1、1专题研究1 曲线与方程1已知点A(1，0)，B(2，4)，ABC的面积为10，则动点C的轨迹方程是( )A4x3y160或4x3y160 B4x3y160或4x3y240C4x3y160或4x3y240 D4x3y160或4x3y240答案 B解析 可知AB的方程为4x3y40，又|AB|5，设动点C(x，y)由题意可知 5 10，所以4x12 |4x 3y 4|53y160或4x3y240.故选B.2方程 lg(x2y 21)0所表示的曲线图形是( )x 1答案 D3动圆M经过双曲线x 2 1的左焦点且与直线x2相切，则圆心M的轨迹方程是( )y23Ay 28x By 28xCy 24x
2、Dy 24x答案 B解析 双曲线x 2 1的左焦点F(2，0)，动圆M经过F且与直线x2相切，则圆心M经过F且与直线x2相切，则y23圆心M到点F的距离和到直线x2的距离相等，由抛物线的定义知轨迹是抛物线，其方程为y 28x.4(2017皖南八校联考)设点A为圆(x1) 2y 21上的动点，PA是圆的切线，且|PA|1，则P点的轨迹方程为( )Ay 22x B(x1) 2y 24Cy 22x D(x1) 2y 22答案 D解析 (直译法)如图，设P(x，y)，圆心为M(1，0)连接MA，PM.则MAPA，且|MA|1，又因为|PA|1，所以|PM| ，|MA|2 |PA|2 2即|PM| 22
3、，所以(x1) 2y 22.5(2017吉林市毕业检测)设圆O 1和圆O 2是两个定圆，动圆P与这两个定圆都外切，则圆P的圆心轨迹可能是( )2A BC D答案 A解析 当两定圆相离时，圆P的圆心轨迹为；当两定圆外切时，圆P的圆心轨迹为；当两定圆相交时，圆P的圆心轨迹为；当两定圆内切时，圆P的圆心轨迹为.6已知A(0，7)，B(0，7)，C(12，2)，以C为一个焦点作过A，B的椭圆，椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是( )Ay 2 1(y1) By 2 1x248 x248Cy 2 1 Dx 2 1x248 y248答案 A解析 由题意，得|AC|13，|BC|15，|AB|14，又|AF|AC
4、|BF|BC|，|AF|BF|BC|AC|2.故点F的轨迹是以A，B为焦点，实轴长为2的双曲线下支双曲线中c7，a1，b 248，轨迹方程为y2 1(y1)x2487ABC的顶点为A(5，0)、B(5，0)，ABC的内切圆圆心在直线x3上，则顶点C的轨迹方程是( )A. 1 B. 1x29 y216 x216 y29C. 1(x3) D. 1(x4)x29 y216 x216 y29答案 C解析 设ABC的内切圆与x轴相切于D点，则D(3，0)由于AC、BC都为圆的切线故有|CA|CB|AD|BD|826.由双曲线定义知所求轨迹方程为 1(x3)x29 y216故选C.8(2017宁波十校联考
5、)在直角坐标平面中，ABC的两个顶点A、B的坐标分别为A(1，0)，B(1，0)，平面内两点G，M同时满足下列条件： 0，| | | |， .则ABC的顶点C的轨GA GB GC MA MB MC GM AB 迹方程为( )A. y 21(y0) B. y 21(y0)x23 x233Cx 2 1(y0) Dx 2 1(y0)y23 y23答案 C解析 根据题意，G为ABC的重心，设C(x，y)，则G( ， )，而M为ABC的外心，M在AB的中垂线上，即y轴上，x3 y3由 ，得M(0， )，根据| | |，得1( )2x 2(y )2，即x 2 1，又C点不在x轴上，y0GM AB y3 M
6、A MC y3 y3 y23，故选C.9.如图，在平面直角坐标系xOy中，圆x 2y 2r 2(r0)内切于正方形ABCD，任取圆上一点P，若 a b (a，bR)，若M(a，b)，则动点M所形成的轨迹曲线的长度为( )OP OA OB A B. 2C. D23答案 B解析 设P(x，y)，则x 2y 2r 2，A(r，r)，B(r，r)由 a b ，得 代入x 2y 2r 2，得OP OA OB x （ a b） r，y （ a b） r， )(ab) 2(ab) 21，即a 2b 2 ，故动点M所形成的轨迹曲线的长度为 .12 210已知抛物线y 2nx(n0时，轨迹C为中心在原点，焦点在
7、x轴上的双曲线(除去顶点)；当10，方程k 2km10有两个不相等的实数根，分别为k 1，k 2，则 故QDQE，S |QD|QE|.k1 k2 m，k1k2 1， ) 12记切点(2k，k 2)到Q(m，1)的距离为d，则d 2(2km) 2(k 21) 24(k 2km)m 2k 2m24km4，故|QD| ，（ 4 m2） （ k12 1）|QE| ，（ 4 m2） （ k22 1）S (4m 2)12 1 1 2k1k2 （ k1 k2） 2 (4m 2) 4，12 4 m2即当m0，也就是Q(0，1)时面积的最小值为4.16已知椭圆E： 1(ab0)的离心率为 ，过左焦点倾斜角为45
