1、- 1 -2.3.2 事件的独立性学习目标 1.在具体情境中，了解两个事件相互独立的概念.2.能利用独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题知识点一 事件的独立性甲箱里装有 3 个白球、2 个黑球，乙箱里装有 2 个白球，2 个黑球从这两个箱子里分别摸出 1 个球，记事件 A“从甲箱里摸出白球” ，事件 B“从乙箱里摸出白球” 思考 1 事件 A 发生会影响事件 B 发生的概率吗？思考 2 P(A)， P(B)， P(AB)的值为多少？思考 3 P(AB)与 P(A)， P(B)有什么关系？梳理 事件独立的定义一般地，若事件 A， B 满足_，则称事件 A， B 独立知识点二 事件独立
2、的性质思考 1 若 A， B 独立， P(AB)与 P(A)P(B)相等吗？思考 2 若 A， B 独立，那么 A 与 ， 与 B， 与 相互独立吗？B A A B梳理 事件独立的性质及 P(AB)的计算公式性质(1)若 A， B 独立，且 P(A)0，则 B， A 也独立，即 A 与B_.- 2 -(2)约定任何事件与必然事件独立，任何事件与不可能事件独立，则两个事件 A， B 相互独立的充要条件是_概率计算公式(1)若事件 A 与 B 相互独立，则 A 与 B 同时发生的概率等于事件 A 发生的概率与事件 B 发生的概率之积，即 P(AB) P(A)P(B)(2)推广：若事件 A1， A2
3、， An相互独立，则这 n 个事件同时发生的概率 P(A1A2An)_结论如果事件 A 与 B 相互独立，那么_与_，_与_，_与_也都相互独立类型一 事件独立性的判断例 1 分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件 A 是“第一枚为正面” ，事件 B 是“第二枚为正面” ，事件 C 是“两枚结果相同” ，则下列事件具有相互独立性的有_(填序号) A， B； A， C； B， C.反思与感悟 三种方法判断两事件是否具有独立性(1)定义法：直接判定两个事件发生是否相互影响(2)公式法：检验 P(AB) P(A)P(B)是否成立(3)条件概率法：当 P(A)0 时，可用 P(B|A) P(B)判断跟踪训
4、练 1 一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令 A一个家庭中既有男孩又有女孩， B一个家庭中最多有一个女孩对下列两种情形，讨论 A 与 B 的独立性：(1)家庭中有两个小孩；(2)家庭中有三个小孩- 3 -类型二 求相互独立事件的概率引申探究1在本例条件下，求恰有一列火车正点到达的概率2若一列火车正点到达计 10 分，用 表示三列火车的总得分，求 P( 20)例 2 小王某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8,0.7，0.9，假设这三列火车是否正点到达互不影响求：(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率；(2)这三列火车至少有一列
5、正点到达的概率反思与感悟 明确事件中的“至少有一个发生” “至多有一个发生” “恰好有一个发生” “都发生” “都不发生” “不都发生”等词语的意义一般地，已知两个事件 A， B，它们的概率分别为 P(A)， P(B)，那么：(1)A， B 中至少有一个发生为事件 A B.(2)A， B 都发生为事件 AB.(3)A， B 都不发生为事件 .AB(4)A， B 恰有一个发生为事件 A B.B A(5)A， B 中至多有一个发生为事件 A B .B A AB- 4 -跟踪训练 2 甲、乙两人破译一密码，他们能破译的概率分别为 和 ，求两人破译时，以下13 14事件发生的概率：(1)两人都能破译的
6、概率；(2)恰有一人能破译的概率；(3)至多有一人能破译的概率类型三 相互独立事件的综合应用例 3 在一场娱乐晚会上，有 5 位民间歌手(1 至 5 号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手各位观众要彼此独立地在选票上选 3 名歌手，其中观众甲是 1 号歌手的歌迷，他必选 1 号，不选 2 号，另在 3 至 5 号中随机选 2 名观众乙和丙对 5 位歌手的演唱没有偏爱，因此在 1 至 5 号中随机选 3 名歌手(1)求观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手的概率；(2)X 表示 3 号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求 X 的概率分布- 5 -反思与感悟 概率问题中的数学
