1、1专题研究 球与几何体的切接问题1(2017唐山模拟)正三棱锥的高和底面边长都等于6，则其外接球的表面积为( )A64 B32C16 D8答案 A解析 如图，作PM平面ABC于点M，则球心O在PM上，PM6，连接AM，AO，则OPOAR(R为外接球半径)，在RtOAM中，OM6R，OAR，又AB6，且ABC为等边三角形，故AM232 ，则R 2(6R) 2(2 )2，则R4，所以球的表面积S4R 264.62 32 3 32已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是( )A16 B20C24 D32答案 C解析 由VSh，得S4，得正四棱柱底面边长为2.画出球的轴
2、截面可得，该正四棱柱的对角线即为球的直径，所以球的半径为R .所以球的表面积为S4R 224.故选C.12 22 22 42 63若一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是( )A8 B6C4 D答案 C解析 设正方体的棱长为a，则a 38.因此内切球直径为2，S 表 4r 24.4(2017课标全国)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径长为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )A B.34C. D. 2 4答案 B解析 根据已知球的半径长是1，圆柱的高是1，如图，所以圆柱的底面半径r ，所以圆柱22 122 32的体积Vr 2h( )21 .故选B.32 345(20
3、18安徽合肥模拟)已知球的直径SC6，A，B是该球球面上的两点，且ABSASB3，则三棱锥SABC的体积为( )2A. B.3 24 9 24C. D.3 22 9 22答案 D解析 设该球球心为O，因为球的直径SC6，A，B是该球球面上的两点，且ABSASB3，所以三棱锥SOAB是棱长为3的正四面体，其体积V SOAB 3 ，同理V OABC ，故三棱锥SABC的体积V S13 12 3 32 6 9 24 9 24ABC V SOAB V OABC ，故选D.9 226已知直三棱柱ABCA 1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB3，AC4，ABAC，AA 112，则球O的半径为( )
4、A. B23 172 10C. D3132 10答案 C解析 如图，由球心作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M.又AM BC ，OM AA16，12 52 12所以球O的半径ROA .（ 52） 2 62 1327(2018广东惠州一模)已知一个水平放置的各棱长均为4的三棱锥形容器内有一小球O(质量忽略不计)，现从该三棱锥形容器的顶端向内注水，小球慢慢上浮，当注入的水的体积是该三棱锥体积的 时，小球与该三棱78锥各侧面均相切(与水面也相切)，则小球的表面积等于( )A. B. 76 43C. D. 23 12答案 C解析 由题知，没有水的部分的体积是三棱锥形容器的体积的 ，三棱锥形容器的体
5、积为 42 418 13 34 63，所以没有水的部分的体积为 .设其棱长为a，则其体积为 a2 a ，a2，设小球16 23 2 23 13 34 63 2 23的半径为r，则4 r ，解得r ，球的表面积为4 ，故选C.13 3 2 23 66 16 238.如图，ABCDA 1B1C1D1是棱长为1的正方体，SABCD是高为1的正四棱锥，若点S，A 1，B 13，C 1，D 1在同一个球面上，则该球的体积为( )A. B.2516 4916C. D.8116 243128答案 C解析 如图所示，O为球心，设OG 1x，则OB 1SO2x，同时由正方体的性质可知B 1G1，则在RtOB 1
6、G1中，OB 12G 1B12OG 12，即(2x) 2x 2( )2，解得x ，所以球的22 22 78半径ROB 1 ，所以球的表面积S4R 2 ，故选C.98 81169(2018郑州质检)四棱锥PABCD的五个顶点都在一个球面上，该四棱锥的三视图如图所示，E，F分别是棱AB，CD的中点，直线EF被球面所截得的线段长为2 ，则该球的表面积为( )2A9 B3C2 D122答案 D解析 该几何体的直观图如图所示，该几何体可看作由正方体截得，则正方体外接球的直径即为PC.由直线EF被球面所截得的线段长为2 ，可知正方形ABCD对角线AC的长为2 ，可得正2 2方形ABCD的边长a2，在PAC
7、中，PC 2 ，球的半径R ，S 表 4R 24(22 （ 2 2） 2 3 3)212.310(2014湖南)一块石材表示的几何体的三视图如图所示将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于( )A1 B2C3 D44答案 B解析 此几何体为一直三棱柱，底面是边长为6，8，10的直角三角形，侧棱为12，故其最大球的半径为底面直角三角形内切圆的半径，故其半径为r (6810)2，故选B.1211(2017天津)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为_答案 92解析 设正方体的棱长为a，则6a 218，得a ，设该正方体外接球的半径为R，则
8、2R a3，得R ，所以3 332该球的体积为 R 3 ( )3 .43 43 32 9212若一个正四面体的表面积为S 1，其内切球的表面积为S 2，则 _S1S2答案 6 3解析 设正四面体的棱长为a，则正四面体的表面积为S 14 a2 a2，34 3其内切球半径为正四面体高的 ，即r a a，因此内切球表面积为S 24r 2 ，则 14 14 63 612 a26 S1S2 3a2 6a2 .6 313已知一圆柱内接于球O，且圆柱的底面圆的直径与母线长均为2，则球O的表面积为_答案 8解析 圆柱的底面圆的直径与母线长均为2，所以球的直径为 2 ，即球半径为 ，所以球的表面22 22 8
