1、- 1 -第二章 概率1 求离散型随机变量的概率分布的方法对离散型随机变量概率分布的考查是概率考查的主要形式，那么准确写出概率分布显得至关重要下面就谈一下如何准确求解离散型随机变量的概率分布1弄清“随机变量的取值”弄清“随机变量的取值”是第一步确定随机变量的取值时，要做到准确无误，特别要注意随机变量能否取 0 的情形另外，还需注意随机变量是从几开始取值，每种取值对应几种情况例 1 从 4 张标有 1,2,3,4 的卡片中任意取出两张，若 表示这两张卡片之和，请写出 的可能取值及指出此时 表示的意义分析 从标有 1,2,3,4 的四张卡片中取两张， 表示两张卡片之和，则首先弄清共有几种情况，再分
2、别求和解 的可能取值为 3,4,5,6,7，其中 3 表示取出分别标有 1,2 的两张卡片； 4 表示取出分别标有 1,3 的两张卡片； 5 表示取出分别标有 1,4 或 2,3 的两张卡片； 6表示取出分别标有 2,4 的两张卡片； 7 表示取出分别标有 3,4 的两张卡片2弄清事件类型计算概率前要确定事件的类型，同时正确运用排列与组合知识求出相应事件的概率例 2 以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数甲组 乙组9 9 0 9 8 91 1 1 0分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数 Y 的概率分布分析 由茎叶图可知两组同学的植树棵数，则可得分别从甲、乙两组同
3、学中随机选取一名同学，两同学的植树总棵数的所有可能取值，由古典概型可求概率解 由茎叶图可知，甲组同学的植树棵数是 9,9,11,11；乙组同学的植树棵数是 9,8,9,10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有 4416(种)可能的结果，这两名同学植树总棵数 Y 的可能取值为 17,18,19,20,21.事件“ Y17”等价于“甲组选出的同学植树 9 棵，乙组选出的同学植树 8 棵” ，所以该事件有 2 种可能的结果，因此 P(Y17)216- 2 - .同理可得 P(Y18) ， P(Y19) ，18 14 14P(Y20) ， P(Y21) .14 18所以随机变量 Y 的概率分布为
4、Y 17 18 19 20 21P 18 14 14 14 183.注意验证随机变量的概率之和是否为 1通过验证概率之和是否为 1，可以检验所求概率是否正确，还可以检验随机变量的取值是否出现重复或遗漏例 3 盒中装有大小相同的 10 个小球，编号分别为 0,1,2，9，从中任取 1 个小球，规定一个随机变量 X，用“ X x1”表示小球的编号小于 5；“ X x2”表示小球的编号等于5；“ X x3”表示小球的编号大于 5，求 X 的概率分布解 随机变量 X 的可能取值为 x1， x2， x3，且P(X x1) ， P(X x2) ， P(X x3) .12 110 25故 X 的概率分布如下
5、.X x1 x2 x3P 12 110 25点评 随机变量的概率分布是我们进一步解决随机变量有关问题的基础，因此准确写出随机变量的概率分布是很重要的，为了保证它的准确性，我们可以利用 i1 进行检验.ni 1p2 独立事件与互斥事件辨析相互独立事件与互斥事件是两个完全不同的概念，但同学们在学习过程中容易混淆这两个概念，而导致错误下面结合例题加以分析帮助同学们正确区分这两个概念1把握互斥事件中的“有一个发生”求互斥事件有一个发生的概率，即互斥事件中的每一个事件发生都会使所求事件发生，应用的是互斥事件概率加法公式 P(A1 A2 An) P(A1) P(A2) P(An)例 1 李老师正在写文章的
