1、19.3 椭圆及其性质考纲解读考点 内容解读 要求 高考示例 常考题型 预测热度1.椭圆的定义及其标准方程1.掌握椭圆的定义,并会用椭圆的定义进行解题2.掌握椭圆的几何图形和标准方程,并会用待定系数法求椭圆的方程2017天津,20;2016天津,19;2015广东,8;2014大纲全国,15选择题、填空题、解答题2.椭圆的几何性质1.掌握椭圆的几何性质(如图形、范围、对称性等),并会熟练运用2.理解椭圆离心率的定义,并会求椭圆的离心率2017课标全国,12;2017浙江,2;2016课标全国,5;2016课标全国,12;2015课标,5选择题、填空题、解答题3.直线与椭圆的位置关系1.掌握直线
2、和椭圆位置关系的判断方法2.理解“整体代换”思想的含义,并能通过直线与椭圆位置关系解答相应问题2017北京,19;2016课标全国,21;2016四川,20;2015北京,20;2014陕西,20选择题、填空题、解答题分析解读从近几年的高考试题来看,椭圆的定义、标准方程、几何性质以及直线与椭圆的位置关系一直是高考命题的重点和热点,离心率问题是每年高考考查的重点,多在选择题和填空题中出现,主要考查学生结合定义、几何性质等分析问题、解决问题的能力以及运算能力,分值为5分,属于中档题目;在解答题中主要以直线与椭圆的位置关系为考查对象,考查面较广,往往会和平面向量、函数、导数、不等式等知识相结合,在考
3、查对椭圆基本概念和性质理解及应用的同时,又考查直线与圆锥曲线的位置关系,考查数形结合思想和转化与化归思想的应用.2(1)设椭圆的离心率为e.由已知,可得 (c+a)c= .12 22又由b 2=a2-c2,可得2c 2+ac-a2=0,即2e 2+e-1=0.又因为00),则直线FP的斜率为 .1由(1)知a=2c,可得直线AE的方程为 + =1,即x+2y-22c=0,与直线FP的方程联立,可解得x= ,y= ,即点Q的坐标为 .由已知|FQ|= c,有(2-2)+2 3+2 (2-2)+2, 3+2) 32+ = ,整理得 3m2-4m=0,所以m= ,即直线FP的斜率为 .(2-2)+2
4、 +2( 3+2)2(32)2 43 343(ii)由a=2c,可得b= c,3故椭圆方程可以表示为 + =1.242232由(i)得直线FP的方程为3x-4y+3c=0,与椭圆方程联立得 消去y,整理得7x 2+6cx-13c2=0,3-4+3=0,242+232=1, 解得x=- (舍去),或x=c.因此可得点P ,进而可得|FP|= = ,所以|PQ|=|FP|-|FQ|= - =c.137 (,32) (+)2+(32)252 52 32由已知,线段PQ的长即为PM与QN这两条平行直线间的距离,故直线PM和QN都垂直于直线FP.因为QNFP,所以|QN|=|FQ|tanQFN= = ,
5、所以FQN的面积为 |FQ|QN|= ,同理FPM的面积等于32 3498 12 27232,由四边形PQNM的面积为3c,得 - =3c,整理得c 2=2c,又由c0,得c=2.75232 7523227232所以,椭圆的方程为 + =1.216212五年高考考点一 椭圆的定义及其标准方程1.(2015广东,8,5分)已知椭圆 + =1(m0)的左焦点为F 1(-4,0),则m=( )22522A.2 B.3 C.4 D.9答案 B 2.(2014大纲全国,9,5分)已知椭圆C: + =1(ab0)的左、右焦点为F 1、F 2,离心率为 ,过F 2的直线l交C于A2222 33、B两点.若A
6、F 1B的周长为4 ,则C的方程为( )3A. + =1 B. +y2=12322 23C. + =1 D. + =121228 21224答案 A 3.(2014辽宁,15,5分)已知椭圆C: + =1,点M与C的焦点不重合.若M关于C的焦点的对称点分别为A,B,线段MN2924的中点在C上,则|AN|+|BN|= .答案 124.(2016天津,19,14分)设椭圆 + =1(a )的右焦点为F,右顶点为A.已知 + = ,其中O为原点,e为椭2223 3 1| 1| 3|圆的离心率.(1)求椭圆的方程;4(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上),垂直于l的直线与l交于点M,与
