1、1专题突破练 16 空间中的垂直与几何体的体积1.(2018 江苏卷,15)在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中, AA1=AB,AB1 B1C1.求证:(1) AB平面 A1B1C;(2)平面 ABB1A1平面 A1BC.2.如图,四面体 ABCD 中, ABC 是正三角形, AD=CD.(1)证明: AC BD;(2)已知 ACD 是直角三角形, AB=BD,若 E 为棱 BD 上与 D 不重合的点,且 AE EC,求四面体ABCE 与四面体 ACDE 的体积比 .3.(2018 江西南昌三模,文 18)如图,多面体 ABCDEF 中,四边形 ABCD 为正方形,2AB=2,AE=3
2、,DE= ,EF= ,cos CDE= ,且 EF BD.(1)证明:平面 ABCD平面 EDC;(2)求三棱锥 A-EFC 的体积 .4.如图,菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O,点 E,F 分别在 AD,CD 上, AE=CF,EF 交 BD 于点H.将 DEF 沿 EF 折到 DEF 的位置 .(1)证明: AC HD;(2)若 AB=5,AC=6,AE= ,OD=2 ,求五棱锥 D-ABCFE 的体积 .35.(2018 河南郑州三模,文 19)如图,四棱锥 E-ABCD 中, AD BC,AD=AB=AE= BC=1,且 BC底面 ABE,M 为棱 CE 的中点,(
3、1)求证:直线 DM平面 CBE;(2)当四面体 D-ABE 的体积最大时,求四棱锥 E-ABCD 的体积 .6.如图,在三棱台 ABC-DEF 中,平面 BCFE平面 ABC, ACB=90,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.(1)求证: BF平面 ACFD;(2)求直线 BD 与平面 ACFD 所成角的余弦值 .7.(2018 全国卷 3,文 19)如图,矩形 ABCD 所在平面与半圆弧 所在平面垂直, M 是 上异于C,D 的点 .4(1)证明:平面 AMD平面 BMC;(2)在线段 AM 上是否存在点 P,使得 MC平面 PBD?说明理由 .8.如图(1),在直角梯形 ABCD
4、 中, AD BC, ABC=90,AB=BC=2,AD=6,CE AD 于点 E,把 DEC沿 CE 折到 DEC 的位置,使 DA=2 ,如图(2) .若 G,H 分别为 DB,DE 的中点 .(1)求证: GH DA;(2)求三棱锥 C-DBE 的体积 .5参考答案专题突破练 16 空间中的垂直与几何体的体积1.证明 (1)在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中, AB A1B1.因为 AB平面 A1B1C,A1B1平面 A1B1C,所以 AB平面 A1B1C.(2)在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中,四边形 ABB1A1为平行四边形 .又因为 AA1=AB,所以四边形 AB
5、B1A1为菱形,因此 AB1 A1B.又因为 AB1 B1C1,BC B1C1,所以 AB1 BC.又因为 A1B BC=B,A1B平面 A1BC,BC平面 A1BC,所以 AB1平面 A1BC.因为 AB1平面 ABB1A1,所以平面 ABB1A1平面 A1BC.2.(1)证明 取 AC 的中点 O,连接 DO,BO.因为 AD=CD,所以 AC DO.又由于 ABC 是正三角形,所以 AC BO.从而 AC平面 DOB,故 AC BD.(2)解 连接 EO.由(1)及题设知 ADC=90,所以 DO=AO.在 Rt AOB 中, BO2+AO2=AB2.又 AB=BD,所以 BO2+DO2
