1、16.2 等差数列及其前n项和考纲解读考点 内容解读 要求 高考示例 常考题型预测热度1.等差数列的定义及通项公式1.理解等差数列的概念2.掌握等差数列的通项公式3.了解等差数列与一次函数的关系2016课标全国,17;2016浙江,8;2015北京,162.等差数列的性质 能利用等差数列的性质解决相应的问题2015陕西,13;2014重庆,2;2013辽宁,43.等差数列的前n项和公式掌握等差数列的前n项和公式 2017浙江,6;2015安徽,13;2015课标,7;2014课标,5选择题、填空题、解答题分析解读等差数列是高考考查的重点内容,主要考查等差数列的定义、性质、通项公式、前n项和公式
2、、等差中项等相关内容.本节内容在高考中分值为5分左右,属于中低档题.五年高考考点一 等差数列的定义及通项公式1.(2016浙江,8,5分)如图,点列A n,Bn分别在某锐角的两边上,且|A nAn+1|=|An+1An+2|,AnA n+2,nN *,|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|,BnB n+2,nN *.(PQ表示点P与Q不重合)若d n=|AnBn|,Sn为A nBnBn+1的面积,则( )A.Sn是等差数列 B. 是等差数列2C.dn是等差数列 D. 是等差数列22答案 A 2.(2014辽宁,9,5分)设等差数列a n的公差为d.若数列 为递减数列,则( )21A.d0 B.
3、d0 D.a1d0.设a n的前n项和为S n,a1=1,S2S3=36.(1)求d及S n;(2)求m,k(m,kN *)的值,使得a m+am+1+am+2+am+k=65.解析 (1)由题意知(2a 1+d)(3a1+3d)=36,将a 1=1代入上式解得d=2或d=-5.因为d0,所以d=2.从而a n=2n-1,Sn=n2(nN *).(2)由(1)得a m+am+1+am+2+am+k=(2m+k-1)(k+1),所以(2m+k-1)(k+1)=65.由m,kN *知2m+k-1k+11,故 2+-1=13,+1=5, 所以 =5,=4.教师用书专用(69)6.(2013安徽,7,
4、5分)设S n为等差数列a n的前n项和,S 8=4a3,a7=-2,则a 9=( )A.-6 B.-4 C.-2 D.2答案 A 7.(2014陕西,14,5分)已知f(x)= ,x0,若f 1(x)=f(x),fn+1(x)=f(fn(x),nN +,则f 2014(x)的表达式为 1+.答案 f 2014(x)=1+20148.(2013课标全国,17,12分)已知等差数列a n的前n项和S n满足S 3=0,S5=-5.(1)求a n的通项公式;(2)求数列 的前n项和.12-12+1解析 (1)设a n的公差为d,则S n=na1+ d.(-1)2由已知可得 解得a 1=1,d=-1
5、.31+3=0,51+10=-5.故a n的通项公式为a n=2-n.(2)由(1)知 = = ,12-12+1 1(3-2)(1-2)12( 12-3- 12-1)从而数列 的前n项和为12-12+14（ - + - + - ）= .12 1-1111113 12-3 12-1 1-29.(2013江西,17,12分)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1.(1)求证:a,b,c成等差数列;(2)若C= ,求 的值.23 考点二 等差数列的性质1.(2014重庆,2,5分)在等差数列a n中,a 1=2,a3+a5=10,则a
6、7=( )A.5 B.8 C.10 D.14答案 B 2.(2013辽宁,4,5分)下面是关于公差d0的等差数列a n的四个命题:p1:数列a n是递增数列; p2:数列na n是递增数列;p3:数列 是递增数列; p4:数列a n+3nd是递增数列.其中的真命题为( )A.p1,p2 B.p3,p4C.p2,p3 D.p1,p4答案 D 3.(2015陕西,13,5分)中位数为1010的一组数构成等差数列,其末项为2015,则该数列的首项为 .答案 5考点三 等差数列的前n项和公式1.(2017浙江,6,5分)已知等差数列a n的公差为d,前n项和为S n,则“d0”是“S 4+S62S5”