7、y轴交于点H.若BFHF,且MOA=MAO,求直线l的斜率.解析 (1)设F(c,0),由 + = ,即 + = ,可得 a2-c2=3c2,1| 1| 3| 11 3(-)又a 2-c2=b2=3,所以c 2=1,因此a 2=4.所以,椭圆的方程为 + =1.2423(2)设直线l的斜率为k(k0),则直线l的方程为y=k(x-2).设B(x B,yB),由方程组 消去y,24+23=1,=(-2)整理得(4k 2+3)x2-16k2x+16k2-12=0.解得x=2,或x= ,由题意得x B= ,从而y B= .82-642+382-642+3-1242+3由(1)知,F(1,0),设H(
8、0,y H),有 =(-1,yH), = . (9-4242+3,1242+3)由BFHF,得 =0,所以 + =0,解得y H= .42-942+31242+3 9-4212因此直线MH的方程为y=- x+ .1 9-4212设M(x M,yM),由方程组 消去y,=(-2),=-1+9-4212解得x M= .202+912(2+1)在MAO中,MOA=MAO|MA|=|MO|,即(x M-2)2+ = + ,化简得x M=1,即 =1,解得k=- ,或k= .222 202+912(2+1) 64 64所以,直线l的斜率为- 或 .64 645.(2015重庆,21,12分)如图,椭圆
9、+ =1(ab0)的左、右焦点分别为F 1,F2,过F 2的直线交椭圆于P,Q两点,且P2222QPF 1.(1)若|PF 1|=2+ ,|PF2|=2- ,求椭圆的标准方程;2 2(2)若|PQ|=|PF 1|,且 b0)的上顶点为B,左焦点为F,离心率为 .2222 55(1)求直线BF的斜率;(2)设直线BF与椭圆交于点P(P异于点B),过点B且垂直于BP的直线与椭圆交于点Q(Q异于点B),直线PQ与y轴交于点M,|PM|=|MQ|.(i)求的值;(ii)若|PM|sinBQP= ,求椭圆的方程.759解析 (1)设F(-c,0).由已知离心率 = 及a 2=b2+c2,可得 a= c,
10、b=2c. 55 5又因为B(0,b),F(-c,0),故直线BF的斜率k= = =2.-00-(-)2(2)设点P(x P,yP),Q(xQ,yQ),M(xM,yM).(i)由(1)可得椭圆的方程为 + =1,直线BF的方程为y=2x+2c.将直线方程与椭圆方程联立,消去y,整理得3x 2252242+5cx=0,解得x P=- .53因为BQBP,所以直线BQ的方程为y=- x+2c,与椭圆方程联立,消去y,整理得21x 2-40cx=0,解得x Q= .12 4021又因为= ,及x M=0,可得= = = .| |-|-| | 78(ii)由(i)有 = ,所以 = = ,| 78 |
11、+| 77+8 715即|PQ|= |PM|.157又因为|PM|sinBQP= ,759所以|BP|=|PQ|sinBQP= |PM|sinBQP= .157 553又因为y P=2xP+2c=- c,43所以|BP|= = c,(0+53)2+(2+43)2553因此 c= ,得c=1.553 553所以,椭圆方程为 + =1.252477.(2014天津,18,13分)设椭圆 + =1(ab0)的左、右焦点分别为F 1,F2,右顶点为A,上顶点为B.已知|AB|= |2222 32F1F2|.(1)求椭圆的离心率;(2)设P为椭圆上异于其顶点的一点,以线段PB为直径的圆经过点F 1,经过