6、=BO2+AO2=AB2=BD2,故 DOB=90.6由题设知 AEC 为直角三角形,所以 EO= AC.又 ABC 是正三角形,且 AB=BD,所以 EO= BD.故 E 为 BD 的中点,从而 E 到平面 ABC 的距离为 D 到平面 ABC 的距离的 ,四面体 ABCE的体积为四面体 ABCD 的体积的 ,即四面体 ABCE 与四面体 ACDE 的体积之比为 1 1.3.(1)证明 AB= 2,AE=3,DE= ,由勾股定理得 AD DE.又正方形 ABCD 中 AD DC,且DE DC=D,AD 平面 EDC.AD 面 ABCD, 平面 ABCD平面 EDC.(2)解 由已知 cos
7、CDE= ,连接 AC 交 BD 于 G.作 OE CD 于 O,则 OD=DEcos CDE=1,OE=2.又由(1)知,平面 ABCD平面 EDC,平面 ABCD平面 EDC=CD,OE平面 EDC,得 OE面 ABCD.由 EF BD,EF= ,知四边形 DEFG 为平行四边形,即 DE FG,而 VA-EFC=VE-AFC,进而 VA-EFC=VE-AFC=VD-AFC=VF-ADC.又由 EF BD,VF-ADC=VE-ADC= 222= ,所以 ,三棱锥 A-EFC 的体积为 .4.(1)证明 由已知得 AC BD,AD=CD.又由 AE=CF 得 ,故 AC EF.由此得 EF
8、HD,EF HD,所以 AC HD.7(2)解 由 EF AC 得 .由 AB=5,AC=6 得 DO=BO= =4.所以 OH=1,DH=DH=3.于是 OD2+OH2=(2 )2+12=9=DH2,故 OD OH.由(1)知 AC HD,又 AC BD,BD HD=H,所以 AC平面 BHD,于是 AC OD.又由 OD OH,AC OH=O,所以, OD平面 ABC.又由 得 EF= .五边形 ABCFE 的面积 S= 68- 3= .所以五棱锥 D-ABCFE 的体积 V= 2 .5.解 (1) AE=AB ,设 N 为 EB 的中点,AN EB.又 BC平面 AEB,AN平面 AEB
9、,BC AN.又 BC BE=B,AN 平面 BCE.MN BC,MN= BC,AD MN. 四边形 ANMD 为平行四边形, DM AN,DM 平面 CBE.(2)设 EAB= ,AD=AB=AE=1,且 AD底面 ABE,则四面体 D-ABE 的体积 V= AEABsin AD= sin ,当 = 90,即 AE AB 时体积最大 .又 BC平面 AEB,AE平面 AEB,AE BC,BC AB=B,AE 平面 ABC,VE-ABCD= (1+2)11= .6.(1)证明 延长 AD,BE,CF 相交于一点 K,如图所示 .8因为平面 BCFE平面 ABC,且 AC BC,所以 AC平面
10、BCK,因此 BF AC.又因为 EF BC,BE=EF=FC=1,BC=2,所以 BCK 为等边三角形,且 F 为 CK 的中点,则BF CK.所以 BF平面 ACFD.(2)解 因为 BF平面 ACK,所以 BDF 是直线 BD 与平面 ACFD 所成的角 .在 Rt BFD 中, BF= ,DF= ,得 cos BDF= ,所以直线 BD 与平面 ACFD 所成角的余弦值为 .7.解 (1)由题设知,平面 CMD平面 ABCD,交线为 CD.因为 BC CD,BC平面 ABCD,所以 BC平面 CMD,故 BC DM.因为 M 为 上异于 C,D 的点,且 DC 为直径,所以 DM CM
11、.又 BC CM=C,所以 DM平面 BMC.而 DM平面 AMD,故平面 AMD平面 BMC.(2)当 P 为 AM 的中点时, MC平面 PBD.证明如下:连接 AC 交 BD 于 O.因为 ABCD 为矩形,所以 O 为 AC 中点 .连接 OP,因为 P 为 AM 中点,所以 MC OP.MC平面 PBD,OP平面 PBD,所以 MC平面 PBD.8.(1)证明 连接 BE,GH,AC,在 AED中,ED2=AE2+AD2,可得 AD AE.又 DC= =2 ,AC=2 ,可得 AC2+AD2=CD2,可得 AD AC.9因为 AE AC=A,所以 AD平面 ABCE,所以 AD BE.又 G,H 分别为 DB,DE 的中点,所以 GH BE,所以 GH DA.(2)解 设三棱锥 C-DBE 的体积为 V,则 V= S BCEAD= 222 .
