1、- 1 -第 25讲 三角函数的图象与性质(一)1若动直线 x a与函数 f(x)sin x和 g(x)cos x的图象分别交于 M、 N两点，则|MN|的最大值为(B)A1 B. 2C. D23|MN|sin acos a| |sin(a )| .24 22函数 f(x) sin xcos( x)的最大值为(C)33A2 B. 3C1 D.12因为 f(x) sin x cos x sin x312 32 sin x cos x32 12sin xcos cos xsin6 6sin( x )6所以 f(x)的最大值为 1.3(2016新课标卷)函数 f(x)cos 2 x6cos( x)的
2、最大值为(B)2A4 B5C6 D7因为 f(x)cos 2 x6cos( x)2cos 2 x6sin x12sin 2x6sin x2(sin x )2 ，32 112又 sin x1,1，所以当 sin x1 时， f(x)取得最大值 5.故选 B.4(2017新课标卷)函数 f(x) sin(x )cos( x )的最大值为(A)15 3 6A. B165C. D.35 15(方法一 )因为 f(x) sin(x )cos( x )15 3 6 ( sin x cos x) cos x sin x1512 32 32 12 sin x cos x cos x sin x110 310
3、32 12 sin x cos x sin(x )，35 335 65 3所以当 x 2 k( kZ)时， f(x)取得最大值 .6 65- 2 -(方法二)因为( x )( x) ，3 6 2所以 f(x) sin(x )cos( x )15 3 6 sin(x )cos( x)15 3 6 sin(x )sin( x )15 3 3 sin(x ) .65 3 65所以 f(x)max .655函数 f(x)cos 2xsin x在区间 ， 上的最小值为 .4 4 1 22f(x)1 sin2xsin x(sin x )2 ，12 54因为 x ， ，所以 sin x ，4 4 22 22
4、所以当 x ，即 sin x 时，4 22f(x)min1 .12 22 1 226如图，半径为 R的圆的内接矩形周长的最大值为 4 R .2设 BAC ，周长为 p，则 p2 AB2 BC2(2 Rcos 2 Rsin )4 Rsin( )4 R，24 2当且仅当 时取等号4所以周长的最大值为 4 R.27(2015天津卷)已知函数 f(x)sin 2xsin 2(x )， xR.6(1)求 f(x)的最小正周期；(2)求 f(x)在区间 ， 上的最大值和最小值3 4(1)由已知，有f(x) 1 cos 2x2 1 cos 2x 32 ( cos 2x sin 2x) cos 2x1212
5、32 12 sin 2x cos 2x sin(2x )34 14 12 6所以 f(x)的最小正周期 T .22- 3 -(2)因为 f(x)在区间 ， 上是减函数，在区间 ， 上是增函数，3 6 6 4且 f( ) ， f( ) ， f( ) ，3 14 6 12 4 34所以 f(x)在区间 ， 上的最大值为 ，最小值为 .3 4 34 128(2016湖北省八校第二次联考)若 f(x)2cos(2 x )( 0)的图象关于直线 x对称，且当 取最小值时， x0(0， )，使得 f(x0) a，则 a的取值范围是(D)3 2A(1,2 B2，1) C(1,1) D2,1)因为 f(x)的
6、图象关于直线 x 对称，3所以 k( kZ)，即 k (kZ)，23 23因为 0，所以 min ，此时 f(x)2cos(2 x )3 3因为 x0(0， )，所以 2x0 ( ， )，2 3 3 43所以1cos(2 x0 )0)的最小正周期为 .32(1)求 的值；(2)求函数 f(x)在区间0， 上的取值范围23(1)f(x) sin 2x1 cos 2 x2 32 sin 2x cos 2x 32 12 12sin(2 x ) .6 12因为函数 f(x)的最小正周期为 ，且 0，所以 ，解得 1.22(2)由(1)得 f(x)sin(2 x ) .6 12- 4 -因为 0 x ，所以 2 x ，23 6 6 76所以 sin(2 x )1，因此 0sin(2 x ) .12 6 6 12 32即 f(x)在区间0， 上的取值范围为0， 23 32