12、原点O的直线l与该圆相切.求直线l的斜率.解析 (1)设椭圆右焦点F 2的坐标为(c,0).由|AB|= |F1F2|,可得a 2+b2=3c2,又b 2=a2-c2,则 = .32 2212所以椭圆的离心率e= .22(2)由(1)知a 2=2c2,b2=c2.故椭圆方程为 + =1.22222设P(x 0,y0).由F 1(-c,0),B(0,c),有 =(x0+c,y0), =(c,c).1 1由已知,有 =0,即(x 0+c)c+y0c=0.1 1又c0,故有x0+y0+c=0.又因为点P在椭圆上,故 + =1.2022202由和可得3 +4cx0=0.而点P不是椭圆的顶点,20故x
13、0=- c,代入得y 0= ,43 3即点P的坐标为 .(-43,3)设圆的圆心为T(x 1,y1),则x 1= =- c,y1= = c,进而圆的半径 r= = c.-43+02 233+2 23 (1-0)2+(1-)2 53设直线l的斜率为k,依题意,直线l的方程为y=kx.由l与圆相切,可得 =r,即 = c,|1-1|2+1|(-23)-23|2+1 53整理得k 2-8k+1=0,解得k=4 .15所以直线l的斜率为4+ 或4- .15 15教师用书专用(810)88.(2013广东,9,5分)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0),离心率等于 ,则C的方程是( )12A.
14、+ =1 B. + =1 C. + =1 D. + =12324 24 23 2422 2423答案 D 9.(2014四川,20,13分)已知椭圆C: + =1(ab0)的左焦点为F(-2,0),离心率为 .2222 63(1)求椭圆C的标准方程;(2)设O为坐标原点,T为直线x=-3上一点,过F作TF的垂线交椭圆于P,Q.当四边形OPTQ是平行四边形时,求四边形OPTQ的面积.解析 (1)由已知可得, = ,c=2,所以a= . 63 6又由a 2=b2+c2,解得b= ,所以椭圆C的标准方程是 + =1.22622(2)设T点的坐标为(-3,m),则直线TF的斜率k TF= =-m.-0
15、-3-(-2)当m0时,直线PQ的斜率k PQ= ,直线PQ的方程是x=my-2.当m=0时,直线PQ的方程是x=-2,也符合x=my-2的形式.1设P(x 1,y1),Q(x2,y2),将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立,得 消去x,得(m 2+3)y2-4my-2=0,=-2,26+22=1,其判别式=16m 2+8(m2+3)0,所以y 1+y2= ,y1y2= ,42+3-22+3x1+x2=m(y1+y2)-4= .-122+3因为四边形OPTQ是平行四边形,所以 = ,即(x 1,y1)=(-3-x2,m-y2).所以 解得m=1.1+2= -122+3=-3,1+2= 42+3=
16、,此时,S 四边形OPTQ =2SOPQ =2 |OF|y1-y2|12=2 =2 .(42+3)2-4-22+3 3910.(2014辽宁,20,12分)圆x 2+y2=4的切线与x轴正半轴,y轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P(如图).(1)求点P的坐标;(2)焦点在x轴上的椭圆C过点P,且与直线l:y=x+ 交于A,B两点.若PAB的面积为2,求C的标准方程.3解析 (1)设切点坐标为(x 0,y0)(x00,y00),则切线斜率为- ,切线方程为y-y 0=- (x-0000x0),即x 0x+y0y=4.此时,两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为S= = ,
17、由 + =42x 0y0知12 40 40 800 2020当且仅当x 0=y0= 时x 0y0有最大值,即S有最小值,因此点P的坐标为( , ).2 2 2(2)设C的标准方程为 + =1(ab0),点A(x 1,y1),B(x2,y2).由点P在C上知 + =1,并由22222222 22+22=1,=+3得b 2x2+4 x+6-2b2=0,又x 1,x2是方程的根,因此31+2=-432,12=6-222 ,由y 1=x1+ ,y2=x2+ ,得|AB|= |x1-x2|= .3 3 2 248-242+842由点P到直线l的距离为 及S PAB = |AB|=2得b 4-32 12
