1、1第3课时 空间点、线、面间位置关系1下面三条直线一定共面的是( )Aa，b，c两两平行 Ba，b，c两两相交Cab，c与a，b均相交 Da，b，c两两垂直答案 C2(2014广东文)若空间中四条两两不同的直线l 1，l 2，l 3，l 4满足l 1l 2，l 2l 3，l 3l 4，则下列结论一定正确的是( )Al 1l 4 Bl 1l 4Cl 1与l 4既不垂直也不平行 Dl 1与l 4的位置关系不确定答案 D解析 在正六面体中求解，也可以借助教室中的实物帮助求解在如图所示的正六面体中，不妨设l 2为直线AA 1，l 3为直线CC 1，则直线l 1，l 4可以是AB，BC；也可以是AB，C
2、D；也可以是AB，B 1C1，这三组直线相交，平行，垂直，异面，故选D.3若P是两条异面直线l，m外的任意一点，则( )A过点P有且仅有一条直线与l，m都平行B过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直C过点P有且仅有一条直线与l，m都相交D过点P有且仅有一条直线与l，m都异面答案 B解析 对于选项A，若过点P有直线n与l，m都平行，则lm，这与l，m异面矛盾；对于选项B，过点P与l，m都垂直的直线，即过P且与l，m的公垂线段平行的那一条直线；对于选项C，过点P与l，m都相交的直线有一条或零条；对于选项D，过点P与l，m都异面的直线可能有无数条4如图所示，ABCDA 1B1C1D1是长方体，O是B
3、1D1的中点，直线A 1C交平面AB 1D1于点M，则下列结论正确是( )AA，M，O三点共线 BA，M，O，A 1不共面CA，M，C，O不共面 DB，B 1，O，M共面2答案 A解析 连接A 1C1，AC，则A 1C1AC，A 1，C 1，A，C四点共面，A 1C平面ACC 1A1，MA 1C，M平面ACC 1A1，又M平面AB 1D1，M在平面ACC 1A1与平面AB 1D1的交线上，同理O在平面ACC 1A1与平面AB 1D1的交线上A，M，O三点共线5(2018江西景德镇模拟)将图中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC上的中线折起得到空间四面体ABCD(如图)，则在空间四面体ABCD中，A
4、D与BC的位置关系是( )A相交且垂直 B相交但不垂直C异面且垂直 D异面但不垂直答案 C解析 在题图中，ADBC，故在题图中，ADBD，ADDC，又因为BDDCD，所以AD平面BCD，又BC平面BCD，D不在BC上，所以ADBC，且AD与BC异面，故选C.6空间不共面的四点到某平面的距离相等，则这样的平面的个数为( )A1 B4C7 D8答案 C解析 当空间四点不共面时，则四点构成一个三棱锥，如图当平面一侧有一点，另一侧有三点时，令截面与四个面之一平行时，满足条件的平面有4个；当平面一侧有两点，另一侧有两点时，满足条件的平面有3个，所以满足条件的平面共有7个7.(2018江西上饶一模)如图，
5、在正方体ABCDA 1B1C1D1中，过点A作平面平行平面BDC 1，平面与平面A 1ADD1交于直线m，与平面A 1ABB1交于直线n，则m与n所成的角为( )A. B. 6 4C. D. 3 2答案 C解析 由题意，mBC 1，nC 1D，BC 1D即为m与n所成的角3BC 1D是等边三角形，BC 1D ，m与n所成的角为 . 3 38(2017课标全国，理)已知直三棱柱ABCA 1B1C1中，ABC120，AB2，BCCC 11，则异面直线AB1与BC 1所成角的余弦值为( )A. B.32 155C. D.105 33答案 C解析 如图所示，将直三棱柱ABCA 1B1C1补成直四棱柱A
6、BCDA 1B1C1D1，连接AD 1，B 1D1，则AD 1BC 1，所以B 1AD1或其补角为异面直线AB 1与BC 1所成的角因为ABC120，AB2，BCCC 11，所以AB 1 ，AD 1 .在B 1D1C1中5 2，B 1C1D160，B 1C11，D 1C12，所以B 1D1 ，所以cosB 1AD12 22 212cos60 31 ，选择C.5 2 32 5 2 1059.(2018内蒙古包头模拟)如图，在正方体ABCDA 1B1C1D1中，点P在线段AD 1上运动，则异面直线CP与BA 1所成的角的取值范围是( )A(0， ) B(0， 2 2C0， D(0， 3 3答案 D
