1、- 1 -第 1 课时 排列与排列数公式学习目标 1.理解并掌握排列的概念.2.理解并掌握排列数公式，能应用排列知识解决简单的实际问题知识点一 排列的概念从甲、乙、丙三名同学中选出 2 人参加一项活动，其中 1 名同学参加上午的活动，另 1 名同学参加下午的活动思考 1 让你安排这项活动需要分几步？思考 2 甲丙和丙甲是相同的排法吗？梳理 一般地，从 n 个不同元素中取出 m(m n)个元素，按照_排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列知识点二 排列数思考 1 从 1,2,3,4 这 4 个数字中选出 2 个能构成多少个无重复数字的两位数？思考 2 从 1,2,3,4 这
2、 4 个数字中选出 3 个能构成多少个无重复数字的 3 位数？思考 3 从 n 个不同的元素中取出 m 个( m n)元素排成一列，共有多少种不同排法？梳理 排列数及排列数公式- 2 -排列数 全排列定义从 n 个不同元素中取出 m(m n)个元素的_，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数n 个不同元素_的一个排列，叫做 n 个不同元素的一个全排列表示法 Amn An形式A n(n1)( n2)( n m1mn)A n(n1)n(n2)321公式乘积阶乘形式 A _mn性质 A 1；0！10n类型一 排列的概念例 1 下列问题是排列问题的为_选 2 个小组分别去植树和种菜；选 2
3、个小组分别去种菜；某班 40 名同学在假期互发短信；从 1,2,3,4,5 中任取两个数字相除；10 个车站，站与站间的车票反思与感悟 判断一个具体问题是否为排列问题的思路跟踪训练 1 下列哪些问题是排列问题(1)从 10 名学生中抽 2 名学生开会；(2)从 2,3,5,7,11 中任取两个数相乘；(3)以圆上的 10 个点为端点作弦；(4)20 个车站，站与站间的车票价格；(5)平面上有 5 个点，其中任意三个点不共线，这 5 个点最多可确定多少条直线？可确定多少条射线？- 3 -类型二 排列数及其应用命 题 角 度 1 由 排 列 数 公 式 进 行 化 简 与 求 值例 2 (1)计算
4、： _.2A58 7A48A8 A59(2)计算： _.Am 1n An mAn 1反思与感悟 (1)排列数公式的逆用：连续正整数的积可以写成某个排列数，其中最大的是排列元素的总个数，而正整数(因式)的个数是选取元素的个数(2)利用排列数公式进行计算时可利用连乘形式也可利用阶乘形式当 A 中 m 已知且较小时mn用连乘形式，当 m 较大或为参数时用阶乘形式(3)应用排列数公式可以对含有排列数的式子进行化简和证明，化简的过程中要对排列数进行变形，并要熟悉排列数之间的内在联系，解题时要灵活地运用如下变式： n！ n(n1)！.A nA .mn m 1n nn！( n1)！ n！. .n 1n！ 1
5、n 1！ 1n！跟踪训练 2 (1)用排列数表示(55 n)(56 n)(69 n)(nN *，且 n13)表示为 A 的形式，则可表示mn为_2下列问题中属于排列问题的为_(填序号)从 10 个人中选 2 人分别去种树和扫地；从 10 个人中选 2 人去扫地；从班上 30 名男生中选出 5 人组成一个篮球队；从数字 5,6,7,8 中任取两个不同的数作幂运算- 6 -3从 2,3,5,7 四个数中任选两个分别相除，则得到的结果有_个4已知 A 30，则 x_.2x5写出下列问题的所有排列：(1)从编号为 1,2,3,4,5 的五名同学中选出两名同学任正、副班长；(2)A、 B、 C、 D 四
6、名同学排成一排照相，要求自左向右， A 不排第一， B 不排第四1判断一个问题是否是排列的思路排列的根本特征是每一个排列不仅与选取的元素有关，而且与元素的排列顺序有关这就是说，在判断一个问题是否是排列时，可以考虑所取出的元素，任意交换两个，若结果变化，则是排列问题，否则不是排列问题2关于排列数的两个公式(1)排列数的第一个公式 A n(n1)( n2)( n m1)适用 m 已知的排列数的计算以及排mn列数的方程和不等式在运用时要注意它的特点，从 n 起连续写出 m 个数的乘积即可(2)排列数的第二个公式 A 用于与排列数有关的证明、解方程、解不等式等，在具mnn！n m！体运用时，应注意先提