18、329b2+18=0,解得b 2=6或3,因此b 2=6,a2=3(舍)或b 2=3,a2=6,从而所求C的方程为 + =1.2623考点二 椭圆的几何性质1.(2017浙江,2,5分)椭圆 + =1的离心率是( )2924A. B. C. D.133 53 23 59答案 B 2.(2017课标全国,12,5分)设A,B是椭圆C: + =1长轴的两个端点.若C上存在点M满足AMB=120,则m的取232值范围是( )A.(0,19,+) B.(0, 9,+)3C.(0,14,+) D.(0, 4,+)310答案 A 3.(2016课标全国,5,5分)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆
19、中心到l的距离为其短轴长的 ,则该14椭圆的离心率为( )A. B. C. D.13 12 23 34答案 B 4.(2016课标全国,12,5分)已知O为坐标原点,F是椭圆C: + =1(ab0)的左焦点,A,B分别为C的左,右顶点.2222P为C上一点,且PFx轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为( )A. B. C. D.13 12 23 34答案 A 5.(2015课标,5,5分)已知椭圆E的中心在坐标原点,离心率为 ,E的右焦点与抛物线C:y 2=8x的焦点重合,A,B12是C的准线与E的两个交点,则|AB|=( )A.3 B
20、.6 C.9 D.12答案 B 6.(2015浙江,15,4分)椭圆 + =1(ab0)的右焦点F(c,0)关于直线y= x的对称点Q在椭圆上,则椭圆的离心率2222 是 .答案 227.(2015安徽,20,13分)设椭圆E的方程为 + =1(ab0),点O为坐标原点,点A的坐标为(a,0),点B的坐标为(0,2222b),点M在线段AB上,满足|BM|=2|MA|,直线OM的斜率为 .510(1)求E的离心率e;(2)设点C的坐标为(0,-b),N为线段AC的中点.证明:MNAB.解析 (1)由题设条件知,点M的坐标为 ,(23,13)又k OM= ,从而 = .510 2 510进而a=
21、 b,c= =2b.故e= = .5 2-2255(2)证明:由N是AC的中点知,点N的坐标为 ,可得 = .(2,-2) (6,56)11又 =(-a,b),从而有 =- a2+ b2= (5b2-a2). 16 56 16由(1)的计算结果可知a 2=5b2,所以 =0,故MNAB.8.(2014课标,20,12分)设F 1,F2分别是椭圆C: + =1(ab0)的左,右焦点,M是C上一点且MF 2与x轴垂直.直线2222MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为 ,求C的离心率;34(2)若直线MN在y轴上的截距为2,且|MN|=5|F 1N|,求a,b.解析 (1)根据c=
22、及题设知M ,2b2=3ac.2-2 (,2)将b 2=a2-c2代入2b 2=3ac,解得 = 或 =-2(舍去).12 故C的离心率为 .12(2)由题意,知原点O为F 1F2的中点,MF 2y轴,所以直线MF 1与y轴的交点D(0,2)是线段MF 1的中点,故 =4,即b 2=4a2,由|MN|=5|F 1N|得|DF 1|=2|F1N|.设N(x 1,y1),由题意知y 1b0)的左、右焦点分别为F 1,F2,P是C上的点,PF 2F 1F2,PF 1F22222=30,则C的离心率为( )A. B. C. D.36 13 12 33答案 D 1210.(2013辽宁,11,5分)已知
