1、1第一讲 直线与圆年份 卷别 考查角度及命题位置 命题分析及学科素养卷直线与抛物线位置关系及圆的方程求法T 192018卷 直线与圆的位置关系及面积问题T 6卷圆的性质、点到直线的距离、双曲线的几何性质T 15卷圆的弦长问题、双曲线的几何性质T9直线与圆的位置关系、点到直线的距离、椭圆的离心率T 102017卷直线与圆的方程、直线与抛物线的位置关系 T 20卷 圆的方程、点到直线的距离应用T 42016 卷 直线与圆的位置关系T16命题分析(1)近两年圆的方程成为高考全国课标卷命题的热点，需重点关注此类试题难度中等偏下，多以选择题或填空题形式考查(2)直线与圆的方程偶尔单独命题，单独命题时有一
2、定的深度，有时也会出现在压轴题的位置，难度较大，对直线与圆的方程(特别是直线)的考查主要体现在圆锥曲线的综合问题上学科素养通过考查直线与圆的位置关系，着重考查学生数学建模、逻辑推理及数学运算的核心素养.直线方程与应用授课提示：对应学生用书第46页2悟通方法结论1两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线 l1， l2的斜率 k1， k2存在，则 l1 l2k1 k2， l1 l2k1k21.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在2求直线方程要注意几种直线方程的局限性点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与 x轴垂直而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线3两个距
3、离公式(1)两平行直线 l1： Ax By C10， l2： Ax By C20间的距离 d .|C1 C2|A2 B2(2)点( x0， y0)到直线 l： Ax By C0的距离公式d .|Ax0 By0 C|A2 B24与已知直线 l： Ax By C0( A0， B0)平行的直线可改为 Ax By m0( m C)，垂直的直线可设为 Bx Ay m0.5直线 l1： A1x B1y C10，直线 l2： A2x B2y C20，当 l1 l2时，有 A1A2 B1B20，当 l1 l2时， A1B2 A2B10且 A1C2 A2C10.全练快速解答1(2018洛阳一模)已知直线 l1：
4、 x my10， l2： nx y p0，则“ m n0”是“ l1 l2”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：若 m n0，当 m n0时，直线 l1： x10与直线 l2： y p0互相垂直；当 m n0时，直线 l1的斜率为 ，直线 l2的斜率为 n， ( n) m11m 1m 1m， l1 l2.当 l1 l2时，若 m0， l1： x10，则 n0，此时 m n0；若 m0，则1m( n)1，即 n m，有 m n0.故选C.答案：C2已知直线 l1： x2 ay10， l2：( a1) x ay0，若 l1 l2，则实数 a的值为( 3)A
5、 B032C 或0 D232解析：若 a0，则由 l1 l2，得 ，所以2 a21，即 a ；a 11 a2a 32若 a0，则 l1： x10， l2： x0，互相平行答案：C3若直线 l1： x ay60与 l2：( a2) x3 y2 a0平行，则 l1与 l2间的距离为( )A. B.2823C. D.3833解析：由 l1 l2，得( a2) a13，且 a2a36，解得 a1，所以 l1： x y60， l2： x y 0，所以 l1与 l2间的距离为d .23 |623|12 12 823答案：B4过直线 l1： x2 y30与直线 l2：2 x3 y80的交点，且到点 P(0,
6、4)距离为2的直线方程为_解析：由Error!得Error! l1与 l2的交点为(1,2)当所求直线斜率不存在，即直线方程为 x1时，显然不满足题意当所求直线斜率存在时，设所求直线方程为 y2 k(x1)，即 kx y2 k0，点 P(0,4)到直线的距离为2，2 ， k0或 k .| 2 k|1 k2 43直线方程为 y2或4 x3 y20.答案： y2或4 x3 y201求直线方程时易忽视斜率 k不存在情形2利用斜率与截距判断两线平行或垂直关系时易忽视斜率不存在情形3有关截距问题易忽视截距为零这一情形4圆的方程及应用授课提示：对应学生用书第47页悟通方法结论1圆的标准方程当圆心为( a，
