1、- 1 -2.1.3 推理案例赏析学习目标 1.通过对具体的数学思维过程的考察，进一步认识合情推理和演绎推理的作用、特点以及两者之间的联系.2.尝试用合情推理和演绎推理研究某些数学问题，提高分析问题、探究问题的能力知识链接1归纳推理的结论是否正确？它在数学活动中有什么作用？答 归纳推理的结论具有猜测的性质，结论不一定正确；它可以为数学活动的结论提供目标和方向2类比推理的结论是否一定正确？答 从类比推理的思维过程可以看出：类比的前提是观察、比较和联想，其结论只是一种直觉的、经验式的推测，它还只是一种猜想，结论的正确与否，有待于进一步论证3合情推理与演绎推理有何异同之处？答 合情推理是从特殊到一般
2、，思维开放，富于创造性，但结论不一定正确，是一种或然推理演绎推理是从一般到特殊，思维收敛，较少创造性，当前提和推理形式都正确时，结论一定正确，是一种必然推理合情推理为演绎推理确定了目标和方向，而演绎推理又论证了合情推理结论的正误，二者相辅相成，相互为用，共同推动着发现活动的进程预习导引1数学活动与探索数学发现活动是一个探索创造的过程，是一个不断地提出猜想、验证猜想的过程2合情推理和演绎推理的联系在数学活动中，合情推理具有提出猜想、发现结论、提供思路的作用，演绎推理为合情推理提供了前提，对猜想作出“判决”或证明，从而为调控探索活动提供依据要点一 运用归纳推理探求结论例 1 已知数列的前 4 项为
3、 ，1， ， ，试写出这个数列的一个通项公式32 710917解 把已知 4 项改写为 ， ， ，记此数列的第 n 项为 an，则有 a1 ， a23255710917 21 112 1- 2 -， a3 ， a4 ，.22 122 1 23 132 1 24 142 1据此猜测 an .2n 1n2 1规律方法 运用归纳推理猜测一般结论，关键在于挖掘事物的变化规律和相互关系，可以对式子或命题进行适当转换，使其中的规律明晰化跟踪演练 1 下列各图均由全等的小等边三角形组成，观察规律，归纳出第 n 个图形中小等边三角形的个数为_答案 n2解析 前 4 个图中小等边三角形的个数分别为 1,4,9,
4、16.猜测：第 n 个图形中小等边三角形的个数为 n2.要点二 运用类比推理探求结论例 2 Rt ABC 中， C90， CD AB 于 D，则 BC2 BDBA(如图甲)类比这一定理，在三条侧棱两两垂直的三棱锥 P ABC(如图乙)中，可得到什么结论？解 如图，在三棱锥 P ABC 中，作 PO平面 ABC，连结 OB， OC，猜想下列结论：S S OBCS ABC.2 PBC证明：连结 AO，并延长交 BC 于 D，连结 PD.PA PB， PA PCPA平面 PBC. PD平面 PBC， BC平面 PBC， PA PD， PA BC.- 3 - PO平面 ABC， AD平面 ABC， B
5、C平面 ABC， PO AD， PO BC. BC平面 PAD. BC AD， BC PD.S ( BCPD)2 BC2PD2，2 PBC12 14S OBCS ABC BCOD BCAD12 12 BC2ODAD.14 PD2 ODAD， S S OBCS ABC.2 PBC规律方法 在类比推理中，要提炼两类事物的共同属性一般而言，提炼的共同属性越本质，则猜想的结论越可靠跟踪演练 2 如图，设 ABC 中， BC a， AC b， AB c， BC 边上的高 AD h.扇形 A1B1C1中， l，半径为 R， ABC 的面积可通过下列公式计算：(1)S ah；12(2)S bcsin BAC
6、.12运用类比的方法，猜想扇形 A1B1C1的面积公式，并指出其真假(1)_；(2)_答案 (1) S lR 真命题12(2)S R2sinA1 假命题12要点三 运用演绎推理证明结论的正确性例 3 在数列 an中， a12， an1 4 an3 n1， nN *.(1)求证数列 an n是等比数列；(2)求数列 an的前 n 项和 Sn；(3)求证不等式 Sn1 4 Sn恒成立( nN *)(1)证明 由 an1 4 an3 n1，得 an1 ( n1)4( an n)， nN *.A1B- 4 - 4 ( nN *)an 1 (n 1)an n数列 an n是以 a11，即 211 为首项