23、椭圆C: + =1(ab0)的左焦点为F,C与过原点的直线相交于A、B两点,连接AF,BF2222.若|AB|=10,|BF|=8,cosABF= ,则C的离心率为( )45A. B. C. D.35 57 45 67答案 B 11.(2013四川,9,5分)从椭圆 + =1(ab0)上一点P向x轴作垂线,垂足恰为左焦点F 1,A是椭圆与x轴正半轴的2222交点,B是椭圆与y轴正半轴的交点,且ABOP(O是坐标原点),则该椭圆的离心率是( )A. B. C. D.24 12 22 32答案 C 12.(2014江西,14,5分)设椭圆C: + =1(ab0)的左,右焦点为F 1,F2,过F 2
24、作x轴的垂线与C相交于A,B两点,F 1B2222与y轴相交于点D,若ADF 1B,则椭圆C的离心率等于 . 答案 3313.(2013福建,15,4分)椭圆: + =1(ab0)的左、右焦点分别为F 1,F2,焦距为2c.若直线y= (x+c)与椭圆2222 3的一个交点M满足MF 1F2=2MF 2F1,则该椭圆的离心率等于 .答案 -1314.(2014广东,20,14分)已知椭圆C: + =1(ab0)的一个焦点为( ,0),离心率为 .2222 5 53(1)求椭圆C的标准方程;(2)若动点P(x 0,y0)为椭圆C外一点,且点P到椭圆C的两条切线相互垂直,求点P的轨迹方程.解析 (
25、1)由题意得c= ,e= = ,a=3,5 53b= =2,2-2椭圆C的标准方程为 + =1.2924(2)当过P点的两条切线的斜率均存在时,不妨设为k 1、k 2,则过P点的切线方程可设为y-y 0=k(x-x0)y=kx+y0-kx0,由 消去y,有 (4+9k2)x2+18k(y0-kx0)x+9(y0-kx0)2-4=0,=+0-0,29+24=1 13=18k(y 0-kx0)2-4(4+9k2)9(y0-kx0)2-4=0,整理得(9- )k2+2x0y0k- +4=0,20 20k 1k2= (x03),4-209-20由已知得k 1k2=-1, =-1,4-209-20 +
26、=13,即此时点 P的轨迹方程为 + =13.2020 2020当两条切线中有一条垂直于x轴时,此时两条切线方程应分别为x=3,y=2或x=-3,y=2或x=3,y=-2或x=-3,y=-2,P点坐标为(3,2)或(-3,2)或(3,-2)或(-3,-2),均满足方程 + =13.2020综上所述,所求P点的轨迹方程为 + =13.2020考点三 直线与椭圆的位置关系1.(2017北京,19,14分)已知椭圆C的两个顶点分别为A(-2,0),B(2,0),焦点在x轴上,离心率为 .32(1)求椭圆C的方程;(2)点D为x轴上一点,过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M,N,过D作AM的垂线交B
27、N于点E.求证:BDE与BDN的面积之比为45.解析 (1)设椭圆C的方程为 + =1(ab0).2222由题意得=2,= 32,解得c= .3所以b 2=a2-c2=1.所以椭圆C的方程为 +y2=1.24(2)证明:设M(m,n),则D(m,0),N(m,-n).由题设知m2,且n0.直线AM的斜率k AM= ,故直线 DE的斜率k DE=- .+2 +2所以直线DE的方程为y=- (x-m).+2直线BN的方程为y= (x-2).2-14联立=-+2 (-),= 2-(-2),解得点E的纵坐标y E=- .(4-2)4-2+2由点M在椭圆C上,得4-m 2=4n2.所以y E=- n.4
28、5又S BDE = |BD|yE|= |BD|n|,12 25SBDN = |BD|n|,12所以BDE与BDN的面积之比为45.2.(2016课标全国,21,12分)已知A是椭圆E: + =1的左顶点,斜率为k(k0)的直线交E于A,M两点,点N在E上,2423MANA.(1)当|AM|=|AN|时,求AMN的面积;(2)当2|AM|=|AN|时,证明: 0.由已知及椭圆的对称性知,直线AM的倾斜角为 .4又A(-2,0),因此直线AM的方程为y=x+2.(2分)将x=y-2代入 + =1得7y 2-12y=0.2423解得y=0或y= ,所以y 1= .127 127因此AMN的面积S A
