1、- 1 -第 3 章 数系的扩充与复数的引入1复数的概念(1)虚数单位 i；(2)复数的代数形式 z a bi(a， bR)；(3)复数的实部、虚部、虚数与纯虚数2复数集Error!复 数 a bi3复数的四则运算若两个复数 z1 a1 b1i， z2 a2 b2i(a1， b1， a2， b2R)(1)加法： z1 z2( a1 a2)( b1 b2)i；(2)减法： z1 z2( a1 a2)( b1 b2)i；(3)乘法： z1z2( a1a2 b1b2)( a1b2 a2b1)i；(4)除法： 2)z1z2- 2 - i(z20)；a1a2 b1b2a2 b2 a2b1 a1b2a2
2、b2(5)实数四则运算的交换律、结合律、分配律都适合于复数的情况；(6)特殊复数的运算：i n(n为正整数)的周期性运算；(1i)22i；若 i，则 31,1 20.12 324共轭复数与复数的模(1)若 z a bi，则 a bi， z 为实数， z 为纯虚数( b0)z z z(2)复数 z a bi的模| z| ，a2 b2且 z | z|2 a2 b2.z5复数的几何形式(1)用点 Z(a， b)表示复数 z a bi(a， bR)，用向量 O 表示复数 z a bi(a， bR)，Z Z称为 z在复平面上的对应点，复数与复平面上的点一一对应(坐标原点对应实数 0)(2)任何一个复数
3、z a bi一一对应着复平面内一个点 Z(a， b)，也一一对应着一个从原点出发的向量 .OZ 6复数加、减法的几何意义(1)复数加法的几何意义若复数 z1、 z2对应的向量 、 不共线，则复数 z1 z2是以 、 为两邻边的平行四边OZ1 OZ2 OZ1 OZ2 形的对角线 所对应的复数OZ (2)复数减法的几何意义复数 z1 z2是连接向量 、 的终点，并指向 Z1的向量所对应的复数.OZ1 OZ2 题型一 分类讨论思想的应用当复数的实部与虚部含有字母时，利用复数的有关概念进行分类讨论分别确定什么情况下是实数、虚数、纯虚数当 x yi没有说明 x， yR 时，也要分情况讨论- 3 -例 1
4、 已知复数 z ( a25 a6)i( aR)，试求实数 a分别取什么值时， z分别a2 7a 6a2 1为(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数解 (1)当 z为实数时，则有Error!Error!当 a6 时， z为实数(2)当 z为虚数时，则有Error!Error! a1 且 a6，即当 a(，1)(1,1)(1,6)(6，)时， z为虚数(3)当 z为纯虚数时，则有Error!Error!不存在实数 a，使 z为纯虚数跟踪演练 1 当实数 a为何值时， z a22 a( a23 a2)i.(1)为实数； (2)为纯虚数；(3)对应的点在第一象限内；(4)复数 z对应的点在直线 x y0
5、 上解 (1) zR a23 a20，解得 a1 或 a2.(2)z为纯虚数，则Error!即Error!故 a0.(3)z对应的点在第一象限，则Error!Error! a0，或 a2. a的取值范围是(，0)(2，)(4)依题设( a22 a)( a23 a2)0， a2.题型二 数形结合思想的应用数形结合既是一种重要的数学思想，又是一种常用的数学方法本章中，复数本身的几何意义、复数的模以及复数加减法的几何意义都是数形结合思想的体现它们得以相互转化涉及的主要问题有复数在复平面内对应点的位置、复数运算及模的最值问题等例 2 已知等腰梯形 OABC的顶点 A、 B在复平面上对应的复数分别为12
