1、19.5 双曲线及其性质考纲解读考点 内容解读 要求 高考示例 常考题型 预测热度1.双曲线的定义及其标准方程 了解2017课标全国,5;2017天津,5;2016课标全国,5;2016天津,6;2015天津,6选择题填空题 2.双曲线的几何性质 了解2017课标全国,15;2017北京,9;2017山东,14;2016课标全国,11;2016浙江,7;2015课标,5选择题填空题 3.直线与双曲线的位置关系了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道它的简单几何性质了解 2015四川,5;2014福建,19 选择题解答题 分析解读 1.能根据所给几何条件求双曲线方程,能灵活运用双曲线定义及几何
2、性质确定基本元素.2.理解参数a、b、c、e的关系,渐近线及其几何意义.3.能够把直线与双曲线的位置关系的问题转化为方程组解的问题,判断位置关系及解决相关问题.4.能灵活运用数形结合的思想方法.5.本节在高考中以双曲线的方程和性质为主,分值约为5分,属中档题.五年高考考点一 双曲线的定义及其标准方程1.(2017课标全国,5,5分)已知双曲线C:-=1(a0,b0)的一条渐近线方程为y=x,且与椭圆+=1有公共焦点,则C的方程为 ( )A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1答案 B2.(2017天津,5,5分)已知双曲线-=1(a0,b0)的左焦点为F,离心率为.若经过F和P(0,4)
3、两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为( )A.-=1 B.-=1C.-=1 D.-=1答案 B3.(2016课标全国,5,5分)已知方程-=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是( )A.(-1,3) B.(-1,)C.(0,3) D.(0,)答案 A4.(2016天津,6,5分)已知双曲线-=1(b0),以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A,B,C,D四点,四边形ABCD的面积为2b,则双曲线的方程为( )A.-=1 B.-=1C.-=1 D.-=1答案 D2教师用书专用(512)5.(2015天津,6,5分)已知双曲线
4、-=1(a0,b0)的一条渐近线过点(2,),且双曲线的一个焦点在抛物线y 2=4x的准线上,则双曲线的方程为( )A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1答案 D6.(2015课标,11,5分)已知A,B为双曲线E的左,右顶点,点M在E上,ABM为等腰三角形,且顶角为120,则E的离心率为( )A. B.2 C. D.答案 D7.(2015安徽,4,5分)下列双曲线中,焦点在y轴上且渐近线方程为y=2x的是( )A.x2-=1 B.-y2=1 C.-x2=1 D.y2-=1答案 C8.(2015广东,7,5分)已知双曲线C:-=1的离心率e=,且其右焦点为F 2(5,0),则双曲线C的
5、方程为( )A.-=1 B.-=1C.-=1 D.-=1答案 C9.(2015福建,3,5分)若双曲线E:-=1的左、右焦点分别为F 1、F 2,点P在双曲线E上,且|PF 1|=3,则|PF 2|等于( )A.11 B.9 C.5 D.3答案 B10.(2014天津,5,5分)已知双曲线-=1(a0,b0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为( )A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1答案 A11.(2013广东,7,5分)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0),离心率等于,则C的方程是( )A.-=1 B.-=1C.-=1
6、D.-=1答案 B12.(2014辽宁,20,12分)圆x 2+y2=4的切线与x轴正半轴,y轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P(如图),双曲线C 1:-=1过点P且离心率为.(1)求C 1的方程;(2)椭圆C 2过点P且与C 1有相同的焦点,直线l过C 2的右焦点且与C 2交于A,B两点,若以线段AB为直径的圆过点P,求l的方程.解析 (1)设切点坐标为(x 0,y0)(x00,y00),则切线斜率为-,切线方程为y-y 0=-(x-x0),即x 0x+y0y=4,此时,两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为S=.由+=42x 0y0知当且仅当x 0=y0=时x 0y