7、思想(1)正难则反：灵活应用对立事件的概率关系( P(A) P( )1)简化问题，是求解概率问题最A常用的方法(2)化繁为简：将复杂事件的概率转化为简单事件的概率，即寻找所求事件与已知事件之间的关系 “所求事件”分几类(考虑加法公式，转化为互斥事件)还是分几步组成(考虑乘法公式，转化为相互独立事件)(3)方程思想：利用有关的概率公式和问题中的数量关系，建立方程(组)，通过解方程(组)使问题获解跟踪训练 3 甲、乙、丙三台机床各自独立加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为 ，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的14零件不是一等品的概率为 ，甲、丙两台机
8、床加工的零件都是一等品的概率为 .112 29(1)分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；(2)从甲、乙、丙三台机床加工的零件中各取一个进行检验，求至少有一个一等品的概率- 6 -1甲、乙两水文站同时做水文预报，若甲站、乙站各自预报准确的概率分别为 0.8 和 0.7，那么在一次预报中，甲、乙预报都准确的概率为_2打靶时，甲每打 10 次可中靶 8 次，乙每打 10 次可中靶 7 次，若两人同时射击，则他们同时中靶的概率是_3甲袋中有 8 个白球，4 个红球；乙袋中有 6 个白球，6 个红球从每袋中任取一个球，则取得同色球的概率为_4在某道路的 A， B， C 三处设有交通灯，
9、这三盏灯在 1 分钟内开放绿灯的时间分别为 25 秒、35 秒、45 秒，某辆车在这段道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为_5甲、乙两名篮球运动员分别进行一次投篮，如果两人投中的概率都是 0.6，计算：(1)两人都投中的概率；(2)其中恰有一人投中的概率；(3)至少有 1 人投中的概率- 7 -1相互独立事件与互斥事件的区别相互独立事件 互斥事件判断方法一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响两个事件不可能同时发生，即 AB概率公式A 与 B 相互独立等价于 P(AB) P(A)P(B)若 A 与 B 互斥，则 P(A B) P(A) P(B)，反之不成立2.相互独立事件同时发生的概
10、率 P(AB) P(A)P(B)，即两个相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积- 8 -答案精析问题导学知识点一思考 1 不影响思考 2 P(A) ， P(B) ，35 12P(AB) .3254 310思考 3 P(AB) P(A)P(B)梳理 P(A|B) P(A)知识点二思考 1 相等因为 P(AB) P(A|B)P(B) P(A)P(B)思考 2 独立梳理 相互独立 P(AB) P(A)P(B) P(A1)P(A2)P(An) A B B A A B题型探究例 1 解析 利用古典概型概率公式计算可得 P(A)0.5， P(B)0.5， P(C)0.5， P(AB)0.25
11、， P(AC)0.25， P(BC)0.25.可以验证 P(AB) P(A)P(B)， P(AC) P(A)P(C)， P(BC) P(B)P(C)所以根据事件相互独立的定义，事件 A 与 B 相互独立，事件 B 与 C 相互独立，事件 A 与 C 相互独立跟踪训练 1 解 (1)有两个小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形为 (男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，它有 4 个基本事件，由等可能性知概率都为 .14这时 A(男，女)，(女，男)，B(男，男)，(男，女)，(女，男)，AB(男，女)，(女，男)，于是 P(A) ， P(B) ，12 34P(AB) .12由此可知 P(AB)
12、 P(A)P(B)，所以事件 A， B 不相互独立- 9 -(2)有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为 (男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(男，女，女)，(女，男，男)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)由等可能性知这 8 个基本事件的概率均为 ，这时 A 中含有 6 个基本事件， B 中含有 4 个基本18事件， AB 中含有 3 个基本事件于是 P(A) ， P(B) ， P(AB) ，68 34 48 12 38显然有 P(AB) P(A)P(B)成立，38从而事件 A 与 B 是相互独立的例 2 解 用 A， B， C 分别表示这三列火车正点到达