29、MN =2 = .(4分)12 127 127 14449(2)证明:将直线AM的方程y=k(x+2)(k0)代入 + =1得2423(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0.由x 1(-2)= 得x 1= ,162-123+422(3-42)3+42故|AM|=|x 1+2| = .1+2121+23+42由题设,直线AN的方程为y=- (x+2),1故同理可得|AN|= .(7分)121+232+415由2|AM|=|AN|得 = ,即4k 3-6k2+3k-8=0.(9分)23+4232+4设f(t)=4t 3-6t2+3t-8,则k是f(t)的零点, f (t)=12t 2-
30、12t+3=3(2t-1)20,所以f(t)在(0,+)内单调递增.又f( )=15 -260,因此f(t)在(0,+)内有唯一的零点,且零点k在( ,2)内,所以 b0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点,点P2222在椭圆 E上 .(3,12)(1)求椭圆E的方程;(2)设不过原点O且斜率为 的直线l与椭圆E交于不同的两点A,B,线段AB的中点为M,直线OM与椭圆E交于C,D,证12明:|MA|MB|=|MC|MD|.解析 (1)由已知得,a=2b.又椭圆 + =1(ab0)过点P ,2222 (3,12)故 + =1,342142解得b 2=1.所以椭圆E的方程是 +y2=1
31、.24(2)证明:设直线l的方程为y= x+m(m0),A(x 1,y1),B(x2,y2),12由方程组 得x 2+2mx+2m2-2=0,24+2=1,=12+,方程的判别式为=4(2-m 2),由0,即2-m 20,解得- b0)的一个焦点,C 1与C 2的公共弦的2222长为2 .过点F的直线l与C 1相交于A,B两点,与C 2相交于C,D两点,且 与 同向.6 (1)求C 2的方程;(2)若|AC|=|BD|,求直线l的斜率.解析 (1)由C 1:x2=4y知其焦点F的坐标为(0,1).因为F也是椭圆C 2的一个焦点,所以a 2-b2=1.又C 1与C 2的公共弦的长为2 ,C1与C
32、 2都关于y轴对称,且C 1的方程为x 2=4y,6由此易知C 1与C 2的公共点的坐标为 ,( 6,32)所以 + =1.94262联立,得a 2=9,b2=8.故C 2的方程为 + =1.29 28(2)如图,设A(x 1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4).因 与 同向 ,且|AC|=|BD|, 所以 = ,从而x 3-x1=x4-x2,即x 1-x2=x3-x4,于是(x 1+x2)2-4x1x2=(x3+x4)2- 4x3x4.设直线l的斜率为k,则l的方程为y=kx+1.由 得x 2-4kx-4=0.=+1,2=4而x 1,x2是这个方程的两根,18所以x
33、 1+x2=4k,x1x2=-4.由 得(9+8k 2)x2+16kx-64=0.=+1,28+29=1而x 3,x4是这个方程的两根,所以x 3+x4=- ,x3x4=- .169+82649+82将,代入,得16(k 2+1)= + ,1622(9+82)24649+82即16(k 2+1)= ,1629(2+1)(9+82)2所以(9+8k 2)2=169,解得k= ,即直线l的斜率为 .64 646.(2014陕西,20,13分)已知椭圆 + =1(ab0)经过点(0, ),离心率为 ,左,右焦点分别为F 1(-2222 3 12c,0),F2(c,0).(1)求椭圆的方程;(2)若直