6、时候，身边的电话突然响了起来若电话响第 1 声时被接听的概- 3 -率为 0.1，响第 2 声时被接听的概率为 0.15，响第 3 声时被接听的概率为 0.5，响第 4 声时被接听的概率为 0.22，那么在电话响前 4 声内被接听的概率是多少？分析 在电话响前 4 声内李老师接电话的事件包括：打进的电话“响第 1 声时被接听” ， “响第 2 声时被接听” ， “响第 3 声时被接听” ， “响第 4 声时被接听”这 4 个事件，而且只要有一个事件发生，其余的事件就不可能发生，从而求电话在响前 4 声内李老师接听的概率问题即为互斥事件有一个发生的概率问题解 李老师在电话响前 4 声内接听的概率
7、 P0.10.150.50.220.97.2把握相互独立事件中的“同时发生”相互独立事件即是否发生相互之间没有影响的事件求相互独立事件同时发生的概率，应用的是相互独立事件的概率乘法公式 P(A1A2An) P(A1)P(A2)P(An)例 2 甲、乙两名跳高运动员在一次 2 米跳高中成功的概率分别为 0.7、0.6，且每次试跳成功与否相互之间没有影响求：(1)甲试跳三次，第三次才成功的概率；(2)甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率解 记“甲第 i 次试跳成功”为事件 Ai， “乙第 i 次试跳成功”为事件 Bi， i1,2,3.依题意得 P(Ai)0.7， P(Bi)0.6，且 Ai
8、与 Bi相互独立(1)“甲第三次试跳才成功”为事件 1 2A3，AA所以 P( 1 2A3) P( 1)P( 2)P(A3)0.30.30.70.063.AA A A所以甲第三次试跳才成功的概率为 0.063.(2)记“甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功”为事件 C.P(C)1 P( 1 1)1 P( 1)P( 1)10.30.40.88.AB A B所以甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率为 0.88.点评 本题考查事件的独立性，以及互斥事件和对立事件等知识，关键在于理解事件的性质，然后正确运用相应的概率公式加以求解归纳总结1对于事件 A、 B，如果事件 A(或 B)是否发生对事
9、件 B(或 A)发生的概率没有影响，则称这两个事件为相互独立事件如甲袋中装有 3 个白球，2 个黑球，乙袋中装有 2 个白球，2 个黑球，从这两个袋中分别摸出一个球，把“从甲袋中摸出 1 个球，得到白球”记为事件 A，把“从乙袋中摸出 1 个球，得到白球”记为事件 B，显然 A 与 B 互相独立2弄清事件间的“互斥”与“相互独立”的区别两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响3理解并运用相互独立事件的性质如果事件 A 与 B 相互独立，那么下列各对事件： A 与 ，B与 B， 与 也都相互独立A A B4牢记公式的应用条件，准
10、确、灵活地运用公式- 4 -5认真审题，找准关键字句，提高解题能力如“至少有一个发生” “至多有一个发生”“恰有一个发生”等.3 概率题易错点剖析概率内容的新概念较多，相近概念容易混淆，本文就学生易犯错误作如下总结：1 “非等可能”与“等可能”混同例 1 掷两枚骰子，求所得的点数之和为 6 的概率错解 掷两枚骰子出现的点数之和有 2,3,4，12 共 11 种基本事件，所以概率为 P .111错因剖析 以上 11 种基本事件不是等可能的，如点数之和为 2 只有(1,1)，而点数之和为 6有(1,5)、(2,4)、(3,3)、(4,2)、(5,1)共 5 种事实上，掷两枚骰子共有 36 种基本事
