图【答案】2AD8【解析】由题，A=60，AB=4，已确定，AD 的长度可以变化，如下图（1） ，是 AD 最短的情况，此时AD=ABcos60=2，如下图（2） ，是 AD 最长的情况，此时 AD=AB/cos60=8，而这两种情况四边形 ABCD 就变成了三角形，故都不能达到，故 AD 的取值范围是 2AD8第 17 题图（1） 第 17 题图（2）【知识点】动态问题，特殊的三角函数值三、解答题1. （2018 四川广安，题号 24，分值 8） 下面有 4 张形状，大小完全相同的
24、方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长都是 1，请在方格纸中分别画出符合要求的图形，所画图形各顶点必须与方格纸中小正方形的顶点重合，具体要求如下：（1）画一个直角边为 4，面积为 6 的直角三角形.16（2）画一个底边为 4，面积为 8 的等腰三角形.（3）画一个面积为 5 的等腰直角三角形.（4）画一个边长为 2 ，面积为 6 的等腰三角形.2第 24 题图【思路分析】对于（1） ，根据面积公式求出两条直角边即可画出图形；对于（2） ，根据面积公式求出底边上的高，再画出图形即可；对于（3） ，根据面积公式求出直角边，即可画出图形；对于（4）根据腰长为 2 不成立，可知以 2 为底边，再求出底边
25、上的高，可画出图形.2 2【解题过程】如图所示.（1）直角边为 4，3 的直角三角形；.2 分（2）底边为 4，底边上的高为 4 的等腰三角形；4 分（3）直角边为 的等腰直角三角形；6 分10（4）底边为 2 ，底边上的高为 3 的等腰三角形8 分2 2第 24 题答图【知识点】勾股定理，三角形的面积1. （2018 湖北荆门，19，9 分） 如图，在 RtABC中， 90， 30BAC， E为 AB边的中点，17以 BE为边作等边 BDE，连接 A， C.（1）求证： ADECB ；（2）若 3B，在 边上找一点 H，使得 BE最小，并求出这个最小值.【思路分析】 （1）首先根据 E 为
26、AB 边的中点可得 BC=AE，根据DEB 为等边三角形可得 DB=DE，DEA=DBC，然后根据全等三角形的判定即可证明出结论；（2）作点 E 关于直线 AC 对称点 E，连接 BE交 AC 于点 H，由作图可知：EH+BH=BE，根据勾股定理计算即可.【解题过程】 （1）证明：在 RtABC 中，BAC=30，E 为 AB 边为中点，BC=EA，ABC=60.DEB 为等边三角形，DB=DE，DEB=DBE=60，DEA=120，DBC=120，DEA=DBC，ADECDB.（2）解：如图，作点 E 关于直线 AC 对称点 E，连接 BE交 AC 于点 H.则点 H 即为符合条件的点.由作图可知：EH+BH=BE，AE=AE，EAC=BAC=30，EAE=60，EAE为等边三角形，EE=EA= 21AB，18AEB=90，在 RtABC 中，BAC=30，BC= 3，AB=2 3，AE=AE= ，BE= 222)3(AEB=3，BH+EH 的最小值为 3.【知识点】等边三角形的性质，含 30角的直角三角形的性质，全等三角形的判定，利用轴对称作图，勾股定理
