1、1第一讲 坐标系与参数方程考点一 极坐标方程及应用1直角坐标与极坐标的互化公式把直角坐标系的原点作为极点， x 轴正半轴作为极轴，并在两坐标系中取相同的长度单位设 M 是平面内任意一点，它的直角坐标是( x， y)，极坐标是( ， )，则Error!Error!2几个特殊位置的圆的极坐标方程(1)当圆心位于极点，半径为 r： r.(2)当圆心位于 M(a,0)，半径为 a： 2 acos .(3)当圆心位于 M ，半径为 a： 2 asin .(a， 2)3几个特殊位置的直线的极坐标方程(1)直线过极点： 0和 0.(2)直线过点 M(a,0)且垂直于极轴： cos a.(3)直线过 M 且平
2、行于极轴： sin b.(b， 2)2解 (1)设 P 的极坐标为( ， )( 0)， M 的极坐标为( 1， )( 10)由题设知| OP| ，| OM| 1 .4cos由| OM|OP|16 得 C2的极坐标方程 4cos ( 0)因此 C2的直角坐标方程为( x2) 2 y24( x0)(2)设点 B 的极坐标为( B， )( B0)由题设知| OA|2， B4cos ，于是 OAB 面积S |OA| Bsin AOB124cos |sin( 3)|2 2 .|sin(2 3) 32| 3当 时， S 取得最大值 2 .12 3所以 OAB 面积的最大值为 2 .3解决极坐标问题应关注的
3、两点(1)用极坐标系解决问题时要注意已知的几何关系，如果几何关系不容易通过极坐标表3示时，可以先化为直角坐标，将不熟悉的问题转化为熟悉的问题来解决(2)在极坐标与直角坐标互化的过程中，需要注意当条件涉及“角度”和“距离”时，利用极坐标将会给问题的解决带来很大的便利对点训练(2018福建福州四校联考)在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为Error!( 为参数)，直线 C2的方程为 y x.以坐标原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标3系(1)求曲线 C1和直线 C2的极坐标方程；(2)若直线 C2与曲线 C1交于 A， B 两点，求 .1|OA| 1|OB|解 (1)
4、由曲线 C1的参数方程为Error!( 为参数)，得曲线 C1的普通方程为( x2)2( y2) 21，则 C1的极坐标方程为 24 cos 4 sin 70，由于直线 C2过原点，且倾斜角为 ，故其极坐标方程为 ( R) 3 3(2)由Error!得 2(2 2) 70，设 A， B 对应的极径分别为 1， 2，则3 1 22 2， 1 2 7，3 .1|OA| 1|OB| |OA| |OB|OA|OB| 1 2 1 2 23 27考点二 参数方程及应用1圆的参数方程以 O( a， b)为圆心， r 为半径的圆的参数方程是Error!其中 是参数2椭圆的参数方程椭圆 1( ab0)的参数方程
5、是Error!其中 是参数x2a2 y2b23直线的参数方程(1)经过点 P0(x0， y0)，倾斜角为 的直线的参数方程是Error!其中 t 是参数(2)若 A， B 为直线 l 上两点，其对应的参数分别为 t1， t2，线段 AB 的中点为 M，点 M所对应的参数为 t0，则以下结论在解题中经常用到： t0 ；t1 t22| PM| t0| ；|t1 t22 | AB| t2 t1|；4| PA|PB| t1t2|.角度 1：参数方程与普通方程的互化解 (1)曲线 C 的普通方程为 y21.x29当 a1 时，直线 l 的普通方程为 x4 y30.由Error!解得Error!或Erro
6、r!从而 C 与 l 的交点坐标为(3,0)， .(2125， 2425)(2)直线 l 的普通方程为 x4 y a40，故 C 上的点(3cos ，sin )到 l 的距离d .|3cos 4sin a 4|17当 a4 时， d 的最大值为 .由题设得 ，所以 a8；a 917 a 917 17当 a .|5 2k|k2 1 2120即直线 l 的斜率的取值范围为 .(2120， )解法二：将圆 C 的参数方程Error!化成普通方程为( x1) 2( y1) 24 ，将直线 l 的参数方程代入式，得t22(2cos 5sin )t250. .当直线 l 与圆 C 交于两个不同的点时，方程
7、有两个不相等的实根，即 4(2cos 5sin )21000，即 20sin cos 21cos2 ，两边同除以 20cos2 ，得 tan ，即直线 l 的斜率的2120取值范围为 .(2120， )2角度 2(2018郑州一模)已知直线 l：Error!( t 为参数)以坐标原点为极点， x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2cos .(1)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程(2)设点 M 的直角坐标为(5， )，直线 l 与曲线 C 的交点为 A， B，求| MA|MB|的3值解 (1) 2cos ， 22 cos ，曲线 C 的直线坐标方程为 x2 y22
8、 x，即( x1) 2 y21.(2)将直线 l：Error!( t 为参数)代入曲线 C 的直角坐标方程中，化简得t25 t180，且 0. t1t218.3点 M(5， )在直线 l 上，根据直线参数方程中参数 t 的几何意义，得37|MA|MB| t1t2|18.考点三 极坐标方程与参数方程的综合应用1对于参数方程或极坐标方程应用不够熟练的情况下，我们可以先化成直角坐标的普通方程，这样思路可能更加清晰2对于一些运算比较复杂的问题，用参数方程或极坐标方程计算会比较简捷解 (1)由Error!消去参数 t，得( x5) 2( y3) 22，所以圆 C 的普通方程为( x5) 2( y3) 2
