1、1专题对点练 16 空间中的平行与几何体的体积1.如图,已知斜三棱柱 ABC-A1B1C1的所有棱长均为 2, B1BA= ,M,N分别为 A1C1与 B1C的中点,且侧面3ABB1A1底面 ABC.(1)证明: MN平面 ABB1A1;(2)求三棱柱 B1-ABC的高及体积 .2.(2018全国 ,文 19)如图,矩形 ABCD所在平面与半圆弧 所在平面垂直, M是 上异于 C,D的点 . (1)证明:平面 AMD平面 BMC;(2)在线段 AM上是否存在点 P,使得 MC平面 PBD?说明理由 .3.(2018广西名校联盟)如图,在三棱锥 P-ABC中, AB PC,CA=CB,M是 AB
2、的中点 .点 N在棱 PC上,点 D是 BN的中点 .求证:(1) MD平面 PAC;(2)平面 ABN平面 PMC.24.如图,在四棱锥 P-ABCD中, ABC= BAD=90,BC=2AD, PAB与 PAD都是边长为 2的等边三角形,E是 BC的中点 .(1)求证: AE平面 PCD;(2)求四棱锥 P-ABCD的体积 .5.在三棱柱 ABC-A1B1C1中, AB=BC=CA=AA1=2,侧棱 AA1平面 ABC,且 D,E分别是棱 A1B1,AA1的中点,点F在棱 AB上,且 AF=AB.(1)求证: EF平面 BDC1;(2)求三棱锥 D-BEC1的体积 .6.如图,正方形 AB
3、CD的边长等于 2,平面 ABCD平面 ABEF,AF BE,BE=2AF=2,EF= .3(1)求证: AC平面 DEF;(2)求三棱锥 C-DEF的体积 .37.如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1中, AA1平面 ABC,点 M是棱 CC1的中点 .(1)在棱 AB上是否存在一点 N,使 MN平面 AB1C1?若存在,请确定点 N的位置 .若不存在,请说明理由;(2)当 ABC是等边三角形,且 AC=CC1=2时,求点 M到平面 AB1C1的距离 .8.如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1中, AB平面 BCC1B1, BCC1= ,AB=BB1=2,BC=1,D为 CC1的中点 .3(
4、1)求证: DB1平面 ABD;(2)求点 A1到平面 ADB1的距离 .4专题对点练 16答案1.(1)证明 取 AC的中点 P,连接 PN,PM. 在斜三棱柱 ABC-A1B1C1中, M,N分别为 A1C1与 B1C的中点,PN AB1,PM AA1.PM PN=P,AB1 AA1=A,PM,PN平面 PMN,AB1,AA1平面 AB1A1, 平面 PMN平面 AB1A1.MN 平面 PMN,MN 平面 ABB1A1.(2)解 设 O为 AB的中点,连接 B1O,由题意知 B1BA是正三角形,则 B1O AB. 侧面 ABB1A1底面 ABC,且交线为 AB,B 1O平面 ABC, 三棱
5、柱 B1-ABC的高 B1O= AB1= .32 3S ABC=22sin 60= ,3 三棱柱 B1-ABC的体积 V=S ABCB1O= =1.13332.解 (1)由题设知,平面 CMD平面 ABCD,交线为 CD.因为 BC CD,BC平面 ABCD,所以 BC平面CMD,故 BC DM.因为 M为 上异于 C,D的点,且 DC为直径,所以 DM CM.又 BC CM=C,所以 DM平面 BMC.而 DM平面 AMD,故平面 AMD平面 BMC.(2)当 P为 AM的中点时, MC平面 PBD.证明如下:连接 AC交 BD于 O.因为 ABCD为矩形,所以 O为 AC中点 .连接 OP
6、,因为 P为 AM中点,所以 MC OP.MC平面 PBD,OP平面 PBD,所以 MC平面 PBD.3.证明 (1)在 ABN中, M是 AB的中点, D是 BN的中点,所以 MD AN.又因为 AN平面 PAC,MD平面 PAC,所以 MD平面 PAC.(2)在 ABC中, CA=CB,M是 AB的中点,所以 AB MC.又因为 AB PC,PC平面 PMC,MC平面 PMC,PC MC=C,所以 AB平面 PMC.又因为 AB平面 ABN,所以平面 ABN平面 PMC.4.(1)证明 ABC= BAD=90,AD BC.BC= 2AD,E是 BC的中点,AD=CE ,5 四边形 ADCE