7、0有最大值,即S有最小值,因此点P的坐标为(,).由题意知解得a 2=1,b2=2,故C 1的方程为x 2-=1.(2)由(1)知C 2的焦点坐标为(-,0),(,0),由此设C 2的方程为+=1,其中b 10.由P(,)在C 2上,得+=1,解得=3,因此C 2的方程为+=1.显然,l不是直线y=0.设l的方程为x=my+,点A(x 1,y1),B(x2,y2),由3得(m 2+2)y2+2my-3=0,又y 1,y2是方程的根,因此由x 1=my1+,x2=my2+,得因=(-x 1,-y1),=(-x2,-y2),由题意知=0,所以x 1x2-(x1+x2)+y1y2-(y1+y2)+4
8、=0.将,代入式整理得2m2-2m+4-11=0,解得m=-1或m=-+1. 因此直线l的方程为x-y-=0或x+y-=0.考点二 双曲线的几何性质1.(2016课标全国,11,5分)已知F 1,F2是双曲线E:-=1的左,右焦点,点M在E上,MF 1与x轴垂直,sinMF 2F1=,则E的离心率为( )A. B. C. D.2答案 A2.(2016浙江,7,5分)已知椭圆C 1:+y2=1(m1)与双曲线C 2:-y2=1(n0)的焦点重合,e 1,e2分别为C 1,C2的离心率,则( )A.mn且e 1e21 B.mn且e 1e21 D.m0,b0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A
9、,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点.若MAN=60,则C的离心率为 . 答案 5.(2017北京,9,5分)若双曲线x 2-=1的离心率为,则实数m= . 答案 26.(2017山东,14,5分)在平面直角坐标系xOy中,双曲线-=1(a0,b0)的右支与焦点为F的抛物线x 2=2py(p0)交于A,B两点.若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为 . 答案 y=x7.(2015浙江,9,6分)双曲线-y 2=1的焦距是 ,渐近线方程是 . 答案 2;y=x教师用书专用(822)8.(2015湖北,8,5分)将离心率为e 1的双曲线C 1的实半轴长a和虚半轴长b(ab
10、)同时增加m(m0)个单位长度,得到离心率为e 2的双曲线C 2,则( )A.对任意的a,b,e 1e2B.当ab时,e 1e2;当ab时,e 1e2答案 D9.(2015重庆,10,5分)设双曲线-4=1(a0,b0)的右焦点为F,右顶点为A,过F作AF的垂线与双曲线交于B,C两点,过B,C分别作AC,AB的垂线,两垂线交于点D.若D到直线BC的距离小于a+,则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是( )A.(-1,0)(0,1) B.(-,-1)(1,+)C.(-,0)(0,) D.(-,-)(,+)答案 A10.(2014山东,10,5分)已知ab0,椭圆C 1的方程为+=1,双曲线C 2的方
11、程为-=1,C1与C 2的离心率之积为,则C 2的渐近线方程为( )A.xy=0 B.xy=0C.x2y=0 D.2xy=0答案 A11.(2014课标,4,5分)已知F为双曲线C:x 2-my2=3m(m0)的一个焦点,则点F到C的一条渐近线的距离为( )A. B.3 C.m D.3m答案 A12.(2014大纲全国,9,5分)已知双曲线C的离心率为2,焦点为F 1、F 2,点A在C上.若|F 1A|=2|F2A|,则cosAF 2F1=( )A. B. C. D.答案 A13.(2014重庆,8,5分)设F 1、F 2分别为双曲线-=1(a0,b0)的左、右焦点,双曲线上存在一点P使得|P
12、F 1|+|PF2|=3b,|PF1|PF2|=ab,则该双曲线的离心率为( )A. B. C. D.3答案 B14.(2014广东,4,5分)若实数k满足00,b0)的离心率为,则C的渐近线方程为( )A.y=x B.y=xC.y=x D.y=x答案 C16.(2013湖北,5,5分)已知00,b0)的渐近线与抛物线C 2:x2=2py(p0)交于点O,A,B.若OAB的垂心为C 2的焦点,则C 1的离心率为 . 答案 19.(2015北京,10,5分)已知双曲线-y 2=1(a0)的一条渐近线为x+y=0,则a= . 答案 20.(2015湖南,13,5分)设F是双曲线C:-=1的一个焦点
13、.若C上存在点P,使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点,则C的离心率为 . 答案 521.(2014浙江,16,4分)设直线x-3y+m=0(m0)与双曲线-=1(a0,b0)的两条渐近线分别交于点A,B.若点P(m,0)满足|PA|=|PB|,则该双曲线的离心率是 . 答案 22.(2013陕西,11,5分)双曲线-=1的离心率为,则m等于 . 答案 9考点三 直线与双曲线的位置关系1.(2015四川,5,5分)过双曲线x 2-=1的右焦点且与x轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线于A,B两点,则|AB|=( )A. B.2 C.6 D.4答案 D2.(2014福建,19,13分)已知双曲线
