1、1专题能力训练 11 等差数列与等比数列一、能力突破训练1.已知等比数列 an满足 a1=,a3a5=4(a4-1),则 a2= ( )A.2 B.1 C. D.2.在等差数列 an中, a1+a2+a3=3,a18+a19+a20=87,则此数列前 20项的和等于( )A.290 B.300 C.580 D.6003.设 an是等比数列, Sn是 an的前 n项和 .对任意正整数 n,有 an+2an+1+an+2=0,又 a1=2,则 S101的值为( )A.2 B.200 C.-2 D.04.已知 an是等差数列,公差 d不为零,前 n项和是 Sn,若 a3,a4,a8成等比数列,则(
2、)A.a1d0,dS40 B.a1d0,dS405.在等比数列 an中,满足 a1+a2+a3+a4+a5=3, =15,则 a1-a2+a3-a4+a5的值是( )21+22+23+24+25A.3 B. C.- D.55 56.在数列 an中, a1=2,an+1=2an,Sn为 an的前 n项和 .若 Sn=126,则 n= . 7.已知等比数列 an为递增数列,且 =a10,2(an+an+2)=5an+1,则数列的通项公式 an= . 258.设 x,y,z是实数,若 9x,12y,15z成等比数列,且 成等差数列,则 = . 1,1,1 +9.(2018全国 ,文 17)在等比数列
3、 an中, a1=1,a5=4a3.(1)求 an的通项公式;(2)记 Sn为 an的前 n项和,若 Sm=63,求 m.10.已知等差数列 an和等比数列 bn满足 a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5.(1)求 an的通项公式;(2)求和: b1+b3+b5+b2n-1.11.设数列 an满足 a1+3a2+(2n-1)an=2n.(1)求 an的通项公式;(2)求数列 的前 n项和 .2+12二、思维提升训练12.已知数列 an,bn满足 a1=b1=1,an+1-an= =2,n N*,则数列 的前 10项的和为( )+1 A. (49-1) B. (410-1)C. (4
4、9-1) D. (410-1)13.若数列 an为等比数列,且 a1=1,q=2,则 Tn= + 等于( )112+ 123 1+1A.1- B.14 23(1-14)C.1- D.12 23(1-12)14.如图,点列 An,Bn分别在某锐角的两边上,且|AnAn+1|=|An+1An+2|,An An+2,nN *,|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|,Bn Bn+2,nN *.(P Q表示点 P与 Q不重合)若 dn=|AnBn|,Sn为 AnBnBn+1的面积,则( )A.Sn是等差数列 B. 是等差数列2C.dn是等差数列 D. 是等差数列215.已知等比数列 an的首项为,公比为
5、 -,其前 n项和为 Sn,若 A Sn- B对 nN *恒成立,则 B-A1的最小值为 . 16.已知数列 an的首项为 1,Sn为数列 an的前 n项和, Sn+1=qSn+1,其中 q0,nN *.(1)若 a2,a3,a2+a3成等差数列,求数列 an的通项公式;(2)设双曲线 x2- =1的离心率为 en,且 e2=2,求 + .22 21+22 217.若数列 an是公差为正数的等差数列,且对任意 nN *有 anSn=2n3-n2.(1)求数列 an的通项公式 .(2)是否存在数列 bn,使得数列 anbn的前 n项和为 An=5+(2n-3)2n-1(nN *)?若存在,求出数
6、列 bn的通项公式及其前 n项和 Tn;若不存在,请说明理由 .3专题能力训练 11 等差数列与等比数列一、能力突破训练1.C 解析 a 3a5=4(a4-1), =4(a4-1),解得 a4=2.24又 a4=a1q3,且 a1= ,q= 2,a 2=a1q= .14 122.B 解析 由 a1+a2+a3=3,a18+a19+a20=87,得 a1+a20=30,故 S20= =300.20(1+20)23.A 解析 设公比为 q,a n+2an+1+an+2=0,a 1+2a2+a3=0,a 1+2a1q+a1q2=0,q 2+2q+1=0,q=- 1.又 a1=2,S 101= =2.
7、1(1-101)1- =21-(-1)1011+14.B 解析 设 an的首项为 a1,公差为 d,则 a3=a1+2d,a4=a1+3d,a8=a1+7d.a 3,a4,a8成等比数列, (a1+3d)2=(a1+2d)(a1+7d),即 3a1d+5d2=0.d 0, a 1d=- d20,an=dn+(a1-d),Sn= dn2+ n.12 (1-12)对任意 nN *,恒有anSn=2n3-n2,则 dn+(a1-d) =2n3-n2,122+(1-12)即 dn+(a1-d) =2n2-n.12+(1-12)122=2,12(1-)+(1-12)=-1,(1-)(1-12)=0. d 0, a n=2n-1.1=1,=2,(2) 数列 anbn的前 n项和为 An=5+(2n-3)2n-1(nN *), 当 n=1时, a1b1=A1=4,b 1=4,当 n2 时, anbn=An-An-1=5+(2n-3)2n-1-5+(2n-5)2n-2=(2n-1)2n-2.b n=2n-2.假设存在数列 bn满足题设,且数列 bn的通项公式 bn=4,=1,2-2,2,T 1=4,当 n2 时, Tn=4+ =2n-1+3,当 n=1时也适合,1-2-11-2 数列 bn的前 n项和为 Tn=2n-1+3.