11、件，且是等可能的，所以“所得点数之和为 6”的概率为 P .5362 “互斥”与“对立”混同例 2 把红、黑、白、蓝 4 张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁 4 个人，每个人分得 1 张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是_(填序号)对立事件； 不可能事件；互斥但不对立事件； 以上均不对错解 错因剖析 本题错误的原因在于把“互斥”与“对立”混同，要准确解答这类问题，必须搞清对立事件与互斥事件的联系与区别，这二者的联系与区别主要体现在以下三个方面：(1)两事件对立，必定互斥，但互斥未必对立；(2)互斥的概念适用于多个事件，但对立的概念只适用于两个事件；(3)两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发生
12、，即至多只能发生其中一个，但可以都不发生；而两事件对立则表明它们有且仅有一个发生事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是不能同时发生的两个事件，这两个事件可能恰有一个发生，一个也不发生，可能两个都不发生，所以应填.正解 3 “互斥”与“独立”混同例 3 甲投篮命中率为 0.8，乙投篮命中率为 0.7，每人投 3 次，两人恰好都命中 2 次的概率是多少？错解 设“甲恰好投中两次”为事件 A， “乙恰好投中两次”为事件 B，则两人都恰好投中两次为事件 A B， P(A B) P(A) P(B)C 0.820.2C 0.720.30.825.23 23- 5 -错因剖析 本题错误的原因是把相互独立同时发
13、生的事件当成互斥事件来考虑，将“两人都恰好投中 2 次”理解为“甲恰好投中两次”与“乙恰好投中两次”的和正解 设“甲恰好投中两次”为事件 A， “乙恰好投中两次”为事件 B，且 A， B 相互独立，则两人都恰好投中两次为事件 AB，于是 P(AB) P(A)P(B)C 0.820.2C 0.720.30.169.23 23点评 例 3 错误的原因在于把两事件互斥与两事件相互独立混同互斥事件是指两个事件不可能同时发生；两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件的发生与否没有影响它们虽然都描绘了两个事件间的关系，但所描绘的关系是根本不同的4 “条件概率 P(B|A)”与“积事件的概率 P(A
14、B)”混同例 4 袋中有 6 个黄色、4 个白色的乒乓球，作不放回抽样，每次任取一球，取 2 次，求第二次才取到黄球的概率错解 记“第一次取到白球”为事件 A， “第二次取到黄球”为事件 B， “第二次才取到黄球”为事件 C，所以 P(C) P(B|A) .69 23错因剖析 本题错误在于 P(AB)与 P(B|A)的含义没有弄清， P(AB)表示在样本空间 S 中， A与 B 同时发生的概率；而 P(B|A)表示在缩减的样本空间 SA中，作为条件的 A 已经发生的条件下事件 B 发生的概率正解 P(C) P(AB) P(A)P(B|A) .410 69 4155混淆有放回与不放回致错例 5
15、某产品有 3 只次品，7 只正品，每次取 1 只测试，取后不放回，求：(1)恰好到第 5 次 3 只次品全部被测出的概率；(2)恰好到第 k 次 3 只次品全部被测出的概率 f(k)的最大值和最小值错解 (1) P .310 29 78 57 16 1144(2)P5(3)C 3 20.132 3.35(310) (1 310)错因剖析 错解(1)的错误的原因在于忽视了“不放回摸球”问题的每一次摸球是不独立的；而错解(2)的错误的原因则在于忽视了“不放回摸球”问题的每一次摸球袋内球的总数是变的(比前一次少一个)正解 (1) P .C23C27A4A510 120(2)PC23Ck 37Ak 1
16、Ak10- 6 - (k1)( k2)(3 k10， kZ)，1240当 k3 时， f(k)min f(3) ；1120当 k10 时， f(k)max f(10) .3104 概率问题与其他知识的交汇概率和其他知识整合的题目近年来频频出现在各类考试中，这类题目覆盖面广，交汇性强，用到的数学思想和方法比较多，对能力要求较高，我们要给予充分关注，并注意总结解题方法1概率与函数例 1 在多项飞碟运动中，允许运动员射击两次运动员每一次射击命中碟靶的概率 p 与运动员离碟靶的距离 s(米)成反比，且距离 s(米)与碟靶飞行时间 t(秒)满足 s15( t1)(0 t4)现有一碟靶抛出后，某运动员在碟