13、的事件，则 P(A)0.8， P(B)0.7， P(C)0.9，所以 P( )0.2， P( )0.3， P( )0.1.A B C(1)由题意得 A， B， C 之间互相独立，所以恰好有两列火车正点到达的概率为P1 P( BC) P(A C) P(AB )A B C P( )P(B)P(C) P(A)P( )P(C) P(A)P(B)P( )A B C0.20.70.90.80.30.90.80.70.10.398.(2)三列火车至少有一列正点到达的概率为P21 P( )ABC1 P( )P( )P( )A B C10.20.30.10.994.引申探究1解 恰有一列火车正点到达的概率为P3
14、 P(A ) P( B ) P( C)BC AC AB P(A)P( )P( ) P( )P(B)P( ) P( )P( )P(C)B C A C A B0.80.30.10.20.70.10.20.30.90.092.2解 事件“ 20”表示“至多两列火车正点到达” ，其对立事件为“三列火车都正点到达” ，所以 P( 20)1 P(ABC)1 P(A)P(B)P(C)10.80.70.90.496.跟踪训练 2 解 记事件 A 为“甲独立地破译出密码” ，事件 B 为“乙独立地破译出密码” (1)两个人都破译出密码的概率为- 10 -P(AB) P(A)P(B) .13 14 112(2)恰
15、有一人破译出密码分为两类：甲破译出乙破译不出，乙破译出甲破译不出，即A B，B A P(A B) P(A ) P( B)B A B A P(A)P( ) P( )P(B)B A 13 (1 14) (1 13) 14 .512(3)至多有一人破译出密码的对立事件是两人都破译出密码，其概率为 1 P(AB)1 .112 1112例 3 解 (1)设 A 表示事件“观众甲选中 3 号歌手” ， B 表示事件“观众乙选中 3 号歌手” ，则 P(A) ， P(B) .C12C23 23 C24C35 35因为事件 A 与 B 相互独立，所以观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手的概率为 P
16、(A ) P(A)P( ) P(A)1 P(B)B B .23 25 415(或 PAB C12C34C23C35 415)(2)设 C 表示事件“观众丙选中 3 号歌手” ，则 P(C) ，C24C35 35因为 X 可能的取值为 0,1,2,3，且取这些值的概率分别为 P(X0) P( )A B C ，13 25 25 475P(X1) P(A ) P( B ) P( C)BC AC AB ，23 25 25 13 35 25 13 25 35 2075 415P(X2) P(AB ) P(A C) P( BC)C B A ，23 35 25 23 25 35 13 35 35 1125P
17、(X3) P(ABC) 23 35 35 .625所以 X 的概率分布如下表：- 11 -X 0 1 2 3P 475 415 1125 625跟踪训练 3 解 (1)设 A， B， C 分别为甲，乙，丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件由题意得Error!即Error!由得 P(B)1 P(C)，98代入得 27P(C)251 P(C)220，解得 P(C) 或 P(C) (舍去)23 119将 P(C) 代入，得 P(B) ，23 14将 P(B) 代入，得 P(A) .14 13故甲，乙，丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别是 ， .1314 23(2)记 D 为从甲、乙、丙三台
18、机床加工的零件中各取一个进行检验，其中至少有一个一等品的事件，则 P(D)1 P( )11 P(A)1 P(B)1 P(C)1 .D23 34 13 56故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个进行检验，至少有一个一等品的概率为 .56当堂训练10.56 2. 3. 4.1425 12 351925解 (1)设 A 表示事件“甲投篮一次并且投中” ， B 表示事件“乙投篮一次并且投中” ，则AB 表示事件“两人各投篮一次并且都投中” 由题意可知，事件 A 与事件 B 相互独立， P(AB) P(A)P(B)0.60.60.36.(2)事件“两人各投篮一次，恰好有一人投中”包括两种情况：一种是甲投中，乙未投中(事件 A 发生)；另一种是甲未投中，乙投中(事件 B 发生)根据题意得这两种情况不可能同B A时发生，即事件 A 与 B 互斥，并且事件 A 与 ， 与 B 相互独立，故所求概率为B A B AP(A ) P( B) P(A)P( ) P( )P(B)B A B A0.6(10.6)(10.6)0.60.48.(3)事件“两人各投篮一次，至少有一人投中”的对立事件为“两人各投篮一次，均未投中” ，- 12 -它的概率是 P( ) P( )P( )(10.6)(10.6)0.16.A B A B至少有一人投中的概率为 1 P( )10.160.84.AB