7、 b)，半径为 r时，其标准方程为( x a)2( y b)2 r2，特别地，当圆心在原点时，方程为 x2 y2 r2.2圆的一般方程x2 y2 Dx Ey F0，其中 D2 E24 F0，表示以 为圆心、 为(D2， E2) D2 E2 4F2半径的圆全练快速解答1已知圆 C的圆心是直线 x y10与 x轴的交点，且圆 C与直线 x y30相切，则圆 C的方程是( )A( x1) 2 y22 B( x1) 2 y28C( x1) 2 y22 D( x1) 2 y28解析：直线 x y10与 x轴的交点坐标为(1,0)，因为圆 C与直线 x y30相切，所以半径为圆心到切线的距离，即 r d
8、，则圆 C的方程为( x1) 2 y2| 1 0 3|12 12 22，故选A.答案：A2(2018长沙模拟)与圆( x2) 2 y24关于直线 y x对称的圆的方程是( )33A( x )2( y1) 24 B( x )2( y )243 2 2C x2( y2) 24 D( x1) 2( y )243解析：圆与圆关于直线对称，则圆的半径相同，只需圆心关于直线对称即可由题意知已知圆的圆心坐标为(2,0)，半径为2，设所求圆的圆心坐标为( a， b)，则Error!解得Error!所以所求圆的圆心坐标为(1， )，半径为2.3从而所求圆的方程为( x1) 2( y )24.3答案：D53(20
9、18广州模拟)若一个圆的圆心是抛物线 x24 y的焦点，且该圆与直线 y x3相切，则该圆的标准方程是_解析：抛物线 x24 y的焦点为(0,1)，即圆心为(0,1)，设该圆的标准方程是 x2( y1) 2 r2(r0)，因为该圆与直线 y x3相切，所以 r ，| 1 3|2 2故该圆的标准方程是 x2( y1) 22.答案： x2( y1) 22用待定系数法求圆的方程的一般步骤(1)选用圆的方程两种形式中的一种，若知圆上三个点的坐标，通常选用一般方程；若给出圆心的特殊位置或圆心与两坐标轴间的关系，通常选用标准方程；(2)根据所给条件，列出关于 D， E， F或 a， b， r的方程组；(3
10、)解方程组，求出 D， E， F或 a， b， r的值，并把它们代入所设的方程中，得到所求圆的方程直线与圆的位置关系授课提示：对应学生用书第47页悟通方法结论1直线和圆的位置关系的判断方法直线 l： Ax By C0( A2 B20)与圆：( x a)2( y b)2 r2(r0)的位置关系如表.方法位 置关 系几何法：根据 d与 r的大|Aa Bb C|A2 B2小关系代数法：Error!消元得一元二次方程，根据判别式 的符号判断6相交 d r 0相切 d r 0相离 d r 02.弦长与切线长的计算方法(1)弦长的计算：直线 l与圆 C相交于 A， B两点，则| AB|2 (其中 d为弦心
11、距)r2 d2(2)切线长的计算：过点 P向圆引切线 PA，则| PA| (其中 C为圆心)|PC|2 r2(2017高考全国卷)(12分)已知抛物线 C： y22 x，为直径的圆(1)证明：坐标原点 O在圆 M上；(2)设圆 M过点 P(4，2)，学审题条件信息 想到方法 注意什么信息中过定点的直线 l直线 l的方程的设法数形结合分析，灵活设 l： x my2.注意斜率是否存在信息中 AB为直径抓住圆的几何性质坐标化条件 OA OBx1x2 y1y20信息中求圆的方程确定圆心与半径是求圆方程关键设出圆心坐标，注意多解.规范解答 (1)证明：设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， l：
12、 x my2. (1分)由Error! 可得 y22 my40，则 y1y24.又 x1 ， x2 ，故 x1x2 4. y212 y22 y1y224(3分)因此 OA的斜率与 OB的斜率之积为 1，y1x1 y2x2 44所以 OA OB.故坐标原点 O在圆 M上 (5分)(2)由(1)可得 y1 y22 m，x1 x2 m(y1 y2)42 m24，故圆心 M的坐标为( m22， m)，圆 M的半径 r . (8分)m2 22 m2由于圆 M过点 P(4，2)，因此 0，AP BP 7故( x14)( x24)( y12)( y22)0，即 x1x24( x1 x2) y1y22( y1
13、 y2)200.由(1)知 y1y24， x1x24，所以2 m2 m10，解得 m1或 m . (10分)12当 m1时，直线 l的方程为 x y20，圆心 M的坐标为(3,1)，圆 M的半径为 ，10圆 M的方程为( x3) 2( y1) 210.当 m 时，直线 l的方程为2 x y40，圆心 M的坐标为 ，圆 M的半径为12 (94， 12)，854圆 M的方程为 2 2 .(x94) (y 12) 8516(12分)1圆上的点到直线的距离的化归思想(1)转化为两平行线间的距离以及直线与圆的交点个数求解(2)转化为圆心到直线的距离与半径之间的关系求解(3)直接设点，利用方程思想解决2数
