1、1第一讲 三角函数的图象与性质考点一 三角函数的定义、诱导公式及基本关系1三角函数的定义若角 的终边过点 P(x，y)，则 sin ， cos ， tan (其中yr xr yxr )x2 y22诱导公式(1)sin(2k ) sin(kZ)，cos(2 k )cos (kZ)，tan(2 k )tan (kZ)(2)sin( )sin ，cos( )cos ，tan( )tan .(3)sin( )sin ，cos( )cos ，tan( )tan .(4)sin( )sin ，cos( )cos ，tan( )tan .(5)sin cos ，cos sin ，( 2 ) ( 2 )sin
2、 cos ，cos sin .( 2 ) ( 2 )3基本关系sin2xcos 2x1，tan x .sinxcosx对点训练1(2018山东寿光一模)若角 的终边过点 A(2,1)，则sin ( )(32 )A B C. D.255 55 55 255解析 根据三角函数的定义可知 cos ，则 sin cos 25 255 (32 )，故选 A.255答案 A22已知 sin ，则 cos ( )(56 x) 15 (x 3)A B. C. D15 15 25 25解析 cos cos(x 3) ( 3 x)sin sin 2 ( 3 x) ( 6 x)sin sin .( 6 x) ( 5
3、6 x) 15答案 A3已知 P(sin40，cos140)为锐角 终边上的点，则 ( )A40 B50 C70 D80解析 P(sin40，cos140)为角 终边上的点，因而 tan cos140sin40 tan50，又 为锐角，则 50，故选 B. cos90 50sin90 50 sin50cos50答案 B4(2018福建泉州质检)已知 为第四象限角，sin 3cos 1，则tan _.解析 由(sin 3cos )21sin 2 cos 2 ，得 6sin cos 8cos 2 ，又因为 为第四象限角，所以 cos 0，所以 6sin 8cos ，所以 tan .43答案 43快
4、速审题 (1)看到终边上点的坐标，想到三角函数的定义(2)看到三角函数求值，想到诱导公式及切弦互化诱导公式及三角函数关系式的应用策略(1)已知角求值问题，关键是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解转化过程中注意口诀“奇变偶不变，符号看象限”的应用(2)对给定的式子进行化简或求值时，要注意给定的角之间存在的特定关系，充分利用给定的式子，结合诱导公式将角进行转化考点二 三角函数的图象与解析式1 “五点法”作函数 y Asin(x )的图象3设 z x ，令 z0， ， ，2，求出 x 的值与相应的 y 的值，描点、连线 2 32可得2两种图象变换4解析 (1) f(x)cos
5、 sin sin ，只需将(2x 3) (2x 3 2) 2(x 6) 4函数 g(x)sin 的图象向左平移 个单位长度即可得到 f(x)的图象故选 C.(2x 3) 4(2)由 ，得 T，T4 1112 23 4又知 T ， 2， f(x)2sin(2 x )2又知 f 2，2sin 2，(1112 ) (116 )即 sin 1. 2 k ( kZ)(116 ) 116 32 2 k (kZ)，又 0， 0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求 A；由函数的周期确定 ；确定 常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找
6、准第一个零点的位置(2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换，变换只是相对于其中的自变量 x 而言的，如果 x 的系数不是 1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向对点训练1原创题将函数 f(x)sin( x ) 图象上每一点的( 0， 2 0，所以Error!又12 (x 3) (12 x 6 ) 0， 0， | |0， 0)的单调区间，是将 x 作为一个整体代入正弦函数增区间(或减区间)，求出的区间即为 y Asin(x )的增区间(或减区间)，但是当 A0， 0， 0)在某一区间的最值时，将 x 视为整体，借助正弦函数的图象和性质求解对点训练1角度 1(2018
7、内蒙古赤峰二中三模)已知函数 f(x)2sin 1，则下列(2x 6)结论中错误的是( )A f(x)的最小正周期为 B f(x)的图象关于直线 x 对称 3C f(x)在区间 上是增函数0， 4D函数 f(x)的图象可由 g(x)2sin2 x1 的图象向右平移 个单位长度得到 6解析 对于函数 f(x)2sin 1，由于它的最小正周期为 ，故 A 项正确；(2x 6)当 x 时， f(x)2sin 11，函数取得最大值，故 f(x)的图象关于直线 x 3 (2x 6)对称，故 B 项正确；当 x 在区间 上时，2 x ，故 f(x)在区间 3 0， 4 6 6， 3上是增函数，故 C 项正