7、取公因式再计算，同时还要注意隐含条件“ n、 mN *， m n”的运用- 7 -答案精析问题导学知识点一思考 1 分两步第 1 步确定上午的同学；第 2 步确定下午的同学思考 2 不是梳理 一定的顺序知识点二思考 1 4312(个)思考 2 43224(个)思考 3 n(n1)( n2)( n m1)种梳理 所有排列的个数 全部取出 A n!n！n m！ n题型探究例 1 解析 植树和种菜是不同的，存在顺序问题，是排列问题；不存在顺序问题，不是排列问题；存在顺序问题，是排列问题；两个数相除与这两个数的顺序有关，是排列问题；车票使用时有起点和终点之分，故车票的使用是有顺序的，是排列问题跟踪训练
8、 1 解 (1)2 名学生开会没有顺序，不是排列问题(2)两个数相乘，与这两个数的顺序无关，不是排列问题(3)弦的端点没有先后顺序，不是排列问题(4)车票价格与起点和终点无关，故车票价格是无顺序的，不是排列问题(5)确定直线不是排列问题，确定射线是排列问题例 2 (1)1解析 2A58 7A48A8 A592 8！8 5！ 7 8！8 4！8！ 9！4！ 1.8 724 9(2)1- 8 -解析 原式 n 1！n 1 m 1！(n m)！ 1n 1！ n 1！n m！(n m)！ 1.1n 1！跟踪训练 2 (1)A (2)721569 n解析 (1)55 n,56 n，69 n 中的最大数为
9、 69 n，且共有 69 n(55 n)115(个)元素，(55 n)(56 n)(69 n)A 69 n.15(2)2A A 2432432172.34 4例 3 解 根据题意，原方程等价于Error!即Error!整理得 4x235 x690( x3， xN *)，解得 x3( x N*，舍去) 234引申探究解 由 A 140A 知， x3 且 xN *，42x 1 3x由排列数公式，原不等式可化为(2x1)2 x(2x1)(2 x2)140 x(x1)( x2)，解得 3x ，234因为 xN *，所以 x4 或 x5.所以不等式的解集为4,5跟踪训练 3 8解析 由 A 6A ，x8
10、 x 28得 6 ，8！8 x！ 8！10 x！化简得 x219 x840，解得 7x12，又Error!所以 2 x8，由及 xN *，得 x8.例 4 解 (1)按三个位置依次安排，如图- 9 -故所有排列为 ABC， ACB， BAC， BCA， CAB， CBA.(2)列出每一个起点和终点情况，如图所示故符合题意的机票种类有：北京广州，北京南京，北京天津，广州南京，广州天津，广州北京，南京天津，南京北京，南京广州，天津北京，天津广州，天津南京，共 12 种跟踪训练 4 解 (1)组成三位数分三个步骤第一步：选百位上的数字，0 不能排在首位，故有 3 种不同的排法；第二步：选十位上的数字
11、，有 3 种不同的排法；第三步：选个位上的数字，有 2 种不同的排法由分步计数原理得共有 33218(个)不同的三位数画出下列树状图由树状图知，所有的三位数为102,103,120,123,130,132,201,203,210,213,230,231,301,302,310,312,320,321.(2)直接画出树状图由树状图知，符合条件的三位数有 8 个：201,210,230,231,301,302,310,312.当堂训练1A 2. 3.12 4.611x 35解 (1)从五名同学中选出两名同学任正、副班长，共有 A 20(种)选法，形成的排列是2512,13,14,15,21,23,24,25,31,32,34,35,41,42,43,45,51,52,53,54.- 10 -(2)因为 A 不排第一，排第一位的情况有 3 类(可从 B、 C、 D 中任选一人排)，而此时兼顾分析 B 的排法，列树形图如图所以符合题意的所有排列是BADC， BACD， BCAD， BCDA， BDAC， BDCA， CABD， CBAD， CBDA， CDBA， DABC， DBAC， DBCA， DCBA，共 14 种