7、10已知在正四棱柱ABCDA 1B1C1D1中，AA 12AB，E为AA 1中点，则异面直线BE与CD 1所成角的余弦值为( )A. B.1010 15C. D.3 1010 35答案 C解析 连接BA 1，则CD 1BA 1，于是A 1BE就是异面直线BE与CD 1所成的角(或补角)设AB1，则BE ，BA 12 5，A 1E1，在A 1BE中，cosA 1BE ，选C.5 2 12 52 3 101011.如图所示，正方体ABCDA 1B1C1D1的棱长为1，线段B 1D1上有两个动点E，F，且EF ，12则下列结论中错误的是( )4AACBEBEF平面ABCDC三棱锥ABEF的体积为定值
8、DAEF的面积与BEF的面积相等答案 D解析 由AC平面DBB 1D1，可知ACBE，故A正确由EFBD，EF平面ABCD，知EF平面ABCD，故B正确A到平面BEF的距离即A到平面DBB 1D1的距离为 ，且S BEF BB1EF定值，22 12故V ABEF 为定值，即C正确12下列各图是正方体和正四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图形是( )答案 D解析 在A中易证PSQR，P，Q，R，S四点共面在C中易证PQSR，P，Q，R，S四点共面在D中，QR平面ABC，PS面ABC P且P QR，直线PS与QR为异面直线P，Q，R，S四点不共面在B中P，Q，R，S四点共面
9、，证明如下：取BC中点N，可证PS，NR交于直线B 1C1上一点，P，N，R，S四点共面，设为.可证PSQN，P，Q，N，S四点共面，设为.，都经过P，N，S三点，与重合，P，Q，R，S四点共面13(2018湖南永州一模)设三棱柱ABCA 1B1C1的侧棱与底面垂直，BCA90，BCCA2，若该棱柱的所有顶点都在体积为 的球面上，则直线B 1C与直线AC 1所成角的余弦值为( )323A B.23 23C D.53 53答案 B解析 由已知，若三棱柱的所有顶点都在球面上，则由两个全等的三棱柱构成的长方体的8个顶点也在球面上，且外5接球的直径为长方体的体对角线，由球体的体积可得其直径为4，由于长
10、方体底面是边长为2的正方形，故侧面的对角线为2 .由余弦定理可知，直线B 1C与直线AC 1所成的余弦值为 .312 12 822 32 3 2314有下列四个命题：若ABC在平面外，它的三条边所在的直线分别交平面于P，Q，R，则P，Q，R三点共线；若三条直线a，b，c互相平行且分别交直线l于A，B，C三点，则这四条直线共面；空间中不共面的五个点一定能确定10个平面；若a不平行于平面，且a，则内的所有直线与a异面其中正确命题的序号是_答案 解析 在中，因为P，Q，R三点既在平面ABC上，又在平面上，所以这三点必在平面ABC与平面的交线上，即P，Q，R三点共线，所以正确在中，因为ab，所以a与b
11、确定一个平面，而l上有A，B两点在该平面上，所以l，即a，b，l三线共面于；同理a，c，l三线也共面，不妨设为，而，有两条公共的直线a，l，所以与重合，即这些直线共面，所以正确在中，不妨设其中有四点共面，则它们最多只能确定7个平面，所以错在中，由题设知，a与相交，设aP，如图，在内过点P的直线l与a共面，所以错15.如图，正三棱柱ABCABC的底面边长和侧棱长均为2，D、E分别为AA与BC的中点，则AE与BD所成角的余弦值为_答案 357解析 取BB中点F，连接AF，则有AF=BD，FAE或其补角即为所求正三棱柱ABCABC棱长均为2.AF ，FE ，AE .5 2 7cosFAE ，357故
12、AE与BD所成角余弦值为 .35716如图所示，平面ABEF平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，BADFAB90，BCAD且BC AD，BEAF且BE AF，G，H分别为FA，FD的中点12 12(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；6(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？答案 (1)略 (2)共面，证明略解析 (1)证明：G，H分别为FA，FD的中点，GH= AD.又BC= AD，12 12GH=BC.四边形BCHG为平行四边形(2)C，D，F，E四点共面理由如下：由BE= AF，G是FA的中点，得BE=GF.12所以EF=BG.由(1)知，BG=CH，所以EF=CH.