8、的直线被椭圆截得的弦长为 .x2a2 y2b2 22 4 23(1)求椭圆E的方程；(2)若动直线l与椭圆E有且只有一个公共点，过点M(1，0)作l的垂线，垂足为Q，求点Q的轨迹方程答案 (1) y 21 (2)x 2y 22x22解析 (1)因为椭圆E的离心率为 ，所以 .解得a 22b 2，故椭圆E的方程可设为 1，则椭圆22 a2 b2a 22 x22b2 y2b2E的左焦点坐标为(b，0)，过左焦点倾斜角为45的直线方程为l：yxb.设直线l与椭圆E的交点为A，B，由 消去y，得3x 24bx0，解得x 10，x 2 .x22b2 y2b2 1，y x b， ) 4b36因为|AB|
9、|x1x 2| ，解得b1.1 124 2b3 4 23a 22，椭圆E的方程为 y 21.x22(2)当切线l的斜率存在且不为0时，设l的方程为ykxm，联立直线l和椭圆E的方程，得 y kx m，x22 y2 1.)消去y并整理，得(2k 21)x 24kmx2m 220.因为直线l和椭圆E有且仅有一个交点，所以16k 2m24(2k 21)(2m 22)0.化简并整理，得m 22k 21.因为直线MQ与l垂直，所以直线MQ的方程为y (x1)1k联立得方程组 解得y 1k（ x 1） ，y kx m， ) x 1 km1 k2，y k m1 k2， )x 2y 2 ，（ 1 km） 2
10、（ k m） 2（ 1 k2） 2 k2m2 k2 m2 1（ 1 k2） 2 （ k2 1） （ m2 1）（ 1 k2） 2 m2 11 k2把m 22k 21代入上式得x 2y 22.(*)当切线l的斜率为0时，此时Q(1，1)或(1，1)，符合(*)式当切线l的斜率不存在时，此时Q( ，0)或( ，0)，符合(*)式2 2综上所述，点Q的轨迹方程为x 2y 22.1(2018河南洛阳二模)已知动圆M过定点E(2，0)，且在y轴上截得的弦PQ的长为4.则动圆圆心M的轨迹C的方程是_答案 y 24x解析 设M(x，y)，PQ的中点为N，连MN，则|PN|2，MNPQ，|MN| 2|PN|
11、2|PM| 2.又|PM|EM|，|MN| 2|PN| 2|EM| 2，x 24(x2) 2y 2，整理得y 24x.动圆圆心M的轨迹C的方程为y 24x.2已知直线l与平面平行，P是直线l上一定点，平面内的动点B满足PB与直线l成30角，那么B点轨迹是( )A两条直线 B椭圆C双曲线 D抛物线答案 C解析 P是直线l上的定点，平面与直线l平行，平面内的动点B满足PB与直线l成30角，因为空间中过P与l成307角的直线构成两个相对顶点的圆锥，即为平行于圆锥轴的平面，点B的轨迹可理解为与圆锥侧面的交线，所以点B的轨迹为双曲线，故选C.3(2018安徽安庆二模)已知抛物线x 22py(p0)，F为
12、其焦点，过点F的直线l交抛物线于A，B两点，过点B作x轴的垂线，交直线OA于点C，如图所示求点C的轨迹M的方程答案 yp2解析 依题意可得，直线l的斜率存在，故设其方程为ykx ，又设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，C(x，y)，p2由 x22pkxp 20x 1x2p 2.x2 2py，y kx p2)易知直线OA：y x x，直线BC：xx 2，y1x1 x12p由 得y ，y x12px，x x2， ) x1x22p p2即点C的轨迹M的方程为y .p24(2014课标全国，文)已知点P(2，2)，圆C：x 2y 28y0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点
13、为M，O为坐标原点(1)求M的轨迹方程；(2)当|OP|OM|时，求l的方程及POM的面积答案 (1)(x1) 2(y3) 22(2)x3y80，S POM 165解析 (1)圆C的方程可化为x 2(y4) 216，所以圆心为C(0，4)，半径为4.设M(x，y)，则 (x，y4)， (2x，2y)由题设知 0，故x(2x)(y4)(2y)0，即CM MP CM MP (x1) 2(y3) 22.由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是(x1) 2(y3) 22.(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1，3)为圆心， 为半径的圆2由于|OP|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上又P在圆N上，从而ONPM.因为ON的斜率为3，所以l的斜率为 .13故l的方程为y x ，即x3y80.13 831又|OM|OP|2 ，O到l的距离为 ，|PM| ，所以POM的面积为 .24 105 4 105 165
