1、14.4 解三角形考纲解读考点 内容解读 要求 高考示例 常考题型 预测热度1.用正、余弦定理解三角形1.理解正弦定理与余弦定理的推导过程2.掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题2017课标全国,11;2017课标全国,16;2017课标全国,15;2016课标全国,4;2016山东,82.解三角形及其应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题2017山东,17;2016课标全国,9;2016课标全国,15选择题、填空题、解答题分析解读解三角形是高考中的热点,以正、余弦定理为载体考查解三角形问题,命题呈现出如下几点:1.能利用正、余弦定
2、理解决平面图形的计算问题,解题时要在平面图形中构造出三角形;2.解三角形时,观察图形中的几何条件,再数形结合求解;3.正、余弦定理与三角形的面积公式、两角和与差的三角公式、二倍角公式结合起来考查,注意公式间的联系,会用方程与函数的思想解决三角形的最值问题.解三角形知识常以解答题的形式出现,有时也会出现在选择题或填空题中,分值大约为5分或12分.2答案:60解析:解法一:由正弦定理得2sin Bcos B=sin Acos C+sin Ccos A,即sin 2B=sin(A+C),即sin 2B=sin(180-B),可得B=60.解法二:由余弦定理得2b =a +c ,即b =b,所以a 2
3、+c2-2+2-22 2+2-22 2+2-22 2+2-2b2=ac,所以cos B= ,又00).sin sin sin则a=ksin A,b=ksin B,c=ksin C.代入 + = 中,有cos cos sin+ = ,变形可得cossincossinsinsinsin Asin B=sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B).在ABC中,由A+B+C=,有sin(A+B)=sin(-C)=sin C,所以sin Asin B=sin C.(2)由已知,b 2+c2-a2= bc,65根据余弦定理,有cos A= = .2+2-22 35所以sin A= = .1
4、-245由(1),sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B,所以 sin B= cos B+ sin B,45 45 35故tan B= =4.sincos11.(2015山东,17,12分)ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知cos B= ,sin(A+B)= ,ac=2 ,33 69 3求sin A和c的值.解析 在ABC中,由cos B= ,得sin B= ,33 63因为A+B+C=,所以sin C=sin(A+B)= .69因为sin Cb,则B=( )12A. B. C. D.6 3 23 56答案 A 13.(2013北京,5,5分)在AB
5、C中,a=3,b=5,sin A= ,则sin B=( )13A. B. C. D.115 59 53答案 B 14.(2013湖南,5,5分)在锐角ABC中,角A,B所对的边长分别为a,b.若2asin B= b,则角A等于( )3A. B. C. D.3 4 6 12答案 A 15.(2015福建,14,4分)若ABC中,AC= ,A=45,C=75,则BC= .3答案 216.(2015安徽,12,5分)在ABC中,AB= ,A=75,B=45,则AC= .6答案 217.(2015北京,11,5分)在ABC中,a=3,b= ,A= ,则B= .623答案 4618.(2014山东,17
6、,12分)ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a=3,cos A= ,B=A+ .63 2(1)求b的值;(2)求ABC的面积.解析 (1)在ABC中,由题意知,sin A= = ,1-233因为B=A+ ,所以sin B=sin =cos A= .2 (+2) 63由正弦定理可得b= = =3 .sinsin3 6333 2(2)由B=A+ 得cos B=cos =-sin A=- .2 (+2) 33由A+B+C=,得C=-(A+B).所以sin C=sin-(A+B)=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B= + 33 (- 33) 63 63= .
