1、- 1 -2.5.2 离散型随机变量的方差与标准差学习目标 1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念.2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题.3.掌握方差的性质，以及两点分布、二项分布的方差的求法，会利用公式求它们的方差知识点一 方差、标准差的定义及方差的性质甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为 X 和Y， X 和 Y 的概率分布如下：X 0 1 2P 610 110 310Y 0 1 2P 510 310 210思考 1 试求 E(X)， E(Y)思考 2 能否由 E(X)与 E(Y)的值比较两名工人技术水平的高低？思考 3
2、 试想用什么指标衡量甲、乙两工人技术水平的高低？梳理 (1)离散型随机变量的方差和标准差- 2 -设离散型随机变量 X 的均值为 ，其概率分布表如下：X x1 x2 xi xnP p1 p2 pi pn方差： V(X) 2_，其中，pi0， i1,2， n， p1 p2 pn1.变形公式： V(X) pi 2.ni 1x2i标准差： _.意义：方差刻画了随机变量 X 与其均值 的_程度(2)方差的性质： V(aX b)_.知识点二 两点分布、超几何分布与二项分布的方差1两点分布：若 X01 分布，则 V(X)_.2超几何分布：若 X H(n， M， N)，则 V(X) .nMN MN nN2N
3、 13二项分布：若 X B(n， p)，则 V(X)_.类型一 求随机变量的方差例 1 在一个不透明的纸袋里装有 5 个大小相同的小球，其中有 1 个红球和 4 个黄球，规定每次从袋中任意摸出一球，若摸出的是黄球则不再放回，直到摸出红球为止，求摸球次数 X的均值和方差- 3 -反思与感悟 求离散型随机变量 X 的均值与方差的基本步骤(1)理解 X 的意义，写出 X 可能取的全部值(2)求 X 取每个值的概率(3)写出 X 的概率分布(4)由均值的定义求 E(X)(5)由方差的定义求 V(X)跟踪训练 1 甲，乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为 0.6，被甲或乙解出的概率为
4、0.92，(1)求该题被乙独立解出的概率；(2)求解出该题的人数 X 的均值和方差类型二 两点分布与二项分布的方差例 2 某厂一批产品的合格率是 98%.(1)计算从中抽取一件产品为正品的数量的方差；(2)从中有放回地随机抽取 10 件产品，计算抽出的 10 件产品中正品数的方差及标准差- 4 -反思与感悟 解此类问题，首先要确定正确的离散型随机变量，然后确定它是否服从特殊分布，若它服从两点分布，则其方差为 p(1 p)；若其服从二项分布，则其方差为 np(1 p)(其中 p 为成功概率)跟踪训练 2 (1)已知随机变量 X 服从二项分布 B(n， p)，若 E(X)30， V(X)20，则p
5、_.(2)设 的分布列为 P( k)C k 5 k(k0,1,2,3,4,5)，则 V(3 )_.k5(13)(23)1已知随机变量 X 的概率分布为X 1 0 1P 12 13 16则下列式子： E(X) ； V(X) ； P(X0) .其中正确式子的序号为_13 2327 132同时抛掷两枚质地均匀的硬币 10 次，设两枚硬币同时出现反面的次数为 ，则 V( )_.3已知离散型随机变量 X 的概率分布如下表所示，若 E(X)0， V(X)1，则a_， b_.X 1 0 1 2P a b c 1124.已知随机变量 X B(100,0.2)，那么 V(4X3)的值为_5编号为 1,2,3 的
6、三位学生随意入座编号为 1,2,3 的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的人数是 ，求 E( )和 V( )- 5 -1随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度，以及随机变量取值偏离于均值的平均程度方差 V(X)或标准差 越小，则随机变量 X 偏离均VX值的平均程度越小；方差 V(X)或标准差 越大，表明偏离的平均程度越大，说明 X 的取值VX越分散2求离散型随机变量 X 的均值、方差的步骤(1)理解 X 的意义，写出 X 的所有可能的取值；(2)求 X 取每一个值的概率；(3)写出随机变量 X 的概率分布；(4)由均值、方差的定义求 E(X)
7、， V(X)特别地，若随机变量服从两点分布或二项分布，可根据公式直接计算 E(X)和 V(X)- 6 -答案精析问题导学知识点一思考 1 E(X)0 1 2610 110 310 ，710E(Y)0 1 2 .510 310 210 710思考 2 不能，因为 E(X) E(Y)思考 3 方差梳理 (1)( x1 )2p1( x2 )2p2( xn )2pn 平均偏离 (2) a2V(X)VX知识点二1 p(1 p) 3. np(1 p)题型探究例 1 解 X 的可能取值为 1,2,3,4,5.P(X1) ，15P(X2) ，45 14 15P(X3) ，45 34 13 15P(X4) ，4
8、5 34 23 12 15P(X5) 1 .45 34 23 12 15 X 的概率分布为X 1 2 3 4 5P 15 15 15 15 15由定义知， E(X) (12345)3，15V(X) (221 20 21 22 2)2.15跟踪训练 1 解 (1)记甲、乙分别解出此题的事件记为 A， B.设甲独立解出此题的概率为 P1，乙为 P2，- 7 -则 P(A) P10.6， P(B) P2， P(A B)1 P( )1(1 P1)(1 P2)AB P1 P2 P1P20.92，0.6 P20.6 P20.92，则 0.4P20.32，即 P20.8.(2)P(X0) P( )P( )A
9、 B0.40.20.08，P(X1) P(A)P( ) P( )P(B)B A0.60.20.40.80.44. X 的概率分布为X 0 1 2P 0.08 0.44 0.48E(X)00.0810.4420.480.440.961.4，V(X)(01.4) 20.08(11.4) 20.44(21.4) 20.480.156 80.070 40.172 80.4.例 2 解 (1)用 表示抽得的正品数，则 0,1. 服从两点分布，且 P( 0)0.02，P( 1)0.98，所以 V( ) p(1 p)0.98(10.98)0.019 6.(2)用 X 表示抽得的正品数，则 X B(10,0.
10、98)，所以 V(X)100.980.020.196，标准差为 0.44.VX跟踪训练 2 (1) (2)1013解析 (1)由题意知，Error!解得 p .13(2)由题意知， B ，(5，13)则 V( )5 ，13 23 109- 8 -所以 V(3 )9 V( )9 10.109当堂训练1 2. 3. 4.256158 512 145解 的所有可能取值为 0,1,3， 0 表示三位同学全坐错了，有 2 种情况，即编号为1,2,3 的座位上分别坐了编号为 2,3,1 或 3,1,2 的学生，则 P( 0) ；2A3 13 1 表示三位同学只有 1 位同学坐对了，则 P( 1) ；C13A3 12 3 表示三位学生全坐对了，即对号入座，则 P( 3) .1A3 16所以 的概率分布为 0 1 3P 13 12 16E( )0 1 3 1.13 12 16V( ) (01) 2 (11) 2 (31) 21.13 12 16
