1、11.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球1.在日常生活中,常用到的螺母可以看成一个组合体,其结构特征是( B )(A)一个棱柱中挖去一个棱柱(B)一个棱柱中挖去一个圆柱(C)一个圆柱中挖去一个棱锥(D)一个棱台中挖去一个圆柱解析:一个六棱柱挖去一个等高的圆柱,选 B.2.如果圆锥的侧面展开图是半圆,那么这个圆锥的顶角(圆锥轴截面中两条母线的夹角)是( C )(A)30 (B)45 (C)60 (D)90解析:设圆锥底面半径为 r,母线长为 l,依条件则有 2r=l,如图,所以 = ,即ASO=30,因此圆锥顶角为 60.3.一个正方体内接于一个球,过球心作一截面,如图所示,则截面可能的图形是( C
2、)(A) (B)2(C) (D)解析:当截面平行于正方体的一个侧面时得,当截面过正方体的体对角线时得,当截面不平行于任何侧面也不过对角线时得,但无论如何都不能截出.4.若圆柱的轴截面是一个正方形,其面积为 4S,则它的一个底面面积是( C )(A)4S (B)4S (C)S (D)2S解析:因为圆柱的轴截面的一边是底面直径,另一邻边为圆柱的高,所以应满足 =2r(r 为底面圆半径),所以 r= ,故底面面积为 S.5.已知 A,B,C 是球 O 上的三点,AB=10,AC=6,BC=8,球 O 的半径等于 13,则球心 O 到ABC 所在小圆的距离为 . 解析:因为 AB=10,AC=6,BC
3、=8,所以ABC 为直角三角形且 AB 为点 A,B,C 所在小圆 O1的直径,所以 r=5,如图,所以 d2=R2-r2=132-52=122,所以 d=12.答案:126.水平桌面 上放有 4 个半径均为 2R 的球,且相邻的球都相切(球心的连线构成正方形).在这 4 个球的上面放 1 个半径为 R 的小球,它和下面 4 个球恰好都相切,则小球的球心到水平桌面 的距离是. 解析:5 个球心组成一个正四棱锥,这个正四棱锥的底面边长为 4R,侧棱长为 3R,求得它的高为 R,所以小球的球心到水平桌面 的距离是 3R.答案:3R7.图中最左边的几何体由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面,下底面
4、圆心为顶点的圆锥而得.现用一个竖直的平面去截这个几何体,则截面图形可能是( D )3(A)(1)(2) (B)(1)(3) (C)(1)(4) (D)(1)(5)解析:当截面不过旋转轴时,截面图形是(5),当截面过旋转轴时,截面图形是(1).故选 D.8.(2017山西忻州一中高一测试)一个圆台上、下底面的半径分别为 3 cm 和 8 cm,若两底面圆心的连线长为 12 cm,则这个圆台的母线长为 cm. 解析:如图,过点 A 作 ACOB,交 OB 于点 C.在 RtABC 中,AC=12 cm,BC=8-3=5(cm).所以 AB= =13(cm).答案:139.湖水结冰时, 一个球被冻在
5、冰面上,取出后(未弄破冰)在冰面上留下一个直径为 24 cm,深 8 cm 的空穴,则该球的半径为 cm. 解析:设球的半径为 R,根据题意知截面圆的半径 r=12 cm,球心与截面圆的距离为 d=R-8.由截面的性质得 r2+d2=R2,即 122+(R-8)2=R2,从而可得 R=13 cm.答案:1310.圆锥母线长为 8,底面半径为 2,A 为底面圆周上一点,从 A 出发将绳子绕圆锥侧面一周后,再回到 A,则绳长最短为 . 解析:如图所示,将圆锥沿过 A 点的母线展开,设 A 点展开后另一点为 A点,则绳子最短长度为线段 AA的长度.因为底面半径为 2,所以弧长 =22=4.因为展开图对应的扇形半径 R=8,所以圆心角= = ,所以 AA= =8 .4答案:811.从一个底面半径和高都是 R 的圆柱中,挖去一个以圆柱上底面为底,下底面中心为顶点的圆锥,得到如图的几何体.如果用一个与圆柱下底面距离等于 l 并且平行于圆柱底面的平面去截它,求所得截面的面积.解:截面为一个圆环,圆环的大圆半径为 R,小圆半径为 l.所以截面圆环的面积为 R 2-l 2=(R 2-l2).
