1、1专题对点练 17 空间中的垂直、夹角及几何体的体积1.(2018江苏,15)在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中, AA1=AB,AB1 B1C1.求证:(1) AB平面 A1B1C;(2)平面 ABB1A1平面 A1BC.2.如图,在三棱台 ABC-DEF中,平面 BCFE平面 ABC, ACB=90,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.(1)求证: BF平面 ACFD;(2)求直线 BD与平面 ACFD所成角的余弦值 .3.由四棱柱 ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥 C1-B1CD1后得到的几何体如图所示 .四边形 ABCD为正方形, O为 AC与 BD的交点, E为 A
2、D的中点, A1E平面 ABCD.(1)证明: A1O平面 B1CD1;(2)设 M是 OD的中点,证明:平面 A1EM平面 B1CD1.24.如图,在四棱锥 P-ABCD中,平面 PAD平面 ABCD,AB DC, PAD是等边三角形,已知BD=2AD=8,AB=2DC=4 .5(1)设 M是 PC上的一点,证明:平面 MBD平面 PAD;(2)求四棱锥 P-ABCD的体积 .5.如图,在四棱锥 P-ABCD中,底面 ABCD是平行四边形, ADC=45,AD=AC=2,O为 AC的中点, PO平面ABCD,且 PO=6,M为 PD的中点 .(1)证明: AD平面 PAC;(2)求直线 AM
3、与平面 ABCD所成角的正切值 .6.(2018北京,文 18)如图,在四棱锥 P-ABCD中,底面 ABCD为矩形,平面 PAD平面 ABCD,PA PD,PA=PD,E,F分别为AD,PB的中点 .求证:(1) PE BC;(2)平面 PAB平面 PCD;(3)EF平面 PCD.37.如图 ,在直角梯形 ABCD中, AD BC, ABC=90,AB=BC=2,AD=6,CE AD于点 E,把 DEC沿 CE折到 DEC的位置,使 DA=2 ,如图 . 若 G,H分别为 DB,DE的中点 .3(1)求证: GH DA;(2)求三棱锥 C-DBE的体积 .8.如图,在四棱锥 S-ABCD中,
4、 AB CD,BC CD,侧面 SAB为等边三角形, AB=BC=2,CD=SD=1.(1)证明: SD平面 SAB;(2)求四棱锥 S-ABCD的高 .4专题对点练 17答案1.证明 (1)在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中, AB A1B1.因为 AB平面 A1B1C,A1B1平面 A1B1C,所以 AB平面 A1B1C.(2)在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中,四边形 ABB1A1为平行四边形 .又因为 AA1=AB,所以四边形 ABB1A1为菱形,因此 AB1 A1B.又因为 AB1 B1C1,BC B1C1,所以 AB1 BC.又因为 A1B BC=B,A1B平面 A
5、1BC,BC平面 A1BC,所以 AB1平面 A1BC.因为 AB1平面 ABB1A1,所以平面 ABB1A1平面 A1BC.2.(1)证明 延长 AD,BE,CF相交于一点 K,如图所示 .因为平面 BCFE平面 ABC,且 AC BC,所以 AC平面 BCK,因此 BF AC.又因为 EF BC,BE=EF=FC=1,BC=2,所以 BCK为等边三角形,且 F为 CK的中点,则 BF CK.所以 BF平面 ACFD.(2)解 因为 BF平面 ACK,所以 BDF是直线 BD与平面 ACFD所成的角 .在 Rt BFD中, BF= ,DF=,3得 cos BDF= ,217所以,直线 BD与
