1、- 1 -第 2 课时 组合的应用学习目标 1.能应用组合知识解决有关组合的简单实际问题.2.能解决有限制条件的组合问题知识点 组合的特点思考 组合的特征有哪些？梳理 (1)组合的特点是只取不排组合要求 n 个元素是不同的，被取出的 m 个元素也是不同的，即从 n 个不同的元素中进行 m次不放回地取出(2)组合的特性元素的无序性，即取出的 m 个元素不讲究顺序，没有位置的要求(3)相同的组合根据组合的定义，只要两个组合中的元素完全相同(不管顺序如何)，就是相同的组合类型一 有限制条件的组合问题例 1 男运动员 6 名，女运动员 4 名，其中男女队长各 1 名，选派 5 人外出比赛，在下列情形中
2、各有多少种选派方法？(1)男运动员 3 名，女运动员 2 名；(2)至少有 1 名女运动员；(3)既要有队长，又要有女运动员- 2 -反思与感悟 (1)解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关(2)要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用，在分类和分步时，一定要注意有无重复或遗漏跟踪训练 1 在一次数学竞赛中，某学校有 12 人通过了初试，学校要从中选出 5 人参加市级培训在下列条件下，有多少种不同的选法？(1)任意选 5 人；(2)甲、乙、丙三人必须参加；(3)甲、乙、丙三人不能
3、参加；(4)甲、乙、丙三人只能有 1 人参加类型二 与几何有关的组合应用题例 2 如图，在以 AB 为直径的半圆周上，有异于 A， B 的六个点 C1， C2， C6，线段 AB 上- 3 -有异于 A， B 的四个点 D1， D2， D3， D4.(1)以这 10 个点中的 3 个点为顶点可作多少个三角形？其中含 C1点的有多少个？(2)以图中的 12 个点(包括 A， B)中的 4 个点为顶点，可作出多少个四边形？反思与感悟 (1)图形多少的问题通常是组合问题，要注意共点、共线、共面、异面等情形，防止多算常用直接法，也可采用间接法(2)在处理几何问题中的组合问题时，应将几何问题抽象成组合问
4、题来解决跟踪训练 2 空间中有 10 个点，其中有 5 个点在同一个平面内，其余点无三点共线，四点共面，则以这些点为顶点，共可构成四面体的个数为_类型三 分组、分配问题命 题 角 度 1 不 同 元 素 分 组 、 分 配 问 题例 3 有 6 本不同的书，按下列分配方式分配，则共有多少种不同的分配方式？(1)分成三组，每组分别有 1 本，2 本，3 本；(2)分给甲、乙、丙三人，其中一个人 1 本，一个人 2 本，一个人 3 本；(3)分成三组，每组都是 2 本；(4)分给甲、乙、丙三人，每人 2 本- 4 -反思与感悟 分组、分配问题的求解策略(1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题
5、有三种完全均匀分组，每组的元素个数均相等部分均匀分组，应注意不要重复，若有 n 组均匀，最后必须除以 n！.完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象(2)分配问题属于“排列”问题分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配跟踪训练 3 某宾馆安排 A、 B、 C、 D、 E 五人入住 3 个房间，每个房间至少住 1 人，且 A， B不能住同一房间，则不同的安排方法有_种命 题 角 度 2 相 同 元 素 分 配 问 题例 4 将 6 个相同的小球放入 4 个编号为 1,2,3,4 的盒子，求下列方法的种数(1)每个盒子都不空；(2)恰有一个空盒子；(3)恰有两个空盒子- 5 -反思与感悟 相同
6、元素分配问题的处理策略(1)隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相邻两块隔板形成一个“盒” 每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法，此法称之为隔板法隔板法专门解决相同元素的分配问题(2)将 n 个相同的元素分给 m 个不同的对象( n m)，有 C 种方法可描述为 n1 个空中m 1n插入 m1 块板跟踪训练 4 某同学有同样的画册 2 本，同样的集邮册 3 本，从中取出 4 本赠送给 4 位朋友，每位朋友 1 本，则不同的赠送方法共有_种1甲、乙、丙三位同学选修课程，从 4 门课程中，甲选修 2 门，乙、丙各选修 3 门，则不
7、同的选修方案共有_种2把三张游园票分给 10 个人中的 3 人，分法有_种3某食堂每天中午准备 4 种不同的荤菜，7 种不同的蔬菜，用餐者可以按下述方法之一搭配午餐：(1)任选两种荤菜、两种蔬菜和白米饭；(2)任选一种荤菜、两种蔬菜和蛋炒饭则每天不同午餐的搭配方法共有_种4直角坐标平面 xOy 上，平行直线 x n(n0,1,2，5)与平行直线y n(n0,1,2，5)组成的图形中，矩形共有_个5要从 12 人中选出 5 人参加一次活动，其中 A， B， C 三人至多两人入选，则有_种不同选法1无限制条件的组合应用题的解题步骤(1)判断(2)转化(3)求值(4)作答2有限制条件的组合应用题的分
8、类(1)“含”与“不含”问题：这类问题的解题思路是将限制条件视为特殊元素和特殊位置，一般来讲，特殊要先满足，其余则“一视同仁” 若正面入手不易，则从反面入手，寻找问题的突破口，即采用排除法解题时要注意分清“有且仅有” “至多” “至少” “全是” “都不- 6 -是” “不都是”等词语的确切含义，准确把握分类标准(2)几何中的计算问题：在处理几何问题中的组合应用问题时，应先明确几何中的点、线、面及构型，明确平面图形和立体图形中的点、线、面之间的关系，将几何问题抽象成组合问题来解决(3)分组、分配问题：分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同，是不可区分的，而后者即使两组元素
