1、19.1 直线方程与两条直线的位置关系命题探究解答过程答案:A解析:解法一:由题意可知,点F的坐标为(1,0),直线AB的斜率存在且不为0,故设直线AB的方程为x=my+1.由得y 2-4my-4=0,设A(x 1,y1),B(x2,y2),则y 1+y2=4m,y1y2=-4,x 1+x2=m(y1+y2)+2=4m2+2,|AB|=|AF|+|BF|=x 1+x2+2=4m2+4.ABDE,直线DE的方程为x=-y+1,|DE|=+4,|AB|+|DE|=4m 2+4+4=4+842+8=16,当且仅当m 2=,即m=1时,等号成立.即|AB|+|DE|的最小值为16.故选A.解法二:如图
2、,l 1l 2,直线l 1与C交于A、B两点,直线l 2与C交于D、E两点,要使|AB|+|DE|最小,则A与D,B与E关于x轴对称,即直线DE的斜率为1.又直线l 2过点(1,0),直线l 2的方程为y=x-1,联立方程组则y 2-4y-4=0,设D(x 1,y1),E(x2,y2),y 1+y2=4,y1y2=-4,|DE|=|y 1-y2|=8,|AB|+|DE|的最小值为2|DE|=162考纲解读考点 内容解读 要求 高考示例 常考题型 预测热 度1.直线的倾斜角、斜率和方程掌握2015课标,20;2014广东,10;2013山东,9选择题填空题2.点与直线、直线与直线的位置关系在平面
3、直角坐标系中,结合具体图形,确定直线位置的几何要素;理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式;能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直;掌握确定直线位置的几何要素,掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式),了解斜截式与一次函数的关系;能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标;掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离掌握2016四川,9;2014四川,14;2013课标全国,12选择题填空题分析解读 1.理解直线的倾斜角与斜率的关系,会求直线的倾斜角与斜率.2.掌握求直线方程的三种方法:直接法、待定系数法、轨迹法.3.能根据两条直线平行
4、、垂直的条件判定两直线是否平行或垂直.4.熟记两点间的距离公式、点到直线的距离公式、两条平行线间的距离公式,根据相关条件,会求三种距离.5.理解方程和函数的思想方法.6.高考中常结合直线的斜率与方程,考查与其他曲线的综合应用,分值约为5分,属中档题.五年高考考点一 直线的倾斜角、斜率和方程1.(2013山东,9,5分)过点(3,1)作圆(x-1) 2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方程为( )A.2x+y-3=0 B.2x-y-3=0C.4x-y-3=0 D.4x+y-3=0答案 A2.(2014广东,10,5分)曲线y=e -5x+2在点(0,3)处的切线方程为 . 答案
5、 5x+y-3=03.(2015课标,20,12分)在直角坐标系xOy中,曲线C:y=与直线l:y=kx+a(a0)交于M,N两点.3(1)当k=0时,分别求C在点M和N处的切线方程;(2)y轴上是否存在点P,使得当k变动时,总有OPM=OPN?说明理由.解析 (1)由题设可得M(2,a),N(-2,a)或M(-2,a),N(2,a).又y=,故y=在x=2处的导数值为,C在点(2,a)处的切线方程为y-a=(x-2),即x-y-a=0.y=在x=-2处的导数值为-,C在点(-2,a)处的切线方程为y-a=-(x+2),即x+y+a=0.故所求切线方程为x-y-a=0和x+y+a=0.(5分)
6、(2)存在符合题意的点,证明如下:设P(0,b)为符合题意的点,M(x 1,y1),N(x2,y2),直线PM,PN的斜率分别为k 1,k2.将y=kx+a代入C的方程得x 2-4kx-4a=0.故x 1+x2=4k,x1x2=-4a.从而k 1+k2=+=.当b=-a时,有k 1+k2=0,则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补,故OPM=OPN,所以点P(0,-a)符合题意.(12分)考点二 点与直线、直线与直线的位置关系1.(2016四川,9,5分)设直线l 1,l2分别是函数f(x)=图象上点P 1,P2处的切线,l 1与l 2垂直相交于点P,且l 1,l2分别与y轴相交于点A,B,