17、靶飞出 0.5 秒时进行第一次射击命中的概率为 0.8；如果他发现没有命中，则迅速调整，在第一次射击后再经过 0.5 秒进行第二次射击，求此运动员命中碟靶的概率解 设 p (k 为常数)，则 p (0 t4)，ks k15t 1依题意当 t0.5 时， p10.8，则 k18，所以 p ，65t 1当 t1 时， p20.6.故此人命中碟靶的概率为p p1(1 p1)p20.8(10.8)0.60.92.点评 此题为条件概率问题(要注意第二次射击的前提)，两次射击可以理解为(有条件的)互斥事件2概率与不等式例 2 某商店采用“购物摸球中奖”的促销活动，球袋中装有 10 个球，号码为n(1 n1
18、0， nN *)的球的重量为 f(n) n29 n21，现有两种摸球方案：摸球 1 个，若球的重量小于该球的号码数，则中奖；一次摸出两个球，若两球的重量相等，则中奖试比较两种摸奖方案的中奖概率的大小解 方案，球的重量小于号码数，即 n29 n21p2，即方案的中奖概率大点评 解决此类问题需要先求不等式的整数解(实际问题的要求)，再计算中奖概率3概率与递推数列例 3 A、 B 两人拿两个骰子做抛掷游戏，规定：若掷出的点数之和是 3 的倍数，则由原抛掷者继续掷；若掷出的点数之和不是 3 的倍数就由对方接着掷，第一次由 A 开始掷，设第 n 次由 A 掷的概率为 pn，求 pn的表达式解 第 n 次
19、由 A 掷有两种情况：第 n1 次由 A 掷，第 n 次继续由 A 掷，此时概率为 pn1 ；第 n1 次由 B 掷，第 n 次1236由 A 掷，此时概率为 (1 pn1 )(11236)故有 pn pn1 (1 pn1 )(n2)，1236 (1 1236)即 pn pn1 (n2)13 23令 pn x (pn1 x)，13整理可得 x ，12故 pn (n2)，12 13(pn 1 12)又 p11，所以数列 是以 为首项，pn12 12 为公比的等比数列，13于是 pn n1 ，12 12( 13)即 pn n1 .12 12( 13)点评 弄清 pn与 pn1 的关系并建立递推关系
20、式是问题获得解决的关键.- 8 -5 深析超几何分布与二项分布的关系超几何分布与二项分布都是随机变量取非负整数值的离散分布，表面上看，两种分布的概率求取有截然不同的表达式，但看它们的概率分布表，会发现构造上的相似点课本中对超几何分布的模型建立是这样的：若有 N 件产品，其中 M 件是废品，无放回地任意抽取 n 件，则其中恰有的废品件数 X 是服从超几何分布的而对二项分布则使用比较容易理解的射击问题来建立模型若将超几何分布的概率模型改成：若有 N 件产品，其中 M 件是废品，有放回地任意抽取 n 件，则其中恰有的废品件数 X 是服从二项分布的在这里，两种分布的差别就在于“有”与“无”的差别，只要
21、将概率模型中的“无”改为“有” ，或将“有”改为“无” ，就可以实现两种分布之间的转化超几何分布与二项分布是两个非常重要的概率模型，许多实际问题都可以利用这两个概率模型来求解在实际应用中，理解并辨别这两个概率模型是至关重要的下面通过几个例子说明一下两者的区别例 1 从 6 名男生和 4 名女生中，随机选出 3 名学生参加一项竞技测试，试求选出的 3 名学生中女生人数 的概率分布解 由题意得 0,1,2,3. 服从参数为 N10， M4，n3 的超几何分布P( 0) ，C36C310 20120 16P( 1) ，C14C26C310 60120 12P( 2) ，C24C16C310 3612