7、的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件答案 C 2.(2015课标,7,5分)已知a n是公差为1的等差数列,S n为a n的前n项和.若S 8=4S4,则a 10=( )A. B. C.10 D.12172 192答案 B 3.(2014课标,5,5分)等差数列a n的公差为2,若a 2,a4,a8成等比数列,则a n的前n项和S n=( )5A.n(n+1) B.n(n-1)C. D.(+1)2 (-1)2答案 A 4.(2015安徽,13,5分)已知数列a n中,a 1=1,an=an-1+ (n2),则数列a n的前9项和等于 .12答
8、案 275.(2015福建,17,12分)等差数列a n中,a 2=4,a4+a7=15.(1)求数列a n的通项公式;(2)设b n= +n,求b 1+b2+b3+b10的值.2-2解析 (1)设等差数列a n的公差为d.由已知得 1+=4,(1+3)+(1+6)=15,解得 1=3,=1.所以a n=a1+(n-1)d=n+2.(2)由(1)可得b n=2n+n.所以b 1+b2+b3+b10=(2+1)+(22+2)+(23+3)+(210+10)=(2+22+23+210)+(1+2+3+10)= +2(1-210)1-2 (1+10)102=(211-2)+55=211+53=210
9、1.教师用书专用(69)6.(2014天津,5,5分)设a n是首项为a 1,公差为-1的等差数列,S n为其前n项和.若S 1,S2,S4成等比数列,则a 1=( )A.2 B.-2 C. D.-12 12答案 D 7.(2014江西,13,5分)在等差数列a n中,a 1=7,公差为d,前n项和为S n,当且仅当n=8时S n取得最大值,则d的取值范围为 .答案 (-1,-78)8.(2014重庆,16,13分)已知a n是首项为1,公差为2的等差数列,S n表示a n的前n项和.6(1)求a n及S n;(2)设b n是首项为2的等比数列,公比q满足q 2-(a4+1)q+S4=0.求b
10、 n的通项公式及其前n项和T n.解析 (1)因为a n是首项a 1=1,公差d=2的等差数列,所以a n=a1+(n-1)d=2n-1.故S n=1+3+(2n-1)= = =n2.(1+)2 (1+2-1)2(2)由(1)得a 4=7,S4=16.因为q 2-(a4+1)q+S4=0,即q 2-8q+16=0,所以(q-4) 2=0,从而q=4.又因为b 1=2,bn是公比q=4的等比数列,所以b n=b1qn-1=24n-1=22n-1.从而b n的前n项和T n= = (4n-1).1(1-)1- 239.(2013浙江,19,14分)在公差为d的等差数列a n中,已知a 1=10,且
11、a 1,2a2+2,5a3成等比数列.(1)求d,a n;(2)若d0,Sn为其前n项和,则数列S n的最大项为( )A.S23 B.S24 C.S25 D.S26答案 C 10.(2017湖南长沙长郡中学模拟,8)已知数列a n为等差数列,S n为前n项和,公差为d,若 -20172017=100,则d的值为( )1717A. B. C.10 D.20120 110答案 B 11.(2017广东湛江一模,12)若等差数列a n的前n项和S n有最大值,且 0且 = ,则当S n取最大值时,n的值为( 65911)A.9 B.10 C.11 D.12答案 B 13.(2018四川德阳一模,7)
12、我国古代数学名著张邱建算经中有“分钱问题”:今有与人钱,初一人与三钱,次一人与四钱,次一人与五钱,以次与之,转多一钱,与讫,还敛聚与均分之,人得一百钱,问人几何?意思是:将钱分给若干人,第一人给3钱,第二人给4钱,第三人给5钱,以此类推,每人比前一人多给1钱,分完后,再把钱收回平均分给各人,结果每人分得100钱,问有多少人?则题中的人数是 .9答案 19514.(2017福建龙岩五校期中,14)递增数列a n满足2a n=an-1+an+1(nN *,n1),其前n项和为S n,a2+a8=6,a4a6=8,则S 10= .答案 3515.(2018广东惠州一调,17)已知等差数列a n的公差
13、不为0,前n项和为S n(nN *),S5=25,且S 1,S2,S4成等比数列.(1)求a n与S n;(2)设b n= ,求证:b 1+b2+b3+bn0,且a 2013(a2012+a2013)0成立的最大正整数n是( )A.4027 B.4026 C.4025 D.4024答案 D 2.(2018辽宁铁东一模,4)设a n是首项为a 1,公差为-2的等差数列,S n为其前n项和,若S 1,S2,S4成等比数列,则a 1=( )A.2 B.-2 C.1 D.-110答案 D 3.(2018海南海口一中月考,3)等差数列a n中,a 4=6,前11项和S 11=110,则a 8=( )A.