6、i，26i， OA BC.求顶点 C所对应的复数 z.解 - 4 -设 z x yi， x， yR，如图 OA BC， OC BA， kOA kBC，| zC| zB zA|，即Error!解得Error!或Error! OA BC， x23， y24(舍去)，故 z5.跟踪演练 2 已知复数 z1i(1i) 3.(1)求| z1|；(2)若| z|1，求| z z1|的最大值解 (1)| z1|i(1i) 3|i|1i| 32 .2(2)如图所示，由| z|1 可知， z在复平面内对应的点的轨迹是半径为 1，圆心为 O(0,0)的圆，而 z1对应着坐标系中的点 Z1(2，2)所以| z z1
7、|的最大值可以看成是点 Z1(2，2)到圆上的点的距离的最大值由图知| z z1|max| z1| r(r为圆半径)2 1.2题型三 转化与化归思想的应用在求复数时，常设复数 z x yi(x， yR)，把复数 z满足的条件转化为实数 x， y满足的条件，即复数问题实数化的基本思想在本章中非常重要例 3 已知 z是复数， z2i， 均为实数，且( z ai)2的对应点在第一象限，求实数 a的z2 i取值范围解 设 z x yi(x， yR)，则 z2i x( y2)i 为实数， y2.又 (x2i)(2i)z2 i x 2i2 i 15- 5 - (2x2) (x4)i 为实数，15 15 x
8、4. z42i，又( z ai)2(42i ai)2(124 a a2)8( a2)i 在第一象限Error!解得 2a6.实数 a的取值范围是(2,6)跟踪演练 3 已知 x， y为共轭复数，且( x y)23 xyi46i，求 x， y.解 设 x a bi(a， bR)，则 y a bi.又( x y)23 xyi46i，4 a23( a2 b2)i46i，Error!Error!或Error!或Error! 或Error!Error!或Error!或Error! 或Error!题型四 类比思想的应用复数加、减、乘、除运算的实质是实数的加减乘除，加减法是对应实、虚部相加减，而乘法类比多项
9、式乘法，除法类比根式的分子分母有理化，且要注意 i21.在运算的过程中常用来降幂的公式有(1)i的乘方：i 4k1，i 4k1 i，i 4k2 1，i 4k3 i( kZ)；(2)(1i)22i；(3)设 i，则12 32 31， 2 ，1 20， 2， 3n1， 3n1 (nN *)等；1(4) 31；(1232i)(5)作复数除法运算时，有如下技巧： i，利用此结论可使一些特殊的计算过程简化a bib ai (a bi)i(b ai)i (a bi)ia bi例 4 计算：(1)(1i) (1i)；(12 32i)(2) 2014. 23 i1 23i ( 21 i)解 (1)方法一 (1
10、i) (1i)(12 32i) (1i)(12 32i 12i 32i2)- 6 - (1i)(3 12 3 12 i) i i i21 i.3 12 3 12 3 12 3 12 3方法二 原式(1i)(1i) (12 32i)(1i 2) 2 1 i.(12 32i) ( 12 32i) 3(2) 2014 ( )1007 23 i1 23i ( 21 i) ( 2r(3) i)i(1 2r(3)i)i 2 2i i ii0.( 2r(3) i)ii 23 1i1007 1 i跟踪演练 4 计算： .(2 i)(1 i)21 2i (1 i) (1 i)2i5 1 i20151 i解 (2
11、 i)(1 i)21 2i (1 i) (1 i)2i5 1 i20151 i (2 i)( 2i)1 2i (1 i) 2ii 1 i1 i 2(i3)i12i.2 4i1 2i 1 3ii (1 i)22高考对本章考查的重点1对复数的概念的考查是考查复数的基础，要求准确理解虚数单位、复数、虚数、纯虚数、共轭复数、实部、虚部、复数的模等概念2对复数四则运算的考查可能性较大，要加以重视，其中复数的乘法运算与多项式的乘法运算类似；对于复数的除法运算，将分子分母同时乘以分母的共轭复数最后整理成a bi(a， bR)的结构形式3对复数几何意义的考查在高考中 一般会结合复数的概念、复数的加减运算考查复数的几何意义、复数加减法的几何意义