14、E:-=1(a0,b0)的两条渐近线分别为l 1:y=2x,l2:y=-2x.(1)求双曲线E的离心率;(2)如图,O为坐标原点,动直线l分别交直线l 1,l2于A,B两点(A,B分别在第一、四象限),且OAB的面积恒为8.试探究:是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E?若存在,求出双曲线E的方程;若不存在,说明理由.解析 (1)因为双曲线E的渐近线分别为y=2x,y=-2x,所以=2,所以=2,故c=a,从而双曲线E的离心率e=.(2)解法一:由(1)知,双曲线E的方程为-=1.设直线l与x轴相交于点C.当lx轴时,若直线l与双曲线E有且只有一个公共点,则|OC|=a,|AB|=4a
15、,又因为OAB的面积为8,所以|OC|AB|=8,因此a4a=8,解得a=2,此时双曲线E的方程为-=1.若存在满足条件的双曲线E,则E的方程只能为-=1.以下证明:当直线l不与x轴垂直时,双曲线E:-=1也满足条件.设直线l的方程为y=kx+m,依题意,得k2或k2或k0,所以x 1x2=,又因为OAB的面积为8,所以|OA|OB|sinAOB=8,又易知sinAOB=,所以=8,化简得x 1x2=4.所以=4,即m 2=4(k2-4).由(1)得双曲线E的方程为-=1,由得(4-k 2)x2-2kmx-m2-4a2=0,因为4-k 20)的右焦点为F,点A,B分别在C的两条渐近线上,AFx
16、轴,ABOB,BFOA(O为坐标原点).(1)求双曲线C的方程;(2)过C上一点P(x 0,y0)(y00)的直线l:-y 0y=1与直线AF相交于点M,与直线x=相交于点N.证明:当点P在C上移动时,恒为定值,并求此定值.解析 (1)设F(c,0),因为b=1,所以c=,直线OB的方程为y=-x,直线BF的方程为y=(x-c),解得B.又直线OA的方程为y=x,则A,k AB=.又因为ABOB,所以=-1,解得a 2=3,故双曲线C的方程为-y 2=1.(2)由(1)知a=,则直线l的方程为-y 0y=1(y00),7即y=.因为直线AF的方程为x=2,所以直线l与AF的交点为M;直线l与直
17、线x=的交点为N,则=.因为P(x 0,y0)是C上一点,所以-=1,代入上式得=,所求定值为=.三年模拟A组 20162018年模拟基础题组考点一 双曲线的定义及其标准方程1.(2018宁夏育才中学月考,5)设P是双曲线-=1上一点,F 1,F2分别是双曲线的左、右焦点,若|PF 1|=9,则|PF 2|等于 ( )A.1 B.17C.1或17 D.以上答案均不对答案 B2.(2018广东广州华南师大附中检测,5)设k1,则关于x,y的方程(1-k)x 2+y2=k2-1所表示的曲线是( )A.长轴在x轴上的椭圆B.长轴在y轴上的椭圆C.实轴在x轴上的双曲线D.实轴在y轴上的双曲线答案 D3
18、.(2017广东汕头模拟,14)已知双曲线-=1(a0,b0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,且该双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为 . 答案 -=14.(人教A选21,二,2-3-1,3,变式)若关于x,y的方程(m 2-4m-5)x2+(m2+5m-6)y2=1表示焦点在y轴上的双曲线,则实数m的取值范围是 . 答案 (1,5)考点二 双曲线的几何性质5.(2018广东茂名模拟,5)已知双曲线-=1的一个焦点在直线x+y=5上,则双曲线的渐近线方程为( )A.y=x B.y=xC.y=x D.y=x答案 B6.(2017安徽安庆二模,6)已知F 1、F 2为双曲线的焦点
19、,过F 2作垂直于实轴的直线交双曲线于A、B两点,BF 1交y轴于点C,若ACBF 1,则双曲线的离心率为( )A. B. C.2 D.2答案 B7.(2017河北唐山调研,5)设F 1,F2是双曲线-y2=1的两个焦点,P在双曲线上,且F 1PF2=90,则F 1PF2的面积为( )A.1 B.2 C. D.答案 A考点三 直线与双曲线的位置关系8.(2018山东济南模拟,8)已知双曲线-8=1的右焦点为F,若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此直线的斜率的取值范围是( )A. B.-,C. D.(-,)答案 A9.(2017山西临汾一中月考,7)已知双曲线C:-=1(a0,b0
20、)的右焦点为F(c,0),直线x=a与双曲线C的渐近线在第一象限的交点为A,O为坐标原点,若OAF的面积为a 2,则双曲线C的离心率为( )A. B. C. D.答案 A10.(2017湖南长沙月考,7)已知F 1,F2是双曲线E:-=1(a0,b0)的左,右焦点,过点F 1且与x轴垂直的直线与双曲线左支交于点M,N,已知MF 2N是等腰直角三角形,则双曲线的离心率是( )A. B.2C.1+ D.2+答案 CB组 20162018年模拟提升题组(满分:30分 时间:30分钟)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2018福建莆田九中月考,10)已知点P是双曲线-=1(a0,b0)右支上一点