22、0 310P( 3) ，故 的概率分布为C34C310 4120 130 0 1 2 3P 16 12 310 130点评 这是一道超几何分布的题目，学生在做的时候容易把它看成是二项分布问题，把事件发生的概率看作是 0.4.例 2 甲、乙两人玩秒表游戏，按开始键，然后随机按暂停键，观察秒表最后一位数，若出现 0,1,2,3，则甲赢，若出现 6,7,8,9，则乙赢，若出现 4,5 是平局玩三次，记甲赢的次数为随机变量 X，求 X 的概率分布- 9 -解 由题意得 X0,1,2,3，P(X0)C 0.630.216，03P(X1)C 0.620.40.432，13P(X2)C 0.60.420.2
23、88，23P(X3)C 0.430.064.3故 X 的概率分布为X 0 1 2 3P 0.216 0.432 0.288 0.064点评 这是一道二项分布的题目，学生容易看成超几何分布，认为 X 服从N10， M4， n3 的超几何分布二项分布应满足独立重复试验：每一次试验中只有两种结果(要么发生，要么不发生)任何一次试验中发生的概率都一样每次试验间是相互独立的、互不影响的.6 三法求均值数学期望也称均值，是离散型随机变量的一个重要的数字特征，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，期望的求解策略也有多种，下面通过实例来阐述1利用定义求均值根据定义求离散型随机变量的均值，首先要求概率分布，然后
24、利用公式 E( ) x1p1 x2p2 xnpn求解例 1 一接待中心有 A， B， C， D 四部热线电话已知某一时刻电话 A， B 占线的概率为0.5，电话 C， D 占线的概率为 0.4，各部电话是否占线相互之间没有影响假设该时刻有 部电话占线，试求随机变量 的概率分布和它的均值分析 先判断 的所有可能取值，再根据相应知识求概率解 由题意知 的所有可能取值为 0,1,2,3,4.P( 0)0.5 20.620.09，P( 1)C 0.520.62C 0.40.60.520.3，12 12P( 2)C 0.520.62C 0.52C 0.40.6C 0.420.520.37，2 12 12
25、 2P( 3)C 0.52C 0.40.6C 0.52C 0.420.2，2 12 12 2P( 4)0.5 20.420.04.于是得到随机变量 的概率分布为- 10 - 0 1 2 3 4P 0.09 0.3 0.37 0.2 0.04所以 E( )00.0910.320.3730.240.041.8.点评 均值与概率分布联系密切，正确地求出随机变量的概率分布，是求均值的关键解题时，确定随机变量 取哪些值及相应的概率，是利用定义求均值的重点2利用公式求均值有些离散型随机变量如果归结为两点分布、二项分布等常见分布类型时就常使用公式法求均值其中：(1)若 X 服从两点分布，则 E(X) p(p
26、 为 X 的成功概率)(2)若 X 服从二项分布，即 X B(n， p)，则 E(X) np.(3)若 X 服从超几何分布，则 E(X) .MnN例 2 一个袋子里装有大小相同的 5 个白球和 5 个黑球，从中任取 4 个，求其中所含白球个数的均值解 根据题目所含白球数 X 服从参数 N10， M5， n4 的超几何分布，则 E(X) nMN2.4510所以从中任取 4 个球所含白球个数的均值为 2.点评 此题判断随机变量服从哪种分布是关键，再者要弄清公式中参数的含义3利用性质求均值对于 aX b 型的随机变量一般用性质 E(aX b) aE(X) b 来求解例 3 交 5 元钱，可以参加一次
27、摸奖，一袋中有大小相同的球 10 个，其中有 8 个标有 1 元钱，2 个标有 5 元钱，摸奖者只能从中任取 2 个球，他所得奖励是所摸 2 球的钱数之和求摸奖人获利的均值解 设 X 为摸到的 2 球钱数之和，则 X 的可能取值为X2(摸到 2 个 1 元)； X6(摸到 1 个 1 元，1 个 5 元)；X10(摸到 2 个 5 元)故由题意可得P(X2) ，C28C210 2845P(X6) ，C18C12C210 1645P(X10) .C2C210 145- 11 -所以 E(X)2 6 10 .2845 1645 145 185又设 Y 为摸奖者获利的可能值，则 Y X5，所以摸奖者