7、13因此ABC的面积S= absin C= 33 = .12 12 2 1332219.(2014课标,17,12分)四边形ABCD的内角A与C互补,AB=1,BC=3,CD=DA=2.(1)求C和BD;(2)求四边形ABCD的面积.解析 (1)由题设及余弦定理得BD2=BC2+CD2-2BCCDcos C=13-12cos C,BD2=AB2+DA2-2ABDAcos A=5+4cos C.由,得cos C= ,故C=60,BD= .12 7(2)四边形ABCD的面积S= ABDAsin A+ BCCDsin C12 12= sin 60(1212+1232)7=2 .320.(2014陕西
8、,16,12分)ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.(1)若a,b,c成等差数列,证明:sin A+sin C=2sin(A+C);(2)若a,b,c成等比数列,且c=2a,求cos B的值.解析 (1)证明:a,b,c成等差数列,a+c=2b.由正弦定理得sin A+sin C=2sin B.sin B=sin-(A+C)=sin(A+C),sin A+sin C=2sin(A+C).(2)由题设有b 2=ac,c=2a,b= a,2由余弦定理得cos B= = = .2+2-22 2+42-2242 3421.(2014湖南,19,13分)如图,在平面四边形ABCD中,DAAB
9、,DE=1,EC= ,EA=2,ADC= ,BEC= .723 3(1)求sinCED的值;(2)求BE的长.解析 设CED=.(1)在CDE中,由余弦定理得EC 2=CD2+DE2-2CDDEcosEDC,得7=CD 2+1+CD,即CD 2+CD-6=0,解得CD=2(CD=-3舍去).在CDE中,由正弦定理得 = ,sinsin得sin = = = ,即sinCED= .sin232 327 217 217(2)由题设知,00,所以c=3.故ABC的面积为 bcsin A= .12 332解法二:由正弦定理,得 = ,7sin 3 2sin从而sin B= ,217又由ab,知AB,所以
10、cos B= .277故sin C=sin(A+B)=sin (+3)=sin Bcos +cos Bsin = .3 33211414所以ABC的面积为 absin C= .12 33216.(2015浙江,16,14分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知tan =2.(4+)(1)求 的值;sin2sin2+2(2)若B= ,a=3,求ABC的面积 .4解析 (1)由tan =2,得tan A= ,(4+) 13所以 = = .sin2sin2+2 2tan2tan+125(2)由tan A= ,A(0,),得13sin A= ,cos A= .1010 31010又
11、由a=3,B= 及正弦定理 = ,得b=3 .4 sin sin 5由sin C=sin(A+B)=sin 得sin C= .(+4) 255设ABC的面积为S,则S= absin C=9.1217.(2015天津,16,13分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知ABC的面积为3 ,b-c=2,cos 15A=- .14(1)求a和sin C的值;(2)求cos 的值.(2+6)解析 (1)在ABC中,由cos A=- ,可得sin A= .14 154由S ABC = bcsin A=3 ,得bc=24,结合b-c=2,12 15解得b=6,c=4.由a 2=b2+c2
12、-2bccos A,可得a=8.由 = ,得sin C= .sin sin 158(2)cos =cos 2Acos -sin 2Asin(2+6) 6 6= (2cos2A-1)- 2sin Acos A= .32 12 15-731618.(2015四川,19,12分)已知A,B,C为ABC的内角,tan A,tan B是关于x的方程x 2+ px-3p+1=0(pR)的两个实根.15(1)求C的大小;(2)若AB=3,AC= ,求p的值.6解析 (1)由已知得,方程x 2+ px-p+1=0的判别式=( p)2-4(-p+1)=3p2+4p-40.3 3所以p-2,或p .23由韦达定理
13、,有tan A+tan B=- p,tan Atan B=1-p.3于是1-tan Atan B=1-(1-p)=p0,从而tan(A+B)= =- =- .tan+tan1-tantan 3 3所以tan C=-tan(A+B)= ,3所以C=60.(2)由正弦定理,得sin B= = = ,sin 6sin603 22解得B=45,或B=135(舍去).于是A=180-B-C=75.则tan A=tan 75=tan(45+30)=tan45+tan301-tan45tan30= =2+ .1+ 331- 33 3所以p=- (tan A+tan B)=- (2+ +1)=-1- .13
14、13 3 319.(2014辽宁,17,12分)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且ac.已知 =2,cos B= ,b=3.求:13(1)a和c的值;(2)cos(B-C)的值.解析 (1)由 =2得cacos B=2.又cos B= ,所以ac=6.13由余弦定理,得a 2+c2=b2+2accos B.又b=3,所以a 2+c2=9+22=13.解 得a=2,c=3或a=3,c=2.=6,2+2=13因为ac,所以a=3,c=2.(2)在ABC中,sin B= = = .1-21-(13)222316由正弦定理,得sin C= sin B= = . 23 223 429因
15、为a=bc,所以C为锐角,因此cos C= = = .1-21-(429)279于是cos(B-C)=cos Bcos C+sin Bsin C= + = .13 79223 429 232720.(2014大纲全国,18,12分)ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知3acos C=2ccos A,tan A= ,求B.13解析 由题设和正弦定理得3sin Acos C=2sin Ccos A.故3tan Acos C=2sin C,因为tan A= ,所以cos C=2sin C,tan C= .13 12所以tan B=tan180-(A+C)=-tan(A+C)= =-1,
16、tan+tantantan-1所以B=135.21.(2014安徽,16,12分)设ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,且b=3,c=1,ABC的面积为 ,求cos 2A与a的值.解析 由三角形面积公式,得 31sin A= ,12 2故sin A= .223因为sin 2A+cos2A=1,所以cos A= = = .1-21-89 13当cos A= 时,由余弦定理得13a2=b2+c2-2bccos A=32+12-213 =8,13所以a=2 .2当cos A=- 时,由余弦定理得13a2=b2+c2-2bccos A=32+12-213 =12,(-13)所以a=2 .