8、确；由于把 g(x)2sin2 x1 的图象向右平移 个单位长度0， 4 6得到 y2sin2 12sin 1 的图象，故 D 项错误故选 D.(x 6) (2x 3)答案 D2角度 2(2018河南濮阳一模)先将函数 f(x)sin x 的图象上的各点向左平移个单位，再将各点的横坐标变为原来的 (其中 N *)，得到函数 g(x)的图象，若 g(x)在 6 110区间 上单调递增，则 的最大值为_ 6， 4解析 由题意易知 g(x)sin 在区间 上单调递增，所以有( x 6) 6， 4Error!kZ，即 12k4 8 k ， kZ.43由 12k48 k 可得 k ，当 k1 时， ，所
9、以正整数 的最大值为 9.43 43 8， 283答案 91(2018天津卷)将函数 ysin 的图象向右平移 个单位长度，所得图象(2x 5) 10对应的函数( )A在区间 上单调递增34， 54B在区间 上单调递减34， C在区间 上单调递增54， 32D在区间 上单调递减32， 2 解析 将 ysin 的图象向右平移 个单位长度，所得图象对应的函数为(2x 5) 10ysin sin2 x，令 2k 2 x2 k (kZ)，得2(x10) 5 2 2k x k (kZ)所以 ysin2 x 的递增区间为 (kZ)， 4 4 k 4， k 4当 k1 时， ysin2 x 在 上单调递增，
10、故选 A.34， 54答案 A2(2018全国卷)若 f(x)cos xsin x 在 a， a是减函数，则 a 的最大值是( )A. B. C. D 4 2 34解析 f(x)cos xsin x cos ，2 (x 4)由题意得 a0，故 a f()，则 f(x)的单调递增区间是( )|f( 6)| ( 2)A. (kZ)k 3， k 6B. (kZ)k ， k 2C. (kZ)k 6， k 23D. (kZ)k 2， k 解析 因为 f(x) 对 xR 恒成立，即 1，所以|f( 6)| |f( 6)| |sin( 3 )| k (kZ)因为 f f()，所以 sin( )sin(2 )
11、，即 sin 0)在(0，)上有且3只有两个零点，则实数 的取值范围为( )A. B.(0，43 (43， 73C. D.(73， 103 (103， 133解析 f(x)2sin ，设 t x ，因为 00， 0， 00， | |0， | |0， xR， m 是常数)图象上的一个最高3点为 ，且与点 距离最近的一个最低点是 ，则函数 f(x)的解析式( 3， 1) ( 3， 1) ( 6， 3)为_解析 f(x) sinx cos x m2sin m，3 ( x 6)因为点 和点 分别是函数 f(x)图象上的最高点和最低点，且它们是相( 3， 1) ( 6， 3)邻的，所以 ，且 m ，所以
12、 2， m1.所以函数 f(x)的T2 22 3 ( 6) 2 1 32解析式为 f(x)2sin 1.(2x 6)答案 f(x)2sin 1(2x 6)三、解答题10(2018北京西城二模)已知函数 f(x)tan .(x 4)(1)求函数 f(x)的定义域；(2)设 (0，)，且 f( )2cos ，求 的值( 4)18解 (1)由 x k ， kZ，得 x k ， kZ. 4 2 4所以函数 f(x)的定义域是 .xx k 4， k Z(2)依题意，得 tan 2cos .( 4) ( 4)所以 2sin .sin( 4)cos( 4) ( 4)整理得 sin 0，( 4) 2cos(
13、4) 1所以 sin 0 或 cos .( 4) ( 4) 12因为 (0，)，所以 . 4 ( 4， 54)由 sin 0，得 ，即 ；( 4) 4 34由 cos ，即 ，即 .( 4) 12 4 3 12所以 或 .12 3411(2018云南曲靖一中模拟)已知函数 f(x)2cos xsin sin2xsin xcosx.(x 3) 3(1)求函数 f(x)的最小正周期(2)若 f(x) m0 在 恰有一实数根，求 m 的取值范围0，23解 (1)函数 f(x)2cos xsin sin2xsin xcosx2cos x(x 3) 3 sin2xsin xcosx2cos x sin2
14、xsin xc(sinxcos 3 cosxsin 3) 3 (12sinx 32cosx) 3osx2sin xcosx cos2x sin2xsin2 x cos2x 2sin .3 3 3 (2x 3)故函数 f(x)的最小正周期为 .22(2)在 x 时， f(x)2sin 的图象如下0，23 (2x 3)19 f(0)2sin ， f 2sin 0，( 3) 3 (23) (43 3)当方程 f(x) m0 在 恰有一实数根时， m 的取值范围为 ，0)20，23 312原创题已知函数 f(x)sin(2 x)sin cos2x .(32 x) 3 3(1)求 f(x)的最小正周期和
15、图象的对称轴方程；(2)当 x 时，求 f(x)的最小值和最大值0，712解 (1)由题意，得 f(x)(sin x)(cos x) cos2x sin xcosx cos2x3 3 3 sin2x (cos2x1) sin2x cos2x sin ，312 32 3 12 32 32 (2x 3) 32所以 f(x)的最小正周期 T ；22令 2x k (kZ)，则 x (kZ)， 3 2 k2 512故所求图象的对称轴方程为 x (kZ)k2 512(2)当 0 x 时， 2 x .712 3 3 56由函数图象(图略)可知， sin 1，即 0sin .32 (2x 3) (2x 3) 32 2 32故 f(x)的最小值为 0，最大值为 .2 32