28、获利的均值 E(Y) E(X)51.4.点评 解决此类问题的关键是找出变量 Y 与 X 的内在联系，并正确套用性质.7 用独立事件同时发生的概率讲“道理”概率本身就来源于生活，又服务于生活在日常生活中，我们经常会遇到有理说不清的情况，如果我们有时能准确合理的运用概率知识进行分析，通过严密的分析和详实准确的数据，往往不仅能把道理讲清，而且能把道理讲透，讲得让人“心服口服” 如果不信，下面我们就不妨用独立事件同时发生的概率来讲两个道理道理 1：我国的大教育家孔子曰：“三人行，必有我师焉” 能用概率知识诠释孔子的这句名言吗？诠释：俗话说：“三百六十行，行行出状元 ”我们不妨把一个人的才能分成 360
29、 个方面因为孔子是大学问家，我们假设他在每一行的排名都处在前的可能性为 99%，即任意一个人在任一方面的才能低于他的可能性为 99%.另外两个人在任何一方面的才能不如孔子分别看作两个独立事件，则在任一行中，这两个人的才能均不超过孔子就成了概率中两个独立事件同时发生的模型，所以可能性是 99%99%98.01%.而在 360 行中，另外两人的才能均不超过孔子的可能性即为独立事件重复发生的概率，所以为(98.01%) 3600.07%.反过来说，另外两人中有人的才能在某一方面超过孔子的可能性为 1(98.01%) 36099.93%.也就是说，两人中有人可以在某一方面做孔子的老师的可能性约为 99
30、.93%.从上面的分析可知， “三人行，必有我师”虽然是孔子自谦的话，但从实际情况来看，这句话是很有道理的道理 2：小强和小明的家都在同一栋 10 层的小高层里，小强家在顶层，小强坚持认为由于小高层有从底层到顶层的电梯，所以自己从电梯上楼到家的速度应该是相当快的可是小明并不这样认为，但是又无法说服小强，只是一味地强调如果考虑每层都有人要上电梯，那么也要耽误很多时间，所以乘电梯也不一定很快我们如何来帮助小明通过准确的数据来说服小强呢？我们不妨设计这样一个问题：十层电梯从底层到顶层停不少于 3 次的概率是多少？停几次概率最大？解 依题意，从底层到顶层停不少于 3 次，应包括停 3 次，停 4 次，
31、停 5 次，停 9次这些情况都是互斥关系，电梯每一层停的概率为 ，每种具体的情况实际上是独立事件12- 12 -重复发生的概率问题从底层到顶层停不少于 3 次的概率PC 3 6C 4 5C 5 4C 9(C C C C ) 939(12)(12) 49(12)(12) 59(12)(12) 9(12) 39 49 59 9(12)2 9(C C C ) 909 19 29 (12)(2 946) 9 .(12) 233256设从底层到顶层停 k 次，则其概率为C k 9 kC 9，k9(12)(12) k9(12)当 k4 或 k5 时，C 最大，即 C 9最大，k9 k9(12)从底层到顶层
32、停不少于 3 次的概率为 ，233256停 4 次或 5 次的概率最大通过上面的详实分析和准确数据，我们发现由于电梯至少停三次的概率较大，而且停 4 次或5 次的可能性最大，因为每次电梯停下来开门、关门等都要耽误一定的时间，累计起来耽误的时间却是不少，所以小明的观念还是有一定的道理的生活中像这样的现象很多，表面上看起来都与概率无关，但是对于“数学人”来说，生活中的概率无处不在，关键就在于要善于将这些现象转化为概率模型，通过数学知识来进行定性和定量分析，达到“以理服人”的效果.8 生活中的概率问题在日益发展的信息社会中，即使一般的劳动者，也必须具备基本的数学运算能力以及应用数- 13 -学思想去