13、所以ECFH.所以C，D，F，E四点共面17如图所示，在四棱锥PABCD中，底面是边长为2的菱形，DAB60，对角线AC与BD交于点O，PO平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60.(1)求四棱锥的体积；(2)若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的余弦值答案 (1)2 (2)24解析 (1)在四棱锥PABCD中，PO平面ABCD，PBO是PB与平面ABCD所成的角，PBO60.在RtAOB中，BOABsin301，POOB，POBOtan60 .3底面菱形的面积S 2 22 ，12 3 3四棱锥PABCD的体积V PABCD 2 2.13 3 3(2)取AB的中点F，连接EF，D
14、F，如图所示E为PB中点，EFPA，DEF为异面直线DE与PA所成的角(或其补角)在RtAOB中，AO OP，3在RtPOA中，PA ，6EF .在正三角形ABD和正三角形PDB中，DFDE ，由余弦定理，得cosDEF 62 3 DE2 EF2 DF22DEEF7 .异面直线DE与PA所成角的余弦值为 .（ 3） 2 （ 62） 2 （ 3） 22 3 62643 2 24 241.如图所示，M是正方体ABCDA 1B1C1D1的棱DD 1的中点，给出下列四个命题：过M点有且只有一条直线与直线AB，B 1C1都相交；过M点有且只有一条直线与直线AB，B 1C1都垂直；过M点有且只有一个平面与
15、直线AB，B 1C1都相交；过M点有且只有一个平面与直线AB，B 1C1都平行其中真命题是( )A BC D答案 C解析 将过点M的平面CDD 1C1绕直线DD 1旋转任意不等于 (kZ)的角度，所得的平面与直线AB，B 1C1都相交，故k2错误，排除A，B，D，选C.2如图，在正方体ABCDA 1B1C1D1中，点E，F分别在A 1D，AC上，且A 1E2ED，CF2FA，则EF与BD 1的位置关系是( )A相交但不垂直 B相交且垂直C异面 D平行答案 D解析 连接D 1E并延长，与AD交于点M，因为A 1E2ED，可得M为AD的中点，连接BF并延长，交AD于点N，因为CF2FA，可得N为A
16、D的中点，所以M，N重合，且 ， ，MEED1 12 MFBF 12所以 ，所以EFBD 1.MEED1 MFBF3.如图所示，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCDA 1B1C1D1中，AA 12AB，则异面直线A 1B与AD 1所成角的余弦值为( )8A. B.15 25C. D.35 45答案 D解析 连接BC 1，易证BC 1AD 1，则A 1BC1即为异面直线A 1B与AD 1所成的角连接A 1C1，设AB1，则AA 12，A 1C1，A 1BBC 1 ，故cosA 1BC1 .2 55 5 22 5 5 454.如图所示，点A是平面BCD外一点，ADBC2，E，F分别是AB
17、，CD的中点，且EF ，2则异面直线AD和BC所成的角为_答案 90解析 如图，设G是AC的中点，连接EG，FG.因为E，F分别是AB，CD的中点，故EGBC且EG BC1，12FGAD，且FG AD1.12即EGF为所求又EF ，由勾股定理逆定理2可得EGF90.5(2017课标全国)a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：当直线AB与a成60角时，AB与b成30角；当直线AB与a成60角时，AB与b成60角；直线AB与a所成角的最小值为45；直线AB与a所成角的最大值为60.其中正确的是_(填写所
18、有正确结论的编号)答案 解析 本题考查空间线面角的求解如图，将直线a，b平移到边BC旋转出的圆中，MN为圆C的直径，则可设MB，NB所在直线分别为直线a，b，ABC45.利用最小角定理cosABCcosMBCcosABM和cosABCcosNBCcosABN，当AB与a成60角时，即ABM60，则cos45cosMBCcos60，解得MBC45，则NBC45，所以ABN60，所以错误，正确；当点B在圆C上运动时，当点B运动到点N时，MBC0，cosMBC1，ABM的最小值为ABC45，当点B运动到点M时，直线b为MN所在直线，直线a为过点M且与圆C相切，易得a平面ABC，所以直线AB与a所成角的最大值为90，所以正确，错误，综上所述，正确的编号是.1