34、线l:y=- x+m与椭圆交于A,B两点,与以F 1F2为直径的圆交于C,D两点,且满足 = ,求直线l的方程.12 | 534解析 (1)由题设知=3,=12,2=2-2,解得a=2,b= ,c=1,3椭圆的方程为 + =1.2423(2)由(1)知,以F 1F2为直径的圆的方程为x 2+y2=1,圆心到直线l的距离d= ,由db0)的焦距为4,且过点P( , ).2222 2 3(1)求椭圆C的方程;(2)设Q(x 0,y0)(x0y00)为椭圆C上一点.过点Q作x轴的垂线,垂足为E.取点A(0,2 ),连接AE.过点A作AE的垂线2交x轴于点D.点G是点D关于y轴的对称点,作直线QG.问
35、这样作出的直线QG是否与椭圆C一定有唯一的公共点?并说明理由.解析 (1)因为焦距为4,所以a 2-b2=4.又因为椭圆C过点P( , ),所以 + =1,故a 2=8,b2=4,从而椭圆C的方程为 + =1.2 32232 2824(2)由题意,得E点坐标为(x 0,0),设D(x D,0),则 =(x0,-2 ), =(xD,-2 ), 2 2再由ADAE知, =0,即x 0xD+8=0.由于x 0y00,故x D=- .80因为点G是点D关于y轴的对称点,所以点G .(80,0)20故直线QG的斜率k QG= = .00-800020-8又因Q(x 0,y0)在椭圆C上,所以+2 =8.
36、20 20从而k QG=- .020故直线QG的方程为y=- .020(-80)将代入椭圆C的方程,得( +2 )x2-16x0x+64-16 =0.20 20 20再将代入,化简得x 2-2x0x+ =0.20解得x=x 0,所以y=y 0,即直线QG与椭圆C一定有唯一的公共点.8.(2013陕西,20,13分)已知动点M(x,y)到直线l:x=4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍.(1)求动点M的轨迹C的方程;(2)过点P(0,3)的直线m与轨迹C交于A,B两点,若A是PB的中点,求直线m的斜率.解析 (1)设M到直线l的距离为d,根据题意得,d=2|MN|.由此得|4-x|=2 ,化
37、简得 + =1,(-1)2+22423所以动点M的轨迹方程为 + =1.2423(2)解法一:由题意,设直线m的方程为y=kx+3,A(x 1,y1),B(x2,y2).将y=kx+3代入 + =1中,有(3+4k 2)x2+24kx+24=0,2423其中,=(24k) 2-424(3+4k2)=96(2k2-3)0,由根与系数的关系得x 1+x2=- , 243+42x1x2= . 243+42又因A是PB的中点,故x 2=2x1, 将代入,得x 1=- , = ,83+4221123+4221可得 = ,且k 2 ,(-83+42)2123+42 32解得k=- 或k= ,所以直线m的斜
38、率为- 或 .32 32 32 32解法二:由题意,设直线m的方程为y=kx+3,A(x 1,y1),B(x2,y2).A是PB的中点,x 1= , 22y1= . 3+22又 + =1, 214213+ =1, 224223联立,解得 或2=2,2=0 2=-2,2=0,即点B的坐标为(2,0)或(-2,0),所以直线m的斜率为- 或 .32 329.(2013重庆,21,12分)如图,椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,离心率e= ,过左焦点F 1作x轴的垂线交椭圆于22A,A两点,|AA|=4.(1)求该椭圆的标准方程;(2)取平行于y轴的直线与椭圆相交于不同的两点P,P,过P,P作圆心为
39、Q的圆,使椭圆上的其余点均在圆Q外.求PPQ的面积S的最大值,并写出对应的圆Q的标准方程.解析 (1)由题意知点A(-c,2)在椭圆上,则 + =1.从而 e2+ =1.(-)222224222由e= 得b 2= =8,从而a 2= =16.22 41-2 21-2故该椭圆的标准方程为 + =1.21628(2)由椭圆的对称性,可设Q(x 0,0).又设M(x,y)是椭圆上任意一点,则|QM|2=(x-x0)2+y2=x2-2x0x+ +8 = (x-2x0)2- +8(x-4,4).20 (1-216)12 20设P(x 1,y1),由题意知,P是椭圆上到Q的距离最小的点,因此,上式当x=x