14、形结合思想在求解与圆有关的最值问题中是关键点练通即学即用1(2018银川九中五模)直线 l： kx y40( kR)是圆 C： x2 y24 x4 y60的一条对称轴，过点 A(0， k)作斜率为1的直线 m，则直线 m被圆 C所截得的弦长为( )A. B.22 2C. D26 6解析：圆 C： x2 y24 x4 y60，即( x2) 2( y2) 22，表示以 C(2,2)为圆心， 为半径的圆由题意可得，直线 l： kx y40经过圆心 C(2,2)，所以2 k2420，解得 k3，所以点 A(0,3)，故直线 m的方程为 y x3，即 x y30，则圆心 C到直线 m的距离d ，所以直线
15、 m被圆 C所截得的弦长为2 .故选C.| 2 2 3|2 12 2 12 6答案：C2(2018高考全国卷)直线 x y20分别与 x轴， y轴交于 A， B两点，点 P在圆( x2) 2 y22上，则 ABP面积的取值范围是( )8A2,6 B4,8C ，3 D2 ，3 2 2 2 2解析：设圆( x2) 2 y22的圆心为 C，半径为 r，点 P到直线 x y20的距离为 d，则圆心 C(2,0)， r ，所以圆心 C到直线 x y20的距离为2 ，可得 dmax2 r32 2 2， dmin2 r .由已知条件可得 AB2 ，所以 ABP面积的最大值为 ABdmax62 2 2 212
16、， ABP面积的最小值为 ABdmin2.12综上， ABP面积的取值范围是2,6故选A答案：A3已知圆 C： x2 y22 x4 y m0.(1)若圆 C与坐标轴有3个交点，求 m的值；(2)若圆 C与直线 x2 y40的两个交点为 M， N，且满足 0(其中 O为坐标原点)OM ON ，求此时 m的值解析：(1)由 x2 y22 x4 y m0配方得( x1) 2( y2) 25 m.由题意，可得圆 C与 x轴相切或过原点时，圆 C与坐标轴有三个交点，所以5 m4，或145 m，解得 m1或 m0.(2)设 M(x1， y1)， N(x2， y2)则 ( x1， y1)， ( x2， y2
17、)OM ON 由 0，得 x1x2 y1y20.OM ON 由Error! 消 x，得(42 y)2 y22(42 y)4 y m0.整理得5 y216 y8 m0.根据根与系数的关系得， y1 y2 ， y1y2 .165 8 m5由 x142 y1， x242 y2， x1x2168( y1 y2)4 y1y2 .485 48 m5由 x1x2 y1y20，得 0，解得 m .485 48 m5 8 m5 85由知 16 220(8 m)0，即 m ，故 m 满足题意，因此 m 为所求.245 85 859授课提示：对应学生用书第141页一、选择题1“ ab4”是“直线2 x ay10与直
18、线 bx2 y20平行”的( )A充分必要条件 B充分而不必要条件C必要而不充分条件 D既不充分也不必要条件解析：因为两直线平行，所以斜率相等，即 ，可得 ab4，又当 a1， b4时2a b2，满足 ab4，但是两直线重合，故选C.答案：C2已知圆( x1) 2 y21被直线 x y0分成两段圆弧，则较短弧长与较长弧长之3比为( )A12 B13C14 D15解析：( x1) 2 y21的圆心为(1,0)，半径为1.圆心到直线的距离 d ，所11 3 12以较短弧所对的圆心角为 ，较长弧所对的圆心角为 ，故两弧长之比为12，故选A.23 43答案：A3(2018临沂模拟)已知直线3 x ay
19、0( a0)被圆( x2) 2 y24所截得的弦长为2，则 a的值为( )A. B.2 3C2 D22 3解析：由已知条件可知，圆的半径为2，又直线被圆所截得的弦长为2，故圆心到直线的距离为 ，即 ，得 a .369 a2 3 3答案：B4(2018济宁模拟)已知圆 C过点 A(2,4)， B(4,2)，且圆心 C在直线 x y4上，若直线 x2 yt0与圆 C相切，则t的值为( )A62 B625 5C2 6 D645 5解析：因为圆 C过点 A(2,4)， B(4,2)，所以圆心 C在线段 AB的垂直平分线 y x上，又圆心 C在直线 x y4上，联立Error!，解得 x y2，即圆心