33、观察和分析工作、生活乃至从事经济、政治活动的能力在存款、利息、投资、保险、成本、利润、彩票等中，我们常遇见一些概率问题下面就我们现实生活中常见的一些概率问题进行一些简单的分析：1谁先谁后的问题单位有六台旧麻将机将处理给单位员工，定价 300 元一台结果有 12 位希望买一台于是单位领导就写了十二张小纸条，其中有六张写着“恭喜购买成功” ，另六张写着“谢谢你的配合，你购买不成功！” 再把纸条折好然后叫十二位员工按先后顺序来抓请问：这十二位员工抽中的概率是一样的吗？也就是说这种方法公平吗？最后一位员工是不是最划不来？显然，对于第一个抓纸条的人来说，他从 12 张纸条中选一张，抽到“恭喜购买成功”的
34、概率为 .对于第二个抓纸条的人来说，可以分两种情况考虑：第一个人抽中，他抽中的概率，12第一个人没有抽中，他抽中的概率，这两种情况是等概率事件，所以不管第一个人抽中还是没抽中，不影响第二个人抽中的概率同样对于第三个人来说，他抽中的概率可以分成四种情况考虑：一中，二中，他抽中的概率，一中，二不中，他抽中的概率，一不中，二中，他抽中的概率，一不中，二不中，他抽中的概率，这四种情况是等概率事件，所以也不影响第三个人抽中的概率由此可以类推，第四个人，第五个人等，抽中的概率都不受影响，所以这种方法是公平的，哪个人先抽，哪个人后抽，对个人来说，没有影响2性别问题你隔壁刚刚搬来了新的邻居，透过墙壁，你可以清
35、楚的听到有 3 个小孩的声音，但是，因为这 3 个小孩，年龄都很小，所以你不确定他们是男是女1基于好奇心，你决定到隔壁敲门，看看他们是男是女，这个时候，一个男孩出来开门，请问，这 3 个小孩都是男孩的概率是多少？2当然，你还是没有足够的讯息，确定所有 3 个小孩的性别所以，你决定再找个理由，到隔壁敲了第二次门，很幸运的是，这次来开门的是另外的一个男孩，请问，这 3 个小孩都是男孩的概率是多少？3如果，你第三次去敲了隔壁邻居的门，请问，你可以百分之百确定这 3 个性别的概率是多少？对于这种问题，我们在平时的言谈中经常会遇到，一下子接触，感觉有点懵其实这种问题认真分析的话也会感觉到其中的乐趣.1.
36、一个男孩开门，那么就会有两个小孩不知道性别，有四种可能，所以全是男孩的概率为 .2.第二次敲门，又有一个男孩开门，就只有一个小孩14不知道性别，有两种可能，所以全是男孩的概率为 .3.第三次敲门，三个小孩都有可能开门，12- 14 -所以全是男孩的概率为 .这种问题其实和抛硬币，掷骰子的问题大致相同，只是情境不同123玩扑克牌中的出牌问题在玩扑克牌中，我们经常会懊悔出错了牌，一手好牌就此浪费了比如斗地主中，炸弹(四个相同的点数或双王)，三带一，连子，出现的概率很低，对子，单的概率很高，所以合理的安排出牌，胜利的次数就比较多如果一个玩牌者经过计算，认定出牌 A 比出牌 B 获胜的概率大，那么它会
37、出牌 A，尽管出牌 A 也有招致失败的风险可见，在生活中，我们会遇到很多难题，当我们从概率的角度进行判断，然后作出决策时，完全有可能犯错误，不可能有绝对的把握正确只是，我们总希望犯错误的概率小一些，能够使自己获得最高的成功率把握住事件出现的概率，我们就很容易的做出判断解决问题4生日相同的问题如果一个班级有 50 位学生，那么其中至少有两位学生生日相同的概率是多少？要直接计算 50 人中有至少 2 人生日相同比较困难我们就先算出全部不同的概率然后用1 减去它就是至少有 2 人相同的概率了我们可以这样考虑：随意找一位学生甲，他的生日可以是 365(不考虑闰年)天中的任意一天，所以有 365 种可能，对于学生乙同样有 365 种可能，所以 50 位学生生日的情况就有 36550种生日不相同的情况，对于甲有 365 种可能，乙和甲不同就有 364 种，所以 50 位学生生日不同的情况有 A 种，所以生日不同的概率为50365，所以至少有两位学生生日相同的概率为 1 .A5036536550 A5036536550该问题的概率较大，正说明一些看似巧合的现象其实极为平凡，这也有助于我们破除迷信，树立唯物主义的世界观.