7、是平行四边形,AE CD.又 AE平面 PCD,CD平面 PCD,AE 平面 PCD.(2)解 连接 DE,BD,设 AE BD=O,连接 OP,则四边形 ABED是正方形,O 为 BD的中点 . PAB与 PAD都是边长为 2的等边三角形, BD= 2 ,OB= ,OA= ,PA=PB=2,2 2 2OP OB,OP= ,OP 2+OA2=PA2,即 OP OA.2又 OA平面 ABCD,BD平面 ABCD,OA OB=O,OP 平面 ABCD.V P-ABCD=S 梯形 ABCDOP= (2+4)2 =2 .1312 2 25.(1)证明 取 AB的中点 O,连接 A1O.AF=AB ,F
8、 为 AO的中点 .又 E为 AA1的中点, EF A1O.A 1D=A1B1,BO=AB,AB A1B1,A 1D BO, 四边形 A1DBO为平行四边形,A 1O BD,EF BD.又 EF平面 BDC1,BD平面 BDC1,EF 平面 BDC1.(2)解 AA 1平面 A1B1C1,C1D平面 A1B1C1,AA 1 C1D.A 1C1=B1C1=A1B1=2,D为 A1B1的中点,C 1D A1B1,C1D= .3又 AA1平面 AA1B1B,A1B1平面 AA1B1B,AA1 A1B1=A1,C 1D平面 AA1B1B.AB=AA 1=2,D,E分别为 A1B1,AA1的中点,S B
9、DE=22- 12-12-11=.12 S BDEC1D= .-1=1-=13 13323=326.(1)证明 连接 BD,记 AC BD=O,取 DE的中点 G,连接 OG,FG. 点 O,G分别是 BD和 ED的中点,OG BE.又 AF BE,OG AF, 四边形 AOGF是平行四边形,AO FG,即 AC FG.又 AC平面 DEF,FG平面 DEF,AC 平面 DEF.6(2)解 在四边形 ABEF中,过 F作 FH AB交 BE于点 H.由已知条件知,在梯形 ABEF中, AB=FH=2,EF= ,EH=1,3则 FH2=EF2+EH2,即 FE EB,从而 FE AF.AC 平面
10、 DEF, 点 C与点 A到平面 DEF的距离相等,V C-DEF=VA-DEF.DA AB,DA 平面 ABEF,又 S AEF=AFEF= 1 .12 3=32 三棱锥 C-DEF的体积 VC-DEF=VA-DEF=VD-AEF=S AEFAD= 2= .1332 337.解 (1)在棱 AB上存在中点 N,使 MN平面 AB1C1,证明如下:设 BB1的中点为 D,连接 DM,NM,ND,因为点 M,N,D是 CC1,AB,BB1的中点,所以 ND AB1,DM B1C1,所以 ND平面 AB1C1,DM平面 AB1C1.又 ND DM=D,所以平面 NDM平面 AB1C1.因为 MN平
11、面 NDM,所以 MN平面 AB1C1.(2)因为 MN平面 AB1C1,所以点 M到平面 AB1C1的距离与点 N到平面 AB1C1的距离相等 .又点 N为 AB的中点,所以点 N到平面 AB1C1的距离等于点 B到平面 AB1C1的距离的一半 .因为 AA1平面 ABC,所以 AB1=AC1=2 ,所以 AB1C1的底边 B1C1上的高为 .2 (22)2-1=7设点 B到平面 AB1C1的距离为 h,则由 ,-11=-11得 2 2 h,可得 h= ,即点 M到平面 AB1C1的距离为 .3=1312 7 2217 2178.(1)证明 在四边形 BCC1B1中,BC=CD=DC 1=1, BCD=,BD= 1.B 1D= ,BB1=2,3B 1D BD.AB 平面 BCC1B1,AB DB1,DB 1平面 ABD.(2)解 对于四面体 A1ADB1,A1到直线 DB1的距离即为 A1到平面 BB1C1C的距离, A1到 DB1的距离为 2.设 A1到平面 ADB1的距离为 h, ADB1为直角三角形, ADDB1= ,1=12 1253=152 h= h.1-1=13152 156 22=2,D到平面 AA1B1的距离为 ,11=12 32 2 .-11=13 32=337 , ,1-1=-11156 =33解得 h= .255 点 A1到平面 ADB1的距离为 .255