9、个数相同，但因元素不同，仍然是可区分的- 7 -答案精析问题导学知识点思考 组合取出的元素是无序的题型探究例 1 解 (1)第一步：选 3 名男运动员，有 C 种选法；第二步：选 2 名女运动员，有 C 种36 24选法，故共有 C C 120(种)选法36 24(2)方法一 (直接法)“至少有 1 名女运动员”包括以下几种情况，1 女 4 男，2 女 3 男，3 女 2 男，4 女 1 男由分类计数原理知共有 C C C C C C C C 246(种)选法14 46 24 36 34 26 4 16方法二 (间接法)不考虑条件，从 10 人中任选 5 人，有 C 种选法，其中全是男运动员的
10、选法有 C 种，故510 56“至少有 1 名女运动员”的选法有 C C 246(种)510 56(3)当有女队长时，其他人选法任意，共有 C 种选法；不选女队长时，必选男队长，共有 C49种选法，其中不含女运动员的选法有 C 种，故不选女队长时共有 C C 种选法所以既48 45 48 45有队长又有女运动员的选法共有 C C C 191(种)49 48 45跟踪训练 1 解 (1)从中任取 5 人是组合问题，共有 C 792(种)不同的选法512(2)甲、乙、丙三人必须参加，则只需从另外 9 人中选 2 人，是组合问题，共有 C 36(种)29不同的选法(3)甲、乙、丙三人不能参加，则只需
11、从另外的 9 人中选 5 人，共有 C 126(种)不同的选59法(4)甲、乙、丙三人只能有 1 人参加，可分为两步：先从甲、乙、丙中选 1 人，有 C 种选法，13再从另外 9 人中选 4 人，有 C 种选法，共有 C C 378(种)不同的选法49 1349例 2 解 (1)方法一 可作出三角形 C C C C C 116(个)36 16 24 26 14方法二 可作三角形 C C 116(个)，310 34其中以 C1为顶点的三角形有 C C C C 36(个)25 15 14 24(2)可作出四边形 C C C C C 360(个)46 36 16 26 26跟踪训练 2 205解析
12、方法一 可以按从共面的 5 个点中取 0 个、1 个、2 个、3 个进行分类，则得到所有的取法总个数为 C C C C C C C C 205.0545 1535 2525 3515方法二 从 10 个点中任取 4 个点的方法数中去掉 4 个点全部取自共面的 5 个点的情况，得到所有构成四面体的个数为 C C 205.410 45- 8 -例 3 解 (1)分三步：先选一本有 C 种选法，再从余下的 5 本中选两本有 C 种选法，最后16 25余下的三本全选有 C 种选法由分步计数原理知，分配方式共有 C C C 60(种)3 16 25 3(2)由于甲、乙、丙是不同的三个人，在(1)问的基础
13、上，还应考虑再分配问题因此，分配方式共有 C C C A 360(种)16 25 3 3(3)先分三组，有 C C C 种分法，但是这里面出现了重复，不妨记六本书为2624 2A， B， C， D， E， F，若第一组取了 A， B，第二组取了 C， D，第三组取了 E， F，则该种方法记为( AB， CD， EF)，但 C C C 种分法中还有( AB， EF， CD)，( CD， AB， EF)，( CD， EF， AB)，2624 2(EF， CD， AB)，( EF， AB， CD)，共 A 种情况，而这 A 种情况只能作为一种分法，故分配方3 3式有 15(种)C26C24C2A3(
14、4)在(3)的基础上再分配即可，共有分配方式 A 90(种)C26C24C2A3 3跟踪训练 3 114解析 5 个人住三个房间，每个房间至少住 1 人，则有(3,1,1)和(2,2,1)两种当为(3,1,1)时，有 C A 60(种)， A， B 住同一房间有 C A 18(种)，故有 601842(种)353 133当为(2,2,1)时，有 A 90(种)， A， B 住同一房间有 C C A 18(种)，故有C25C23A2 3 13232901872(种)根据分类计数原理共有 4272114(种)例 4 解 (1)先把 6 个相同的小球排成一行，在首尾两球外侧放置一块隔板，然后在小球之
15、间 5 个空隙中任选 3 个空隙各插一块隔板，有 C 10(种)35(2)恰有一个空盒子，插板分两步进行先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在 5 个空隙中任选 2 个空隙各插一块隔板，如|0|000|00|，有 C 种插法，然后将剩下的一块隔板与前面25任意一块并放形成空盒，如|0|000|00|，有 C 种插法，故共有 C C 40(种)14 25 14(3)恰有两个空盒子，插板分两步进行先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在 5 个空隙中任选 1 个空隙各插一块隔板，有 C 种插15法，如|00|0000|，然后将剩下的两块隔板插入形成空盒这两块板与前面三块板形成不相邻的两个盒子，如|00|00
16、00|，有 C 种插法23将两块板与前面三块板之一并放，如|00|0000|，有 C 种插法13故共有 C (C C )30(种)15 23 13跟踪训练 4 10解析 第一类：当剩余的一本是画册时，相当于把 3 本相同的集邮册和 1 本画册分给 4 位朋- 9 -友，只有 1 位朋友得到画册即把 4 位朋友分成人数为 1,3 的两队，有 1 个元素的那队分给画册，另一队分给集邮册，有 C 种分法14第二类：当剩余的一本是集邮册时，相当于把 2 本相同的画册和 2 本相同的集邮册分给 4 位朋友，有 2 位朋友得到画册，即把 4 位朋友分成人数为 2,2 的两队，一队分给画册，另一队分给集邮册，有 C 种分法24因此，满足题意的赠送方法共有 C C 4610(种)14 24当堂训练196 2.120 3.210 4.225 5.756