7、则PAB的面积的取值范围是( )A.(0,1) B.(0,2) C.(0,+) D.(1,+)答案 A2.(2013课标全国,12,5分)已知点A(-1,0),B(1,0),C(0,1),直线y=ax+b(a0)将ABC分割为面积相等的两部分,则b的取值范围是( )A.(0,1) B.C. D.答案 B3.(2013湖南,8,5分)在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=4,点P是边AB上异于A,B的一点.光线从点P出发,经BC,CA反射后又回到点P(如图).若光线QR经过ABC的重心,则AP等于( )A.2 B.1 C. D.答案 D4.(2014四川,14,5分)设mR,过定点A的动直线x+
8、my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P(x,y),则|PA|PB|的最大值是 . 答案 5三年模拟A组 20162018年模拟基础题组考点一 直线的倾斜角、斜率和方程1.(2018贵州遵义期中,2)已知直线l:x+y+2 017=0,则直线l的倾斜角为( )A.150 B.120 C.60 D.304答案 B2.(2018河北衡水期末,6)过不重合的A(m 2+2,m2-3),B(3-m-m2,2m)两点的直线l的倾斜角为45,则m的值为( )A.-1 B.-2C.-1或2 D.1或-2答案 B3.(2018浙江金华模拟,4)过点(-10,10)且在x轴上的截距是在y轴上截距的
9、4倍的直线的方程为( )A.x-y=0B.x+4y-30=0C.x+y=0或x+4y-30=0D.x+y=0或x-4y-30=0答案 C4.(人教A必2,三,3-2-2,2,变式)已知直线l:ax+y-2=0在x轴和y轴上的截距相等,则实数a的值是( )A.1 B.-1C.-2或-1 D.-2或1答案 A5.(2017福建四地六校联考,6)已知函数f(x)=asin x-bcos x(a0,b0),若f=f,则直线ax-by+c=0的倾斜角为( )A. B.C. D.答案 D6.(2017安徽“江淮十校”第一次联考,13)经过圆x 2+2x+y2=0的圆心C,且与直线x+y=0垂直的直线方程是
10、 . 答案 x-y+1=0考点二 点与直线、直线与直线的位置关系7.(2018陕西延安期中,6)等腰直角三角形ABC的直角顶点为C(3,3),若点A的坐标为(0,4),则点B的坐标可能是( )A.(2,0)或(4,6) B.(2,0)或(6,4)C.(4,6) D.(0,2)答案 A8.(2018贵州六盘水模拟,7)若点M和N都在直线l:x+y=1上,则点P,Q和l的关系是( )A.P和Q都在l上B.P和Q都不在l上C.P在l上,Q不在l上D.P不在l上,Q在l上答案 A9.(2017江西景德镇二模,4)若直线l 1:(m-2)x-y-1=0与直线l 2:3x-my=0互相平行,则m的值等于(
11、 )A.0或-1或3 B.0或3C.0或-1 D.-1或3答案 D10.(2016江西上饶二模,4)直线(a+2)x+(1-a)y-3=0与直线(a-1)x+(2a+3)y+2=0互相垂直,则a的值为( )A.-1 B.1 C.1 D.-答案 CB组 20162018年模拟提升题组5(满分:35分 时间:40分钟)一、选择题(每小题5分,共20分)1.(2018内蒙古包头模拟,6)如图所示,已知M(1,0),N(-1,0),直线2x+y-b=0与线段MN相交,则b的取值范围是( )A.-2,2 B.-1,1C. D.0,2答案 A2.(2018新疆乌鲁木齐模拟,6)直线a 1x+b1y=2和a
12、 2x+b2y=2交于点P(2,3),则过点A(a 1,b1)、B(a 2,b2)的直线方程是( )A.2x+3y-2=0 B.3x+2y-2=0C.3x+2y+2=0 D.2x+3y+2=0答案 A3.(2017豫南九校联考,5)若是直线l的倾斜角,且sin +cos =,则l的斜率为( )A.- B.-或-2C.或2 D.-2答案 D4.(2016江西南昌二模,9)已知点A(-2,0),B(1,0),C(0,1),直线y=kx将ABC分割为两部分,则当这两部分的面积之积取得最大值时k的值为( )A.- B.- C.- D.-答案 A二、解答题(共15分)5.(2017湖北十堰模拟,18)已
13、知三条直线l 1:2x-y+a=0(a0),l2:4x-2y-1=0和l 3:x+y-1=0,且两平行直线l 1与l 2间的距离是.(1)求a的值;(2)能否找到一点P,使得P点同时满足下列三个条件:P是第一象限的点;P点到l 1的距离是P点到l 2的距离的;P点到l 1的距离与P点到l 3的距离之比是?若能,求出P点坐标;若不能,请说明理由.解析 (1)l 2的方程可化为2x-y-=0,l 1与l 2间的距离d=,=,=,a0,a=3.(2)能.假设存在满足题意的P点.设点P(x 0,y0),P点满足条件,P点在与l 1、l 2平行的直线l:2x-y+C=0上,其中C满足=,C3且C-,则C