9、2.由 cos ，得 cos sin 2.( 4) 2可得直线 l 的直角坐标方程为 x y20.(2)直线 l 与 x 轴， y 轴的交点分别为 A(2,0)， B(0,2)，化为极坐标为 A(2，)， B，(2， 2)设点 P 的坐标为(5 cost,3 sint)，则点 P 到直线 l 的距离为 d2 2| 5 2cost 3 2sint 2|28 ，| 6 2cos(t 4)|2所以 dmin 2 ，又| AB|2 ，42 2 2所以 PAB 面积的最小值 2 2 4.12 2 2解决极坐标与参数方程问题的关键(1)会转化：把直线与圆的参数方程转化为普通方程时，要关注参数的取值范围的限
10、定，还需掌握极坐标与直角坐标的互化公式(2)懂技巧：合理选择直角坐标形式运算、极坐标形式运算、参数坐标形式运算，利用参数及其几何意义，结合关系式寻找关于参数的方程或函数对点训练在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1：Error!( 为参数，01，即 或 .|21 k2| ( 4， 2) ( 2， 34)10综上， 的取值范围是 .( 4， 34)(2)l 的参数方程为Error!(t 为参数， ) 4 34设 A， B， P 对应的参数分别为 tA， tB， tP，则 tP ，且 tA， tB满足tA tB2t22 tsin 10.2于是 tA tB2 sin ， tP sin .2 2又点
11、 P 的坐标( x， y)满足Error!所以点 P 的轨迹的参数方程是Error!( 为参数， ) 4 341.坐标系与参数方程是高考的选考内容之一，高考考查的重点主要有两个方面：一是简单曲线的极坐标方程；二是参数方程、极坐标方程与曲线的综合应用2全国课标卷对此部分内容的考查以解答题形式出现，难度中等，备考此部分内容时应注意转化思想的应用专题跟踪训练(三十二)1(2018湖南长沙联考)在直角坐标系 xOy 中，直线 C1： x2，圆 C2：( x1)2( y2) 21，以坐标原点为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系(1)求 C1， C2的极坐标方程(2)若直线 C3的极坐标方程为 (
12、 R)，设 C2与 C3的交点分别为 M， N，求 4C2MN 的面积解 (1) x cos ， y sin ， C1： x2 的极坐标方程为 cos 2，C2：( x1) 2( y2) 21 的极坐标方程为( cos 1) 2( sin 2) 21，化简，得 2(2 cos 4 sin )40.(2)把直线 C3的极坐标方程 ( R)代入 4圆 C2： 2(2 cos 4 sin )40，得 23 40，解得 12 ， 2 .2 2 2| MN| 1 2| .211圆 C2的半径为 1，| C2M|2| C2N|2| MN|2， C2M C2N. C2MN 的面积为 |C2M|C2N| 11
13、 .12 12 122(2018洛阳联考)在极坐标系中，曲线 C 的方程为 2 ，已知点 R31 2sin2.(22， 4)(1)以极点为原点，极轴为 x 轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，把曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程， R 点的极坐标化为直角坐标(2)设 P 为曲线 C 上一动点，以 PR 为对角线的矩形 PQRS 的一边垂直于极轴，求矩形PQRS 周长的最小值，及此时 P 点的直角坐标解 (1) x cos ， y sin ， x2 y2 2.曲线 C 的直角坐标方程为 y21.x23点 R 的直角坐标为(2,2)(2)设点 P( cos ，sin )，根据题意得 Q(2，si
14、n )，即可得3|PQ|2 cos ，| QR|2 sin ，3| PQ| QR|42sin( 60)当 30时，| PQ| QR|取最小值 2，矩形 PQRS 周长的最小值为 4.此时点 P 的直角坐标为 .(32， 12)3(2018安徽皖南八校联考)在平面直角坐标系 xOy 中， C1的参数方程为Error!( t 为参数)，在以坐标原点为极点， x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中， C2的极坐标方程为 22 cos 30.(1)说明 C2是哪种曲线，并将 C2的方程化为直角坐标方程(2)C1与 C2有两个公共点 A， B，定点 P 的极坐标 ，求线段 AB 的长及定点 P 到(2， 4
15、)A， B 两点的距离之积解 (1)将Error!代入 C2的极坐标方程中得 C2的直角坐标方程为( x1) 2 y24，所以 C2是圆(2)将 C1的参数方程Error!( t 为参数)，代入( x1) 2 y24 中得2 24，化简，得 t2 t30.(22t) (1 22t) 212设两根分别为 t1， t2，由根与系数的关系得Error!所以| AB| t1 t2| ，t1 t22 4t1t2 2 12 14定点 P 到 A， B 两点的距离之积| PA|PB| t1t2|3.4(2018河北衡水中学模拟)在极坐标系中，曲线 C1的极坐标方程是 ，在以极点为原点 O，极轴为 x 轴正半
16、轴(两坐标系取相同的单位长度)的244cos 3sin直角坐标系 xOy 中，曲线 C2的参数方程为Error!( 为参数 )(1)求曲线 C1的直角坐标方程与曲线 C2的普通方程；(2)将曲线 C2经过伸缩变换Error!后得到曲线 C3，若 M、 N 分别是曲线 C1和曲线 C3上的动点，求| MN|的最小值解 (1) C1的极坐标方程是 ，244cos 3sin4 cos 3 sin 24，4 x3 y240，故 C1的直角坐标方程为 4x3 y240.曲线 C2的参数方程为Error! x2 y21，故 C2的普通方程为 x2 y21.(2)将曲线 C2经过伸缩变换Error!后得到曲线 C3，则曲线 C3的参数方程为Error! ( 为参数)设 N(2 cos ，2sin )，则点 N 到曲线 C1的距离2d|422cos 32sin 24|5|241sin 24|5 (其中 满足 tan )24 241sin 5 423当 sin( )1 时， d 有最小值 ，24 2415所以| MN|的最小值为 .24 2415