17、322.(2014重庆,18,13分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a+b+c=8.(1)若a=2,b= ,求cos C的值;5217(2)若sin Acos 2 +sin Bcos2 =2sin C,且ABC的面积S= sin C,求a和b的值.2 2 92解析 (1)由题意可知c=8-(a+b)= .72由余弦定理得cos C= = =- .2+2-2222+(52)2-(72)22252 15(2)由sin Acos 2 +sin Bcos2 =2sin C可得2 2sin A +sin B =2sin C,1+cos2 1+cos2化简得sin A+sin Ac
18、os B+sin B+sin Bcos A=4sin C.因为sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B)=sin C,所以sin A+sin B=3sin C.由正弦定理可知a+b=3c.又因为a+b+c=8,所以a+b=6.由于S= absin C= sin C,所以ab=9,从而a 2-6a+9=0,12 92解得a=3,b=3.23.(2013重庆,18,13分)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a 2=b2+c2+ bc.3(1)求A;(2)设a= ,S为ABC的面积,求S+3cos Bcos C的最大值,并指出此时B的值.3解析 (1)由余弦定理得
19、cos A= = =- .2+2-22 - 32 32又因0b,则AB,故B= .4根据余弦定理,有(4 )2=52+c2-25c ,2 (-35)解得c=1或c=-7(负值舍去).故向量 在 方向上的投影为| |cos B= .(12分) 22三年模拟A组 20162018年模拟基础题组考点一 用正、余弦定理解三角形1.(2018河南中原名校第三次联考,7)ABC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c,若B=2A,a=1,b= ,则c=( 3)A.1 B. C.2 D.22 3答案 C 2.(2017湖北黄冈3月质检,6)在ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a= b,A=2B,
20、则cos B=( )52A. B. C. D.53 54 55 56答案 B 193.(2017福建厦门12月联考,6)在锐角ABC中,a,b,c分别为A、B、C的对边,若向量m=(a-b,1)和n=(c-b,1)平行,且sin B= ,当ABC的面积为 时,b=( )45 32A. B. C.4 D.2+31+ 32 3答案 A 考点二 解三角形及其应用4.(2018江西师大附中10月模拟,7)已知ABC中,满足b=2,B=60的三角形有两解,则边长a的取值范围是( )A. 0,c0,3ac ,(3+2 )2(3a+c) 2-4 (3a+c)2,即(3a+c) 216,34当且仅当3a=c,
21、即a= ,c=2时取等号,23所以3a+c的最大值为4.(10分)又在ABD中,3a+c2,(11分)故3a+c的取值范围是(2,4.(12分)9.(2018河北石家庄摸底考试,17)某学校的平面示意图如图中的五边形区域ABCDE,其中三角形区域ABE为生活区,四边形区域BCDE为教学区,AB,BC,CD,DE,EA,BE为学校的主要道路(不考虑宽度).BCD=CDE= ,BAE=23 3,DE=3BC=3CD= km.910(1)求道路BE的长度;(2)求生活区ABE的面积的最大值.解析 (1)如图,连接BD,在BCD中,BD 2=BC2+CD2-2BCCDcosBCD= ,BD= km.2
22、7100 331023BC=CD,BCD= ,23CBD=CDB= = ,-232 6又CDE= ,BDE= .23 2在RtBDE中,BE= = = (km).2+2 (3310)2+(910)2335故道路BE的长度为 km.(6分)335(2)设ABE=,BAE= ,AEB= -.3 23在ABE中, = = = = ,sinsinsin335sin 365AB= sin km,AE= sin km.(8分)65 (23-) 65S ABE = ABAEsin = sin sin = km2,01,故这样的ABC不存在.3 3624.(2017河北唐山一模,17)已知ABC的内角A,B,
