1、12.3 数学归纳法课后训练1用数学归纳法证明 1 2 3 12n n(nN ， n1)时，第一步应验证不等式( )A +2， +13, 137 ， 1235 , 52 ，由此猜测第 n 个不等式为_7用数学归纳法证明“当 nN 时，求证：122 22 32 5n1 是 31 的倍数” ，当 n1 时，原式为_，从 n k 到 n k1 时需增添的项是_28用数学归纳法证明 34n2 5 2n1 能被 14 整除的过程中，当 n k1 时，3 4(k1)2 5 2(k1)1 应变形为_9是否存在常数 a， b 使等式 122 23 2 n2( n1) 22 21 2 an(bn21)对于一切
2、nN 都成立？若存在，求出 a， b，并证明；若不存在，说明理由10已知在数列 an中， a12， an1 ( 1)( an2)， n1,2,3，.(1)求 an的通项公式；(2)若数列 bn中， b12， bn1 34n， n1,2，3，.证明：2 bn a4n3 ， n1,2,3，.3参考答案1. 答案：B n N ， n1， n 取的第一个自然数为 2，左端分母最大的项为213.2. 答案：D 1 2 3 12k 123k 2k 112k，共增加了 2k项3. 答案：C 所猜测的分式的分母为 n1，分子恰好是第 n1 个正奇数，即 2n1.4. 答案：C f(1)36， f(2)1083
3、36， f(3)3601036， f(1)， f(2)， f(3)能被 36 整除，猜想 f(n)能被 36 整除证明：当 n1,2 时，由上得证，设当 n k(k2)时， f(k)(2 k7)3 k9 能被 36整除，则当 n k1 时， f(k1) f(k)(2 k9)3 k1 (2 k7)3 k(6 k27)3 k(2 k7)3 k(4 k20)3 k36( k5)3k2 (k2) f(k1)能被 36 整除 f(1)不能被大于 36 的数整除，所求的最大的 m 的值等于 36.5. 答案：D 由数学归纳法原理可得，若 f(3)9 成立，则当 k4 时，均有 f(k) k2成立，故 A
4、不正确若 f(5)25 成立，则当 k5 时，均有 f(k) k2成立，故 B 不正确若 f(7)49 成立，则当 k6 时，均有 f(k) k2成立，故 C 不正确若 f(4)254 2成立，则当 k4 时，均有 f(k) k2成立6. 答案：1 13 n 2 由 32 21,72 31,152 41，可猜测第 n 个不等式为 1 2 2n .7. 答案：7122 22 32 4 2 5k2 5k1 2 5k2 2 5k3 2 5k4 当 n1 时，原式应加到 2511 2 4，原式为 122 22 32 4，从 n k 到 n k1 时需添 25k2 5k1 2 5(k1)1 .8. 答案
5、：25(3 4k2 5 2k1 )563 4k2 当 n k1 时，3 4(k1)2 5 2(k1)1 813 4k2 255 2k1 25(3 4k2 5 2k1 )563 4k2 .9. 答案：分析：令 n1,2 解方程组求得 a， b 的值，再用数学归纳法证明 a， b 的值对一切 n N 等式都成立解：假设存在 a， b 使 122 23 2 n2( n1) 22 21 2 an(bn21)对于一切 n N 都成立，令 n1,2，得 1,4ab解得 ,3.b下面用数学归纳法证明 a 3， b2 时等式对一切 n N 都成立(1)当 n1 时，已证4(2)假设当 n k(k N )时等式
6、成立，即122 23 2 k2( k1) 22 21 2 3k(2k21)；则当 n k1 时，1 22 2 k2( k1) 2 k2( k1) 22 21 2 k(2k21)( k1) 2 k2 k(2k23 k1)( k1) 2 3k(2k1)( k1)( k1) 2 1(k1)(2 k24 k3) 3(k1)2( k1) 21当 n k1 时，等式也成立由(1)和(2)，知存在 a 3， b2，使等式对一切 n N 都成立10. 答案：解：(1)由题设 an1 ( 1)( an2)( 21)( an 2)( 1)(2 2)( 1)( an ) ，所以 an1 ( 1)( an )所以数列 an 2是首项为 2 ，公比为 21 的等比数列则an 2 ( 1) n，即 an的通项公式为 an ( 1) n1， n1,2,3，.(2)用数学归纳法证明当 n1 时，因为 22， b1 a12，所以 2 b1 a1，结论成立假设当 n k 时，结论成立，即 bk a4k3 ，也即 0 bk a4k3 2.则当 n k1 时， bk1 3kb 2 32432k k0，又 1kb ，5所以 bk1 2 32kb(3 )2(bk )( 21)4(a4k3 ) a4k1 ，也就是说，当 n k1 时，结论成立根据和，知 2 bn a4n3 ， n1,2,3，.