21、,F 1,F2分别为双曲线的左、右焦点,I为PF 1F2的内心,若=+成立,则的值是( )A. B. C. D.答案 B2.(2018安徽淮南联考,6)已知双曲线-=1的右焦点为F,P为双曲线左支上一点,点A(0,),则APF周长的最小值为 ( )A.4+ B.4(1+) C.2(+) D.+3答案 B3.(2018山东青岛模拟,8)已知点P是双曲线C:-=1(a0,b0)左支上一点,F 1、F 2是双曲线的左、右焦点,且PF 1PF 2,PF2与两条渐近线相交于M,N两点(如图),点N恰好平分线段PF 2,则双曲线的离心率是( )A. B. C.2 D.答案 D4.(2017福建龙岩二模,1
22、1)已知离心率为的双曲线C:-=1(a0,b0)的左,右焦点分别为F 1,F2,M是双曲线C的一条渐近线上的点,且OMMF 2,O为坐标原点,若=16,则双曲线的实轴长是( )A.32 B.16 C.84 D.4答案 B5.(2016广东茂名二模,11)已知双曲线:-=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F 1、F 2,焦距为2c,直线y=(x+c)与双曲线的一个交点M满足MF 1F2=2MF 2F1,则双曲线的离心率为( )A. B. C.2 D.+19答案 D二、填空题(共5分)6.(2017河南百校联盟质检,16)已知双曲线C:-=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F 1(-c,0),F2
23、(c,0),A,B是圆(x+c) 2+y2=4c2与C位于x轴上方的两个交点,且F 1AF 2B,则双曲线C的离心率为 . 答案 C组 20162018年模拟方法题组方法1 求双曲线的标准方程的方法1.(2018福建莆田月考,7)已知双曲线-=1(a0,b0)的左,右焦点分别为F 1,F2,以F 1F2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(1,2),则此双曲线的标准方程为( )A.-y2=1 B.x2-=1C.-y2=1 D.x2-=1答案 B2.(2018河北衡水联考,8)过双曲线-=1(a0,b0)的右焦点F(c,0)作其渐近线y=x的垂线,垂足为M,若S OMF =4(O为坐标原点),则
24、双曲线-=1(a0,b0)的标准方程为( )A.-=1 B.-=1C.-=1 D.-=1答案 C3.(2016安徽亳州二模,5)已知双曲线中心在原点且一个焦点为F(,0),直线y=x-1与该双曲线相交于M、N两点,MN中点的横坐标为-,则此双曲线的方程是( )A.-=1 B.-=1C.-=1 D.-=1答案 B4.(2017河南部分名校联考,15)在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线-=1(a0,b0)过点P(1,1),其一条渐近线的方程为y=x,则该双曲线的方程为 . 答案 2x 2-y2=1方法2 双曲线的几何性质的应用策略5.(2018广东茂名模拟,9)已知F 1,F2是双曲线-=1(a
25、0,b0)的左,右焦点,过F 1的直线l与双曲线的左,右两支分别交于点B,A,若ABF 2为等边三角形,则双曲线的离心率为( )A. B.4 C. D.答案 A6.(2017河北石家庄二模,11)已知双曲线-=1(a0,b0)的左,右焦点分别为F 1,F2,过点F 1且垂直于x轴的直线与该双曲线的左支交于A,B两点,AF 2,BF2分别交y轴于P,Q两点,若PQF 2的周长为12,则ab取得最大值时双曲线的离心率为( )A. B. C. D.答案 C7.(2017河南新乡调研,12)已知双曲线:-=1(a0,b0),过双曲线的右焦点,且倾斜角为的直线与双曲线交于A,B两点,O是坐标原点,若AO
26、B=OAB,则双曲线的离心率为( )A. B.C. D.10答案 A方法3 解决直线与双曲线位置关系问题的方法8.(2018上海崇明一模,8)直线x=2与双曲线-y2=1的渐近线交于A,B两点,设P为双曲线上任一点,若=a+b(a,bR,O为坐标原点),则下列不等式恒成立的是( )A.a2+b21 B.|ab|1C.|a+b|1 D.|a-b|2答案 C9.(2017山西大学附中模拟,11)双曲线-=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F 1、F 2,过F 2的直线与双曲线的右支交于A、B两点,若F 1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形,则e 2= ( )A.1+2 B.4-2C.5-2 D.3+2答案 C10.(2016辽宁锦州二模,9)如图,F 1、F 2是双曲线-=1(a0,b0)的左、右焦点,过F 1的直线l与双曲线的两支分别交于点A、B.若ABF 2为等边三角形,则双曲线的离心率为( )A.4 B. C. D.答案 B
