1、12.2.4 点到直线的距离1.已知点 P(m,n)是直线 2x+y+5=0 上的任意一点,则 的最小值为( D )(A)1 (B)2 (C) (D)解析:因为 是点 P(m,n)到原点的距离,所以根据直线的性质,原点到直线的距离就是 的最小值,根据点到直线的距离公式得 d= = .故选 D.2.在直线 3x-4y-27=0 上到点 P(2,1)距离最近的点的坐标是( A )(A)(5,-3) (B)(9,0) (C)(-3,5) (D)(-5,3)解析:过 P 点与直线 3x-4y-27=0 垂直的直线为 4x+3y-11=0,联立方程组解得 x=5,y=-3.故选 A.3.过点 P(1,2
2、)的直线与两点 A(2,3),B(4,-5)距离相等,则直线的方程为( C )(A)4x+y-6=0(B)x+4y-6=0(C)3x+2y-7=0 或 4x+y-6=0(D)2x+3y-7=0 或 x+4y-6=0解析:因为过 P 点的直线与 A,B 两点距离相等,所以过 P 点的直线可能与 AB 平行,也可能过线段 AB 中点,由 kAB= =-4,得 y-2=-4(x-1)即 4x+y-6=0,设线段 AB 中点 M(x0,y0),则 x0=3,y0=-1,所以 kPM= =- ,直线方程为 y-2=- (x-1),即 3x+2y-7=0,综上可知,应选 C.4.经过两直线 x+3y-10
3、=0 和 3x-y=0 的交点,且与原点的距离为 1 的直线的条数为( C )2(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析:设所求直线 l 的方程为 x+3y-10+(3x-y)=0,即(1+3)x+(3-)y-10=0,所以原点到直线 l 的距离 d= =1,解得 =3,即直线 l 的方程为 x=1 或 4x-3y+5=0,共 2 条.5.两条平行直线 l1,l2分别过点 P(-1,3),Q(2,-1),它们分别绕 P,Q 旋转,但始终保持平行,则 l1,l2之间的距离的取值范围是( C )(A)(0,+) (B)0,5(C)(0,5 (D)0, 解析:当两直线 l1,l2与直线 PQ 垂直
4、时,两平行直线 l1,l2间的距离最大,最大距离为|PQ|=5,所以 l1,l2之间的距离的取值范围是(0,5.6.已知ABC 的三个顶点 A(-2,4),B(-3,-1),C(1,3).(1)求 BC 边上高所在直线的方程;(2)求ABC 的面积 S.解:(1)设 BC 边上高所在直线为 l,由于直线 BC 的斜率 kBC= =1,所以直线 l 的斜率 k=- =-1.又直线 l 经过点 A(-2,4),所以直线 l 的方程为 y-4=-1(x+2),即 x+y-2=0.(2)BC 边所在直线方程为 y+1=1(x+3),即 x-y+2=0,点 A(-2,4)到直线 BC 的距离 d=2 ,
5、又|BC|= =4 .SABC = |BC|d= 4 2 =8.7.两直线 l1:3x-2y-6=0,l2:3x-2y+8=0,则直线 l1关于直线 l2对称的直线方程为( A )(A)3x-2y+22=0 (B)3x-2y-10=03(C)3x-2y-20=0 (D)3x-2y+24=0解析:显然 l1l 2,设符合条件的直线方程为 3x-2y+C=0,则有 = ,所以 C=22 或 C=-6(舍去).故所求直线的方程为 3x-2y+22=0.8.已知直线 l1:y=- x+ 与直线 l2:y= x+ 垂直,垂足为 H(1,p),则过点 H,且斜率为的直线方程为( A )(A)y=-4x+2
6、 (B)y=4x-2(C)y=-2x+2 (D)y=-2x-2解析:因为 l1l 2,所以- =-1.解得 m=10,所以直线 l1的方程为 y=- x+ .又因为点 H(1,p)在直线 l1上,所以 p=- 1+ =-2,即 H(1,-2).又因为点 H(1,-2)在直线 l2上,所以-2= 1+ .解得 n=-12,所以所求直线的斜率为 =-4,其方程为 y+2=-4(x-1),即 y=-4x+2,故选 A.9.已知点 A,B 两点分别在两条互相垂直的直线 y=2x 和 x+ay=0 上,且线段 AB 的中点为 P(0,),则直线 AB 的方程为( C )(A)y=- x+5 (B)y=
7、x-5(C)y= x+5 (D)y=- x-5解析:依题意,得 a=2,P(0,5).设 A(x0,2x0),B(-2y0,y0),则由中点公式,得 解得 所以 A(4,8),B(-4,2).由直线的两点式方程,得直线 AB 的方程是 = ,即 y= x+5.选 C.10.两条互相平行的直线分别过点 A(6,2)和 B(-3,-1),并且各自绕着 A,B 旋转,如果两条平行直线间的距离为 d,求:(1)d 的变化范围;(2)当 d 取最大值时,两条直线的方程. 4解:(1)如图所示,则有 00),l2:-4x+2y+1=0,l3:x+y-1=0,且 l1与 l2之间的距离是.(1)求 a 的值
8、;(2)能否找到一点 P,使 P 同时满足下列三个条件:点 P 在第一象限;点 P 到 l1的距离是点 P 到 l2的距离的 ;点 P 到 l1的距离与点 P 到 l3的距离之比是 .若能,求点 P 的坐标;若不能,说明理由.解:(1)直线 l2的方程可化为 2x-y- =0,所以 l1与 l2之间的距离 d= = ,5即|a+ |= .又因为 a0,所以 a=3.(2)假设存在点 P,设点 P(x0,y0),若点 P 满足条件,则点 P 在与 l1,l2平行的直线 l:2x-y+c=0 上,且= ,即 c= 或 ,所以 2x0-y0+ =0 或 2x0-y0+ =0.若 P 点满足条件,由点到直线的距离公式,得 = ,即|2x 0-y0+3|=|x0+y0-1|,所以 x0-2y0+4=0 或 3x0+2=0.若点 P 满足条件,则 3x0+2=0 不可能.由 解得点 P 不满足条件,舍去.由 解得点 P 满足条件,所以存在点 P( , )同时满足三个条件.