9、2 2积为4( )28.214(2017衡水中学调研卷)已知正三棱锥PABC，点P，A，B，C都在半径为 的球面上，若PA，PB，PC两3两相互垂直，则球心到截面ABC的距离为_答案 33解析 方法一：先在一个正方体中找一个满足条件的正三棱锥，再利用正方体的性质解题如图，满足题意的正三棱锥PABC可以是正方体的一部分，其外接球的直径是正方体的体对角线，且面ABC与体对角线的交点是体对角线的一个三等分点，所以球心到平面ABC的5距离等于体对角线长的 ，故球心到截面ABC的距离为 2 .16 16 3 33方法二：用等体积法：V PABC V APBC 求解)15(2018四川成都诊断)已知一个多
10、面体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是直角边长为1的等腰直角三角形，俯视图是边长为1的正方形，若该多面体的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为_答案 3解析 由三视图知几何体为四棱锥，且四棱锥的一条侧棱垂直于底面，高等于1，其底面是边长为1的正方形， 四棱锥的外接球即是边长为1的正方体的外接球，外接球的直径为 ，外接球的表面积S4( )23323.16(2018河北唐山模拟)已知矩形ABEF所在的平面与矩形ABCD所在平面互相垂直，AD2，AB3，AF，M为EF的中点，则多面体MABCD的外接球的表面积为_3 32答案 16解析 记多面体MABCD的外接球的球心为O，如图，过点O分别作
11、平面ABCD和平面ABEF的垂线，垂足分别为Q，H，连接MH并延长，交AB于点N，连接OM，NQ，AQ，设球O的半径为R，球心到平面ABCD的距离为d，即OQd，矩形ABEF所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直，AF ，M为EF的中点，3 32MN ，ANNB ，NQ1，3 32 32R 2( )2d 21 2( d) 2，4 92 3 32d ，R 24，32多面体MABCD的外接球的表面积为4R 216.1(2017课标全国，文)长方体的长，宽，高分别为3，2，1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为_6答案 14解析 依题意得，长方体的体对角线长为 ，记长方体的外接球的半径为R
12、，则有2R ，R32 22 12 14 14，因此球O的表面积等于4R 214.1422(2018湖南长沙一中模拟)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为( )A8 B.252C12 D.414答案 D解析 根据三视图得出，几何体是正方体中的一个四棱锥OABCD，正方体的棱长为2，A，D为所在棱的中点根据几何体可以判断，球心应该在过A，D的平行于正方体底面的中截面上，设球心到平面BCO的距离为x，则到AD的距离为2x，所以R 2x 2( )2，R 21 22(2x) 2，解得x ，R ，该多面体外接球的表面积为4R 2 ，故选D.3
13、4 414 4143(2014陕西，理)已知底面边长为1，侧棱长为 的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积2为( )A. B4323C2 D.43答案 D解析 因为该正四棱柱的外接球的半径是四棱柱体对角线的一半，所以半径r 1，所以V 球12 12 12 （ 2） 2 13 .故选D.43 434(2018洛阳统一考试)如图是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为( )7A200 B150C100 D50答案 D解析 由三视图知，该几何体可以由一个长方体截去3个角后得到，该长方体的长、宽、高分别为5、4、3，所以其外接球半径R满足2R 5 ，所以该几何体的外接球的表面积为S4
14、R 24( )25042 32 52 25 22，故选D.5(2018广东清远三中月考)某一简单几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积是( )A13 B16C25 D27答案 C解析 由三视图可知该几何体是底面为正方形的长方体，底面对角线为4，高为3，设外接球半径为r，则2r5，r ，长方体外接球的表面积S4r 225.（ 2 2） 2 （ 2 2） 2 32526(2018福建厦门模拟)已知球O的半径为R，A，B，C三点在球O的球面上，球心O到平面ABC的距离为 R，32ABACBC2 ，则球O的表面积为( )3A. B16163C. D64643答案 D解析 因为ABACBC2
15、 ，所以ABC为正三角形，其外接圆的半径r 2，设ABC外接圆的圆心为O32 32sin6081，则OO 1平面ABC，所以OA 2OO 12r 2，所以R 2( R)22 2，解得R 216，所以球O的表面积为4R 26432，故选D.7(2018四川广元模拟)如图，边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，将ADE，EBF，FCD分别沿DE，EF，FD折起，使得A，B，C三点重合于点A，若四面体AEFD的四个顶点在同一个球面上，则该球的半径为_答案 62解析 由题意可知AEF是等腰直角三角形，且AD平面AEF.由于AEF可以补全为边长为1的正方形，则该四面体必能补全为长、宽、高分别为1，1，2的正四棱柱，三棱锥的外接球与正四棱柱的外接球是同一个球，易知正四棱柱的外接球的直径为 .故球的12 12 22 6半径为 .628(2017德州模拟)一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，该几何体的体积是_；若该几何体的所有顶点在同一球面上，则球的表面积是_答案 313解析 由三视图知该几何体是底面为1的正方形，高为1的四棱锥，故体积V 111 ，该几何体与棱长为1的13 13正方体具有相同的外接球，外接球直径为 ，该球表面积S4( )23，正方体、长方体的体对角332线即为外接球的直径