7、，以 4 为公比的等比数列(2)解 由(1)可知 an n4 n1 ， an n4 n1 . Sn a1 a2 an(14 0)(24 1)( n4 n1 )(12 n)(144 n1 ) 4n .n(n 1)2 13 13(3)证明 由(2)知， Sn1 4 Sn 4n1 4 4n (n 1)(n 2)2 13 13 n(n 1)2 13 13 2 n(n1)1 0， Sn1 4 Sn恒成立( nN *)(n 1)(n 2)2 (n 1)(3n 4)2规律方法 演绎推理的一般形式是三段论，证题时要明确三段论的大前提、小前提和结论，写步骤时常省略大前提或小前提跟踪演练 3 已知函数 y f(x
8、)满足：对任意 a， bR， a b，都有 af(a) bf(b)af(b) bf(a)，试证明： f(x)为 R 上的单调增函数证明 设 x1， x2R，取 x1x1f(x2) x2f(x1)， x1f(x1) f(x2) x2f(x2) f(x1)0，f(x2) f(x1)(x2 x1)0， x10， f(x2)f(x1) y f(x)为 R 上的单调增函数.1一个数列的第 2 项到第 4 项分别是 3， ， ，据此可以猜想这个数列的第一项是15 21_答案 3解析 a2 ，9 62 3a3 ，15 63 3a4 ，21 64 3猜想 a1 .61 3 32在平面中，圆内接平行四边形一定是
9、矩形运用类比，可猜想在空间有如下命题：_.答案 球内接平行六面体一定是长方体- 5 -3设 xi0 (iN *)，有下列不等式成立， x1 x22 ； x1 x2 x33 ，类比x1x2 3x1x2x3上述结论，对于 n 个正数 x1， x2， xn，猜想有下述结论_答案 x1 x2 xn nnx1x2xn4已知 a， bN *， f(a b) f(a)f(b)， f(1)2，则 _.f(2)f(1) f(3)f(2) f(2015)f(2014)答案 4028解析 令 b1，则 f(a1) f(a)f(1)， f(1)2.f(a 1)f(a) 222220144028.f(2)f(1) f(
10、3)f(2) f(2015)f(2014)1.数学活动中，合情推理和演绎推理相辅相成，共同推动发现活动的进程2合情推理中要对已有事实进行分析，作出猜想，猜想的结论为演绎推理提供了目标和方向一、基础达标1有两种花色的正六边形地板砖，按下面的规律拼成若干个图案，则第 6 个图案中有底纹的正六边形的个数是_答案 31解析 有底纹的正六边形的个数组成等差数列 a16，d5， a66(61)531.2观察下列不等式：1 ，1 1,1 ，1 2,1 ，12 12 13 12 13 1732 12 13 115 12 13 13152由此猜测第 n 个等式为_(nN *)答案 1 12 13 12n 1n2
11、3已知数列 an的前 n 项和为 Sn，且 Sn n21.则此数列的前 4 项分别为- 6 -a1_， a2_， a3_， a4_.据此猜测，数列 an的通项公式为 an_.答案 2 3 5 7 Error!4正方形 ABCD 中，对角线 AC BD.运用类比的方法，猜想正方体 ABCD A1B1C1D1中，相关结论：_.答案 对角面 AA1C1C面 BB1D1D5如果函数 f(x)是奇函数，那么 f(0)0.因为函数 f(x) 是奇函数，所以 f(0)0.这段1x演绎推理错误的原因是_答案 大前提错误6已知 ABC 中， AD BC 于 D，三边是 a， b， c，则有 a ccosB bc