14、=或C=,2x 0-y0+=0或2x 0-y0+=0.P点满足条件,由点到直线的距离公式得=,即|2x 0-y0+3|=|x0+y0-1|,x 0-2y0+4=0或3x 0+2=0.6P点在第一象限,3x 0+2=0不满足题意.由解得(舍去).由解得存在满足题意的P点,且P点的坐标为.C组 20162018年模拟方法题组方法1 求直线的斜率及倾斜角的范围的方法1.(2018陕西延安期中,5)直线a 2x-b2y=1(其中a,bR,且ab0)的倾斜角的取值范围为( )A. B.C. D.答案 A2.(2018湖北黄冈模拟,4)直线x-ysin +1=0的倾斜角的取值范围是( )A. B.C. D
15、.答案 A3.(2016河北廊坊期末,5)直线(1+a 2)x-y+2=0的倾斜角的取值范围是( )A. B.C. D.答案 D4.(2017湖南益阳调研,14)若过点(0,2)的直线l与圆(x-2) 2+(y-2)2=1有公共点,则直线l的斜率的取值范围是 . 答案 方法2 确定直线方程的方法5.(2018广西钦州期中,8)已知直线l的方程为f(x,y)=0,P 1(x1,y1)和P 2(x2,y2)分别为直线l上和l外的点,则方程f(x,y)-f(x1,y1)-f(x2,y2)=0表示( )A.过点P 1且与l垂直的直线B.与l重合的直线C.过点P 2且与l平行的直线D.不过点P 2,但与
16、l平行的直线答案 C6.(2017安徽安庆模拟,13)经过点(2,1)的直线l和两坐标轴相交于A、B两点,若AOB(O是原点)的面积恰为4,则符合要求的直线l有 条. 答案 37.(2016河南天一大联考,19)已知圆C 1:x2+y2=9与圆C 2:(x-3)2+(y-4)2=r2(r0)相外切.(1)若圆C 2关于直线l:-=1对称,求由点(a,b)向圆C 2所作的切线长的最小值;(2)若直线l 1过点A(1,0)且与圆C 2相交于P,Q两点,求C 2PQ面积的最大值,并求此时直线l 1的方程.解析 (1)由题意知圆C 1的圆心为(0,0),半径为3,圆C 2的圆心为(3,4),半径为r,
17、因为圆C 1与圆C 2外切,所以|C 1C2|=5=3+r,所以r=2.因为圆C 2关于直线l:-=1对称,所以圆心C 2(3,4)在直线-=1上,所以-=1,所以a=b+3,所以由点(a,b)向圆C 2所作的切线长为=,所以当b=2时,切线长取得最小值,最小值为2.(2)因为直线l 1过点A且与圆C 2相交,所以l 1的斜率一定存在且不为0,设直线l 1:kx-y-k=0,7则圆心C 2(3,4)到直线l 1的距离为d=,C 2PQ的面积S=d2=d=,当d=时,S取得最大值2,所以d=,解得k=1或k=7,所以此时直线l 1的方程为x-y-1=0或7x-y-7=0.方法3 两直线平行与垂直
18、问题的解决策略8.(2018湖南衡阳模拟,7)过定点M的直线ax+y-1=0与过定点N的直线x-ay+2a-1=0交于点P,则|PM|PN|的最大值为( )A.4 B.3 C.2 D.1答案 D9.(2018广东广州模拟,14)若三条直线2x-y+4=0,x-2y+5=0,mx-3y+12=0围成直角三角形,则m= . 答案 -或-610.(2017安徽池州月考,14)已知b0,直线(b 2+1)x+ay+2=0与直线x-b 2y-1=0垂直,则ab的最小值为 . 答案 2方法4 求距离的方法11.(2018天津学业考试,5)平行于直线l:x+2y-3=0,且与l的距离为2的直线的方程为( )
19、A.x+2y+7=0B.x+2y-13=0或x+2y+7=0C.x+2y+13=0D.x+2y+13=0或x+2y-7=0答案 B12.(2018湖南益阳模拟,6)已知实数x,y满足2x+y+5=0,那么的最小值为( )A. B. C.2 D.2答案 A13.(2016河北石家庄期末,8)点P(-2,-1)到直线l:(1+3)x+(1+2)y=2+5的距离为d,则d的取值范围是( )A.0d D.d答案 A14.(2017湖南岳阳二模,8)已知动直线l:ax+by+c-2=0(a0,c0)恒过点P(1,m)且Q(4,0)到动直线l的最大距离为3,则+的最小值为( )A. B. C.1 D.9答案 B方法5 关于对称问题的求解策略15.(2018山西陵川一中期中,6)若点(a,b)关于直线y=2x的对称点在x轴上,则a,b满足的条件为( )A.4a+3b=0 B.3a+4b=0 C.2a+3b=0 D.3a+2b=0答案 A16.(2017河北五校联考,5)直线ax+y+3a-1=0恒过定点M,则直线2x+3y-6=0关于M点对称的直线方程为( )A.2x+3y-12=0 B.2x-3y-12=0C.2x-3y+12=0 D.2x+3y+12=0答案 D