40、 1时取最小值,又因x 1(-4,4),所以上式当x=2x 0时取最小值,从而x 1=2x0,且|QP| 2=8- .20由对称性知P(x 1,-y1),故|PP|=|2y 1|,所以S= |2y1|x1-x0|= 2 |x0|12 12 8(1-2116)= = .2(4-20)20 2 -(20-2)2+4当x 0= 时,PPQ的面积S取到最大值2 .2 2此时对应的圆Q的圆心坐标为Q( ,0),半径|QP|= = ,因此,这样的圆有两个,其标准方程分别为(x+2 8-20 6 2)2+y2=6,(x- )2+y2=6.210.(2013山东,22,14分)在平面直角坐标系xOy中,已知椭
41、圆C的中心在原点O,焦点在x轴上,短轴长为2,离心率为 .22(1)求椭圆C的方程;(2)A,B为椭圆C上满足AOB的面积为 的任意两点,E为线段AB的中点,射线OE交椭圆C于点P.设 =t ,求实64 数t的值.解析 (1)设椭圆C的方程为 + =1(ab0),2222由题意知 解得a= ,b=1.2=2+2,= 22,2=2. 2因此椭圆C的方程为 +y2=1.22(2)(i)当A,B两点关于x轴对称时,设直线AB的方程为x=m,由题意知- 0,所以t=2或t= .233(ii)当A,B两点关于x轴不对称时,设直线AB的方程为y=kx+h.将其代入椭圆的方程 +y2=1,得(1+2k 2)
42、x2+4khx+2h2-2=0,设A(x 1,y1),B(x2,y2).22由判别式0可得1+2k 2h2,此时x 1+x2=- ,x1x2= ,41+2222-21+22y1+y2=k(x1+x2)+2h= ,21+22所以|AB|= 1+2(1+2)2-412=2 .21+21+22-21+22因为点O到直线AB的距离d= ,|1+2所以S AOB = |AB|d12= 2 12 21+21+22-21+22 |1+2= |h|.21+22-21+2224又S AOB = ,所以 |h|= .64 21+22-21+22 64令n=1+2k 2,代入整理得3n 2-16h2n+16h4=0
43、,解得n=4h 2或n= h2,43即1+2k 2=4h2或1+2k 2= h2.43又 =t = t( + )= t(x1+x2 ,y1+y2)= ,12 12 (- 21+22, 1+22)因为P为椭圆C上一点,所以t 2 =1,12(- 21+22)2+(1+22)2即 t2=1.21+22将代入得t 2=4或t 2= ,43又知t0,故t=2或t= ,233经检验,适合题意.综合(i)(ii),得t=2或t= .233三年模拟A组 20162018年模拟基础题组考点一 椭圆的定义及其标准方程1.(2018宁夏银川一中月考,5)过点( ,- ),且与椭圆 + =1有相同焦点的椭圆的标准方
44、程为( )3 522529A. + =1 B. + =122024 22524C. + =1 D. + =122024 24 225答案 C 2.(2018广东惠州二调,10)设F 1,F2为椭圆 + =1的两个焦点,点P在椭圆上,若线段PF 1的中点在y轴上,则2925 |2|1|的值为( )25A. B. C. D.514 59 49 513答案 D 3.(2017湖南长沙一模,5)椭圆的焦点在x轴上,中心在原点,其上、下顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点,则椭圆的标准方程为( )A. + =1 B. +y2=1 C. + =1 D. + =12222 22 2422 24 22答案 C 4.(2017河南三市联考,5)“mn0”是“方程mx 2+ny2=1表示椭圆”的( )A.必要不充分