6、平面 ACFD所成角的余弦值为 .2173.证明 (1)取 B1D1的中点 O1,连接 CO1,A1O1,由于 ABCD-A1B1C1D1是四棱柱,所以 A1O1 OC,A1O1=OC,因此四边形 A1OCO1为平行四边形,所以 A1O O1C.又 O1C平面 B1CD1,A1O平面 B1CD1,所以 A1O平面 B1CD1.(2)因为 AC BD,E,M分别为 AD和 OD的中点,所以 EM BD,又 A1E平面 ABCD,BD平面 ABCD,所以 A1E BD,因为 B1D1 BD,所以 EM B1D1,A1E B1D1.又 A1E,EM平面 A1EM,A1E EM=E,所以 B1D1平面
7、 A1EM,又 B1D1平面 B1CD1,所以平面 A1EM平面 B1CD1.4.(1)证明 在 ABD中,因为 AD=4,BD=8,AB=4 ,5所以 AD2+BD2=AB2.所以 AD BD.5又平面 PAD平面 ABCD,平面 PAD平面 ABCD=AD,BD平面 ABCD,所以 BD平面 PAD.又 BD平面 MBD,故平面 MBD平面 PAD.(2)解 过点 P作 PO AD交 AD于点 O,因为平面 PAD平面 ABCD,所以 PO平面 ABCD,所以 PO为四棱锥 P-ABCD的高 .又 PAD是边长为 4的等边三角形,因此 PO= 4=2 .32 3在底面四边形 ABCD中,
8、AB DC,AB=2DC,所以四边形 ABCD是梯形 .在 Rt ADB中,斜边 AB边上的高为 ,4845=855此即为梯形 ABCD的高,所以四边形 ABCD的面积为 S= =24.25+452 855故 VP-ABCD=242 =16 .3 35.(1)证明 PO 平面 ABCD,且 AD平面 ABCD,PO AD. ADC=45,且 AD=AC=2, ACD=45, DAC=90,AD AC.AC 平面 PAC,PO平面 PAC,且 AC PO=O,AD 平面 PAC.(2)解 取 DO的中点 N,连接 MN,AN,由 PO平面 ABCD,得 MN平面 ABCD, MAN是直线 AM与
9、平面 ABCD所成的角 .M 为 PD的中点, MN PO,且 MN=PO=3,AN=DO= .52在 Rt ANM中,tan MAN= ,=352=655即直线 AM与平面 ABCD所成角的正切值为 .6556.证明 (1) PA=PD ,且 E为 AD的中点,PE AD. 底面 ABCD为矩形, BC AD,PE BC.(2) 底面 ABCD为矩形, AB AD. 平面 PAD平面 ABCD,AB 平面 PAD.AB PD.又 PA PD,PA AB=A,PD 平面 PAB.PD 平面 PCD, 平面 PAB平面 PCD.(3)如图,取 PC的中点 G,连接 FG,GD.6F ,G分别为
10、PB和 PC的中点, FG BC,且 FG=BC. 四边形 ABCD为矩形,且 E为 AD的中点,ED BC,ED=BC,ED FG,且 ED=FG, 四边形 EFGD为平行四边形,EF GD.又 EF平面 PCD,GD平面 PCD,EF 平面 PCD.7.(1)证明 连接 BE,GH,AC,在 AED中,ED2=AE2+AD2,可得 AD AE.又 DC= =2 ,2+2 5AC=2 ,可得 AC2+AD2=CD2,可得 AD AC.2因为 AE AC=A,所以 AD平面 ABCE,所以 AD BE.又 G,H分别为 DB,DE的中点,所以 GH BE,所以 GH DA.(2)解 设三棱锥
11、C-DBE的体积为 V,则 V=S BCEAD= 222 .1312 3=4338.(1)证明 如图,取 AB的中点 E,连接 DE,SE,则四边形 BCDE为矩形,DE=CB= 2,AD= .2+2=5 侧面 SAB为等边三角形, AB=2,SA=SB=AB= 2,且 SE= .3又 SD=1,SA 2+SD2=AD2,SB2+SD2=BD2,SD SA,SD SB.SA SB=S,SD 平面 SAB.(2)解 设四棱锥 S-ABCD的高为 h,则 h也是三棱锥 S-ABD的高 .由(1)知, SD平面 SAB,由 VS-ABD=VD-SAB,得 S ABDh=S SABSD.又 S ABD=ABDE=22=2,S SAB= AB2= 22= ,SD=1,34 34 3所以 h= . =312 =32故四棱锥 S-ABCD的高为 .32