14、10 B.12 C.14 D.16答案 C 4.(2017辽宁六校协作体期中,8)已知等差数列a n,bn的前n项和分别为S n,Tn,若对于任意的正整数n,都有= ,则 + =( )2-34-1 3+152(3+9) 32+10A. B. C. D.1943 1740 920 2750答案 A 5.(2016湖南岳阳平江一中期中,12)如果数列a n满足a 1=2,a2=1,且 = (n2),则这个数列的第-1-1-+1+110项等于( )A. B. C. D.1210129 15 110答案 C 二、解答题(每小题15分,共30分)6.(2017河南安阳调研,18)数列a n和b n都是首
15、项为1的等差数列,设S n是数列a n的前n项和,且S n= .2(1)求数列a n和b n的通项公式;(2)求数列 的前n项和A n.2+1解析 (1)设a n的公差为d 1,bn的公差为d 2,由题意得 1+2=22,1+2+3=23,即 解得1+1+1=(1+2)2,1+1+1+1+21=(1+22)2, 1=2,2=1.所以a n=2n-1,bn=n.(2)因为 = = - ,2+1 2(2-1)(2+1) 12-1 12+1所以A n=1- + - + - =1- = .131315 12-1 12+1 12+1 22+17.(2017广东广州一模,17)等差数列a n中,a 3+a
16、4=12,S7=49.11(1)求数列a n的通项公式;(2)记x表示不超过x的最大整数,如0.9=0,2.6=2.令b n=lgan,求数列b n的前2000项和.解析 (1)由a 3+a4=12,S7=49,得 21+5=12,71+21=49.解得a 1=1,d=2,所以a n=2n-1.(2)bn=lgan=lg(2n-1),当1n5时,b n=lg(2n-1)=0;当6n50时,b n=lg(2n-1)=1;当51n500时,b n=lg(2n-1)=2;当501n2000时,b n=lg(2n-1)=3.所以数列b n的前2000项和为05+145+2450+31500=5445.
17、C组 20162018年模拟方法题组方法1 等差数列的基本运算技巧1.(2018福建福安一中月考,3)设等差数列a n的前n项和为S n,若a 3=7-a2,则S 4的值为( )A.15 B.14 C.13 D.12答案 B 2.(2018陕西咸阳12月模拟,7)张丘建算经卷上一题大意为今有女善织,日益功疾,且从第二天起,每天比前一天多织相同量的布,现在一月(按30天计)共织布390尺,最后一天织布21尺,则该女第一天共织多少布?( )A.3尺 B.4尺 C.5尺 D.6尺答案 C 3.(2017湖北华师一附中12月模拟,7)设S n为等差数列a n的前n项和,若a 1=1,公差d=2,S k
18、+2-Sk=28,则k=( ) A.8 B.7 C.6 D.5答案 C 4.(2017安徽淮南一模,15)已知数列a n满足递推关系式a n+1=2an+2n-1(nN *),且 为等差数列,则的值是 .+2答案 -15.(2016福建厦门一中期中,14)已知等差数列a n中,a 3= ,则cos(a 1+a2+a6)= .3答案 -1126.(2018河南开封定位考试,17)已知数列a n满足a 1= ,且a n+1= .12 22+(1)求证:数列 是等差数列;1(2)若b n=anan+1,求数列b n的前n项和S n.解析 (1)证明:a n+1= , = ,22+ 1+12+2 -
19、= ,1+1112数列 是以2为首项, 为公差的等差数列.1 12(2)由(1)知a n= ,b n= =4 ,2+3 4(+3)(+4) ( 1+3- 1+4)S n=4(14-15)+(15-16)+( 1+3- 1+4)=4 = .(14- 1+4) +4方法2 等差数列性质的应用策略7.(2018安徽安庆调研,5)等差数列a n中,已知S 15=90,那么a 8=( )A.12 B.4 C.3 D.6答案 D 8.(2017广东惠州二调,7)设S n是等差数列a n的前n项和,若 = ,则 =( )65911119A.1 B.-1 C.2 D.12答案 A 方法3 等差数列前n项和的最
20、值问题的求解方法9.(2018福建福州八县联考,11)设等差数列a n的前n项和为S n,且满足S 200,S210,若S 5=S9,则当S n最大时,n=( )13A.6 B.7 C.10 D.9答案 B 11.(2016河南南阳期中,16)已知数列a n为等差数列,若 0的n的最大值为 76.答案 1112.(2017豫南九校2月联考,18)已知数列a n是等差数列,a 1=1,a2+a3+a10=144.(1)求数列a n的通项公式;(2)若b n= ,Sn是数列b n的前n项和,当n3时,S nm恒成立,求实数m的最大值.1+1解析 (1)设a n的公差为d,a 1=1,a2+a3+a10=144,9+45d=144,解得d=3.数列a n的通项公式为a n=3n-2(nN *).(2)bn= = = ,1+1 1(3-2)(3+1)13( 13-2- 13+1)S n=b1+b2+bn=13(11-14+14-17+ 13-2- 13+1)= = ,13(11- 13+1) 3+1f(x)= = - (x3)是增函数,3+113 13(3+1)S n ,即m ,310 310故实数m的最大值是 .310