20、C(2,2)，圆 C的半径 r2.又直线 x2 yt0与圆 C相切，所以 2，解得t622 22 2 42|2 4 t|5 510.答案：B5(2018南昌第一次模拟)如图，在平面直角坐标系 xOy中，直线 y2 x1与圆 x2 y24相交于 A， B两点，则cos AOB( )A. B510 510C. D910 910解析：因为圆 x2 y24的圆心为 O(0,0)，半径为2，所以圆心 O到直线 y2 x1的距离d ，所以弦长| AB|2 2 .|20 0 1|22 12 15 22 (15)2 195在 AOB中，由余弦定理得cos AOB .|OA|2 |OB|2 |AB|22|OA|
21、OB| 4 4 4195222 910答案：D6(2018合肥第一次教学质量检测)设圆 x2 y22 x2 y20的圆心为 C，直线 l过(0,3)与圆 C交于 A， B两点，若| AB|2 ，则直线 l的方程为( )3A3 x4 y120或4 x3 y90B3 x4 y120或 x0C4 x3 y90或 x0D3 x4 y120或4 x3 y90解析：当直线 l的斜率不存在时，计算出弦长为2 ，符合题意；3当直线 l的斜率存在时，可设直线 l的方程为 y kx3，由弦长为2 可知，圆心到该直3线的距离为1，从而有 1，解得 k |k 2|k2 1 34，综上，直线 l的方程为 x0或3 x4
22、 y120，故选B.答案：B7已知圆 O： x2 y21，点 P为直线 1上一动点，过点 P向圆 O引两条切线 PA， PBx4 y2， A， B为切点，则直线 AB经过定点( )11A( ， ) B( ， )12 14 14 12C( ，0) D(0， )34 34解析：因为点 P是直线 1上的一动点，所以设 P(42 m， m)x4 y2因为 PA， PB是圆 x2 y21的两条切线，切点分别为 A， B，所以 OA PA， OB PB，所以点 A， B在以 OP为直径的圆 C上，即弦 AB是圆 O和圆 C的公共弦因为圆心 C的坐标是(2 m， )，且半径的平方 r2 ，所以圆 C的方程为
23、( xm2 4 2m2 m242 m)2( y )2 ，m2 4 2m2 m24又 x2 y21，所以得，(2 m4) x my10，即公共弦 AB所在的直线方程为(2 x y)m(4 x1)0，所以由Error!得Error!所以直线 AB过定点( ， )故选B.14 12答案：B8若过点 A(1,0)的直线 l与圆 C： x2 y26 x8 y210相交于 P， Q两点，线段 PQ的中点为 M， l与直线 x2 y20的交点为 N，则| AM|AN|的值为( )A5 B6C7 D8解析：圆 C的方程化成标准方程可得( x3) 2( y4) 24，故圆心为 C(3,4)，半径为2，则可设直线
24、 l的方程为 kx y k0( k0)，由Error!得 N ，又直线 CM与 l(2k 22k 1， 3k2k 1)垂直，得直线 CM的方程为 y4 (x3)1k由Error!得 M ，(k2 4k 3k2 1 ， 4k2 2kk2 1)则| AM|AN| .(k2 4k 3k2 1 1)2 (4k2 2kk2 1)2 6.故选B.(2k 22k 1 1)2 ( 3k2k 1)2 2|2k 1|1 k2 1 k2 31 k2|2k 1|答案：B二、填空题9(2018高考全国卷)直线 y x1与圆 x2 y22 y30交于 A， B两点，则| AB|12_.解析：由 x2 y22 y30，得
25、x2( y1) 24.圆心 C(0，1)，半径 r2.圆心 C(0，1)到直线 x y10的距离d ，| AB|2 2|1 1|2 2 r2 d2 4 22 .2答案：2 210(2018江苏三市三模)在平面直角坐标系 xOy中，已知点 A(0，2)，点 B(1，1)， P为圆 x2 y22上一动点，则 的最大值是_|PB|PA|解析：设动点 P(x， y)，令 t(t0)，则 t 2，整理得，(1|PB|PA| 1 x2 1 y2 x2 2 y2t2)x2(1t 2)y22 x(24t 2)y24t 20，(*)易知当1t 20时，(*)式表示一个圆，且动点 P在该圆上，又点 P在圆 x2
26、y22上，所以点 P为两圆的公共点，两圆方程相减得两圆公共弦所在直线 l的方程为 x(12t 2)y23t 20，所以圆心(0,0)到直线 l的距离 d ，解得0t2，所以 的最大| 2 3t2|1 1 2t22 2 |PB|PA|值为2.答案：2三、解答题11已知圆 C过点 P(1,1)，且圆 C与圆 M：( x2) 2( y2) 2 r2(r0)关于直线 x y20对称(1)求圆 C的方程；(2)设 Q为圆 C上的一个动点，求 的最小值PQ MQ 解析：(1)设圆心 C(a， b)，则Error!解得Error!则圆 C的方程为 x2 y2 r2，将点 P的坐标代入得 r22，故圆 C的方
