1、- 1 -第 2 章 推理与证明1归纳和类比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整体的推理，后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推测未知，都能用于猜想，推理的结论不一定为真，有待进一步证明2演绎推理与合情推理不同，是由一般到特殊的推理，是数学中证明的基本推理形式也是公理化体系所采用的推理形式，另一方面，合情推理与演绎推理又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性3直接证明和间接证明是数学证明的两类基本证明方法直接证明的两类基本方法是综合法和分析法：综合法是从已知条件推导出结论的证明方法；分析法是由结论追溯到条件的证明方法，在解决数学问题时，常把它们结合起来使用，间接证法的
2、一种方法是反证法，反证法是从结论反面成立出发，推出矛盾的证明方法.题型一 归纳推理和类比推理归纳推理和类比推理是常用的合情推理，两种推理的结论“合情”但不一定“合理” ，其正确性都有待严格证明尽管如此，合情推理在探索新知识方面有着极其重要的作用运用合情推理时，要认识到观察、归纳、类比、猜想、证明是相互联系的在解决问题时，- 2 -可以先从观察入手，发现问题的特点，形成解决问题的初步思路，然后用归纳、类比的方法进行探索、猜想，最后用逻辑推理方法进行验证例 1 观察下列各式： a b1， a2 b23， a3 b34， a4 b47， a5 b511，则a10 b10_.答案 123解析 记 an
3、 bn f(n)，则 f(3) f(1) f(2)134； f(4) f(2) f(3)347； f(5) f(3) f(4)11.通过观察不难发现 f(n) f(n1) f(n2)(nN *， n3)，则 f(6) f(4) f(5)18； f(7) f(5) f(6)29； f(8) f(6) f(7)47； f(9) f(7) f(8)76； f(10) f(8) f(9)123.所以 a10 b10123.跟踪演练 1 给出下列三个类比结论：( ab)n anbn与( a b)n类比，则有( a b)n an bn；log a(xy)log axlog ay 与 sin( )类比，则有
4、 sin( )sin sin ；( a b)2 a22 ab b2与( a b)2类比，则有( a b)2 a22 ab b2.其中正确结论的个数是_答案 1解析 ( a b)n an bn(n1， ab0)，故错误sin( )sin sin 不恒成立如 30， 60，sin901，sin30sin60 ，故错误34由向量的运算公式知正确题型二 直接证明综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题常用的思维方式如果从解题的切入点的角度细分，直接证明方法可具体分为：比较法、代换法、放缩法、判别式法、构造函数法等，应用综合法证明问题时，必须首先想到从哪里开始起步，分析法就可以帮
5、助我们克服这种困难，在实际证明问题时，应当把分析法和综合法结合起来使用例 2 已知 a0，求证： a 2.a2 1a2 2 1a证明 要证 a 2，a2 1a2 2 1a只需证 2 a .a2 1a2 1a 2 a0，故只需证 2 2，(a2 1a2 2) (a 1a 2)即 a2 4 4 a22 2 2，1a2 a2 1a2 1a2 2(a 1a)- 3 -从而只需证 2 ，a2 1a2 2(a 1a)只要证 4 2 ，(a21a2) (a2 2 1a2)即 a2 2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立1a2跟踪演练 2 如图，在四面体 B ACD 中， CB CD， AD BD，且 E，
6、 F 分别是 AB， BD 的中点，求证：(1)直线 EF平面 ACD；(2)平面 EFC平面 BCD.证明 (1)要证直线 EF平面 ACD，只需证 EF AD 且 EF平面 ACD.因为 E， F 分别是 AB， BD 的中点，所以 EF 是 ABD 的中位线，所以 EF AD，所以直线 EF平面 ACD.(2)要证平面 EFC平面 BCD，只需证 BD平面 EFC，只需证Error!因为Error! 所以 EF BD.又因为 CB CD， F 为 BD 的中点，所以 CF BD.所以平面 EFC平面 BCD.题型三 反证法如果一个命题的结论难以直接证明时，可以考虑反证法通过反设结论，经过
7、逻辑推理，得出矛盾，从而肯定原结论成立反证法是高中数学的一种重要的证明方法，在不等式和立体几何的证明中经常用到，在高考题中也经常体现，它所反映出的“正难则反”的解决问题的思想方法更为重要反证法主要证明：否定性、惟一性命题；至多、至少型问题；几何问题例 3 已知二次函数 f(x) ax2 bx c(a0)的图象与 x 轴有两个不同的交点，若 f(c)0，且 00.(1)证明： 是函数 f(x)的一个零点；1a(2)试用反证法证明 c.1a- 4 -证明 (1) f(x)图象与 x 轴有两个不同的交点， f(x)0 有两个不等实根 x1， x2， f(c)0， x1 c 是 f(x)0 的根，又
8、x1x2 ， x2 ( c)，ca 1a1a 是 f(x)0 的一个根1a即 是函数 f(x)的一个零点1a(2)假设 0，由 00，1a 1a知 f( )0 与 f( )0 矛盾， c，1a 1a 1a又 c， c.1a 1a跟踪演练 3 若 a， b， c 均为实数，且 a x22 y ， b y22 z ， c z22 x .求 2 3 6证： a， b， c 中至少有一个大于 0.证明 假设 a， b， c 都不大于 0，即 a0， b0， c0，则 a b c0，而 a b c x22 y y22 z z22 x ( x1) 2( y1) 2 3 62( z1) 23.30，且( x
9、1) 2( y1) 2( z1) 20， a b c0，这与 a b c0 矛盾，因此假设不成立， a， b， c 中至少有一个大于 0.1.合情推理主要包括归纳推理和类比推理(1)归纳推理的基本模式： a， b， c M 且 a， b， c 具有某属性，结论： d M， d 也具有某属性(2)类比推理的基本模式： A 具有属性 a， b， c， d； B 具有属性 a， b， c；结论： B 具有属性 d.( a， b， c， d 与 a， b， c， d相似或相同)2使用反证法证明问题时，常见的“结论词”与“反设词”列表如下：原结论词 反设词 原结论词 反设词至少有一个 一个也没有 对所有 x 成立 存在某个 x 不成立至多有一个 至少有两个 对任意 x 不成立 存在某个 x 成立- 5 -至少有 n 个 至多有 n1 个 p 或 q p 且 q至多有 n 个 n1 个 p 且 q p 或 q