12、osC；类比上述推理结论，写出下列条件下的结论：四面体 P ABC 中， ABC， PAB， PBC， PCA 的面积分别是 S， S1， S2， S3，二面角 P AB C， P BC A， P AC B 的度数分别是 ， ， ，则S_.答案 S1cos S2cos S3cos7已知等式： tan30tan30tan30tan30 ，3 3tan20tan40tan20tan40 ，3 3tan15tan45tan15tan45 .3 3据此猜想出一个一般性命题，并证明你的猜想解 猜想： tan tan tan tan ，3 3其中 60.证明：tan( ) ，tan tan1 tan ta
13、n即 .3tan tan1 tan tan整理，得 tan tan tan tan .3 3二、能力提升8已知等式：(tan51)(tan401)2；(tan151)(tan301)2；(tan251)(tan201)2.据此可猜想出一个一般性命题：_.答案 (tan 1)tan(45 )129设 M 是具有以下性质的函数 f(x)的全体：对于任意 s0， t0，都有 f(s) f(t)log2(24)，所以 f1(x)M.对于 f2(x)2 x1：2 s12 t1(2 s t1)(2 s1)(2 t1)n0， p )上，椭圆的离心率是 e，则 .x2m2 y2n2 m2 n2 sinA si
14、nCsinB 1e将该命题类比到双曲线中，给出一个命题：_.答案 平面直角坐标系 xOy 中， ABC 的顶点 A( p,0)和 C(p,0)，顶点 B 在双曲线 1( m， n0， p )上，双曲线的离心率为 e，则 x2m2 y2n2 m2 n2 |sinA sinC|sinB 1e11已知等差数列 an的公差 d2，首项 a15.(1)求数列 an的前 n 项和 Sn；(2)设 Tn n(2an5)，求 S1， S2， S3， S4， S5； T1， T2， T3， T4， T5，并归纳出 Sn与 Tn的大小规律解 (1) a15， d2， Sn5 n 2 n(n4)n(n 1)2(2)
15、 Tn n(2an5) n2(2n3)54 n2 n. T15， T242 2218， T343 2339，T444 2468， T545 25105.S15， S22(24)12， S33(34)21，S44(44)32， S55(54)45.由此可知 S1 T1，当 2 n5， nN 时， SnTn.归纳猜想：当 n1 时， Sn Tn；当 n2， nN 时， SnTn.12在平面中有命题：等腰三角形底边上任一点到两腰距离之和等于一腰上的高把此结论类比到空间的正三棱锥，猜想并证明相关结论解 猜想结论：正三棱锥底面上任一点到三个侧面的距离之和等于以侧面为底时三棱锥的高- 8 -证明如下：设
16、P 为正三棱锥 A BCD 底面上任一点，点 P 到平面 ABC， ACD， ABD 的距离分别为 h1， h2， h3，以侧面 ABC 为底时对应的高为 h，则：VP ABC VP ACD VP ABD VD ABC.即： S ABCh1 S ACDh2 S ABDh313 13 13 S ABCh.13 S ABC S ACD S ABD， h1 h2 h3 h，此即要证的结论三、探究与创新13记 Sn为数列 an的前 n 项和，给出两个数列：()5,3,1，1，3，5，7，()14，10，6，2,2,6,10,14,18，(1)对于数列()，计算 S1， S2， S4， S5；对于数列(
17、)，计算 S1， S3， S5， S7；(2)根据上述结果，对于存在正整数 k，满足 ak ak1 0 的这一类等差数列 an的和的规律，猜想一个正确的结论，并加以说明解 (1)对于数列()， S1 S55， S2 S48；对于数列()， S1 S714， S3 S530.(2)对于等差数列 an，当 ak ak1 0 时，猜想 Sn S2k n(n2 k， n， kN *)下面给出证明：设等差数列 an的前项为 a1，公差为 d. ak ak1 0， a1( k1) d a1 kd0，2 a1(12 k)d.又 S2k n Sn(2 k n)a1 d na1 d(2k n)(2k n 1)2 n(n 1)2( k n)(12 k) d0. S2k n Sn，猜想正确(2k n)(2k n 1)2 n(n 1)2