27、程为 x2 y22.(2)设 Q(x， y)，则 x2 y22， ( x1， y1)( x2， y2) x2 y2 x y4 x y2，PQ MQ 令 x cos ， y sin ，2 2则 x y2 (sin cos )22sin 2，PQ MQ 2 ( 4)13所以 的最小值为4.PQ MQ 12已知圆 C： x2 y22 x4 y30.(1)若圆 C的切线在 x轴和 y轴上的截距相等，求此切线的方程；(2)从圆 C外一点 P(x1， y1)向该圆引一条切线，切点为 M， O为坐标原点，且有| PM| PO|，求使| PM|取得最小值时点 P的坐标解析：(1)圆 C的标准方程为( x1)
28、2( y2) 22.当此切线在两坐标轴上的截距为零时，设此切线方程为 y kx，由 ，得 k2 ，|k 2|1 k2 2 6此切线方程为 y(2 )x.6当此切线在两坐标轴上的截距不为零时，设此切线方程为 x y a0，由 ，得| a1| 2，即 a1或 a3.| 1 2 a|2 2此切线方程为 x y10或 x y30.综上，此切线方程为 y(2 )x或 y(2 )x或 x y10或 x y30.6 6(2)由| PO| PM|，得| PO|2| PM|2| PC|2| CM|2，即 x y ( x11) 2( y12) 221 212，整理得2 x14 y130，即点 P在直线 l：2 x
29、4 y30上，当| PM|取最小值时，| PO|取最小值，此时直线 PO l，直线 PO的方程为2 x y0.解方程组Error!得Error!故使| PM|取得最小值时，点 P的坐标为 .(310， 35)13已知过抛物线 C： y22 px(p0)的焦点，斜率为2 的直线交抛物线于 A(x1， y1)和2B(x2， y2)(x1 x2)两点，且| AB| .92(1)求抛物线 C的方程；(2)若抛物线 C的准线为 l，焦点为 F，点 P为直线 m： x y20上的动点，且点 P的横坐标为 a，试讨论当 a取不同的值时，圆心在抛物线 C上，与直线 l相切，且过点 P的圆的个数解析：(1)直线
30、 AB的方程是 y2 (x )，代入 y22 px，得4 x25 px p20，所以 x12p2 x2 ，5p4由抛物线的定义得| AB| x1 x2 p ， p2，9p4 92抛物线 C的方程是 y24 x.(2)法一：由(1)知 l： x1， F(1,0)14所求圆的圆心在抛物线上，且与 l相切，则圆过焦点 F，又圆过点 P，圆心在 PF的中垂线上，设 P(a,2 a)，则 PF的中点坐标为( ， )，当 a1， a2时 kPF ， Pa 12 2 a2 2 aa 1F的中垂线方程为 y (x ) ，化简得 y x .a 1a 2 a 12 2 a2 a 1a 2 2a2 4a 32a 2
31、圆的个数即中垂线与抛物线的交点个数，将 x 代入得y24y2 y 0，a 14a 2 2a2 4a 32a 2 14 1 a 14a 2 2a2 4a 32a 2 a 12a2 4a 32a 22 .2a 22 2a3 6a2 7a 32a 22 2a3 4a2 a 52a 22 a 12a2 6a 52a 22当 a1时，交点有1个，圆有1个；当 a1时，交点有0个，圆有0个；当 a1，且 a1， a2时，交点有2个，圆有2个而当 a2时，易验证有2个交点，圆有2个；当 a1时，易知交点有1个，圆有1个综上所述，当 a1时，圆有0个；当 a1时，圆有1个；当 a1，且 a1时，圆有2个法二：
32、设圆心 Q(x0， y0)(y 4 x0)， P(a,2 a)，由于准线 l： x1，20故若存在圆 Q满足条件，则 r| PQ| ，且 r x01，( x0 a)x0 a2 y0 a 222( y0 a2) 2( x01) 2，即 a2 y 2( a2) y0( a2) 2(22 a)x01(22 a) 1，20y204整理得(1 a)y (4 a8) y04 a28 a60 (*)，20当 a1时，(*)式即4 y020，有1个解当 a1时，(*)式中 (4 a8) 24(1 a)(4a28 a6)16 a332 a28 a408( a1)(2 a26 a5)，2 a26 a52( a )2 0，32 12当 a1且 a1时， 0，(*)式有2个解；当 a1时， 0，(*)式有1个解；当 a1时， 0，(*)式无解综上，当 a1时，圆有0个；当 a1时，圆有1个；15当 a1，且 a1时，圆有2个