23、C的对边分别为a,b,c,a 2-ab-2b2=0.(1)若B= ,求A,C;6(2)若C= ,c=14,求S ABC .23解析 (1)由已知B= ,a2-ab-2b2=0结合正弦定理化简整理得 2sin2A-sin A-1=0,于是sin A=1或sin A=- (舍).6 12因为00,所以a-2b=0,即a=2b,联立解得b=2 ,a=4 .7 7所以S ABC = absin C=14 .12 3方法2 三角形形状的判断方法5.(2018湖南师大附中12月月考,6)在ABC中,若 = ,则ABC的形状是( )coscos1+cos21+cos2A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直
24、角三角形 D.等腰三角形或直角三角形答案 D 6.(2017湖北荆州中学12月模拟,9)a,b,c为ABC三边长,a1,bc,若log (c+b)a+log(c-b)a=2log(c+b)alog(c-26b)a,则ABC的形状为( )A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.无法确定答案 B 7.(2016江西丰城中学月考,10)在ABC中,已知2acos B=c,sin Asin B(2-cos C)=sin2 + ,则ABC为( 212)A.等边三角形 B.钝角三角形C.锐角非等边三角形 D.等腰直角三角形答案 D 方法3 解三角形应用题的方法8.(2017湖北七校联考,16)三
25、国魏人刘徽自撰海岛算经,专论测高望远.其中有一题:今有望海岛,立两表齐,高三丈,前后相去千步,令后表与前表相直.从前表却行一百二十三步,人目著地取望岛峰,与表末参合.从后表却行一百二十七步,人目著地取望岛峰,亦与表末参合.问岛高及去表各几何?译文如下:要测量海岛上一座山峰A的高度AH,立两根高均为3丈的标杆BC和DE,前后标杆相距1 000步,使后标杆杆脚D与前标杆杆脚B与山峰脚H在同一直线上,从前标杆杆脚B退行123步到F,人眼著地观测到岛峰,A、C、F三点共线,从后标杆杆脚D退行127步到G,人眼著地观测到岛峰,A、E、G三点也共线,则岛峰的高度AH= 步.(古制:1步=6尺,1里=180
26、丈=1 800尺=300步) 答案 1 2559.(2016吉林五校第一次联考,14)2015年8月6日凌晨,马来西亚总理纳吉布在吉隆坡确认,7月29日在法属留尼汪岛发现的飞机残骸来自515天前失联的马航MH370.若一架侦察机以500米/秒的速度在留尼汪岛上空平行于地面匀速飞行时,发现飞机残骸在侦察机前方且俯角为30的地面上,半分钟后,侦察机发现飞机残骸仍在其前方且俯角为75的地面上,则侦察机的飞行高度是 米.(保留根号)答案 3 750( +1)310.(2018河南商丘九校12月联考,20)如图所示,某公路AB一侧有一块空地OAB,其中OA=3 km,OB=3 3km,AOB=90,当地
27、政府拟在中间开挖一个人工湖OMN,其中M,N都在边AB上(M,N不与A,B重合,M在A,N之间),且MON=30.(1)若M在距离A点2 km处,求点M,N之间的距离;(2)为节省投入资金,人工湖OMN的面积要尽可能小,试确定M的位置,使OMN的面积最小,并求出最小面积.解析 (1)在OAB中,因为OA=3,OB=3 ,AOB=90,所以OAB=60.327在OAM中,由已知及余弦定理得OM 2=AO2+AM2-2AOAMcos A=7,所以OM= ,所以cosAOM= = ,72+2-22 277在OAN中,sinONA=sin(A+AON)=sin(AOM+90)=cosAOM= .277
28、在OMN中,由 = 得MN= = .sin30 sin7277 1274故点M,N之间的距离为 km.74(2)设AOM=,0 .3在OAM中,由 = 得OM= .sinsin332sin(+3)在OAN中,由 = 得ON= = .sinsin332sin(+2) 332cos所以S OMN = OMONsinMON12= 12332sin(+3) 332cos 12= =2716sin(+3)cos 278sincos+832=274sin2+43cos2+43= ,278sin(2+3)+43因为0 ,所以2+ ,3 3 (3,)所以当2+ = ,即= 时,S OMN 取最小值 .32 12 27(2- 3)4所以应设计AOM= ,可使OMN的面积最小,12最小面积是 km2.27(2- 3)4
