1、1专题跟踪训练(十八) 等差数列、等比数列一、选择题1(2018长郡中学摸底)已知等差数列 an的前 n 项和为 Sn，若a4 a12 a88， a10 a64，则 S23( )A23 B96 C224 D276解析 设等差数列 an的公差为 d，依题意得a4 a12 a82 a8 a8 a88， a10 a64 d4，解得 d1，所以 a8 a17 d a178，解得 a11，所以 S23231 1276，选 D.23222答案 D2已知数列 an为等比数列，且 a11， a34， a57 成等差数列，则公差 d 为( )A2 B3 C4 D5解析 设 an的公比为 q，由题意得 2(a34
2、) a11 a57 2a3 a1 a52q21 q4q21，即 a1 a3， d a34( a11)413，选 B.答案 B3等比数列 an中，已知 a1 a38， a5 a74，则 a9 a11 a13 a15的值为( )A1 B2 C3 D5解析 因为 an为等比数列，所以 a5 a7是 a1 a3与 a9 a11的等比中项，所以( a5 a7)2( a1 a3)(a9 a11)，故 a9 a11 2； a5 a7 2a1 a3 428同理， a9 a11是 a5 a7与 a13 a15的等比中项，所以( a9 a11)2( a5 a7)(a13 a15)，故 a13 a15 1.所以 a
3、9 a11 2a5 a7 224a9 a11 a13 a15213.答案 C4已知等比数列 an中 a21，则其前 3 项的和 S3的取值范围是( )A(，1 B(，0)1，)C3，) D(，13，)解析 因为等比数列 an中 a21，所以 S3 a1 a2 a3 a2 1 q .(1 q1q) 1q当公比 q0 时， S31 q 12 3；1q q1q2当公比 q0 时， S31 12 1，( q1q) q ( 1q)所以 S3(，13，)故选 D.答案 D5(2018江西七校联考)等差数列 an， bn的前 n 项和分别为 Sn， Tn，若 SnTn(nN *)，则 ( )38n 142n
4、 1 a6b7A16 B. C. D.24215 43223 49427解析 令Sn38 n214 n， Tn2 n2 n， a6 S6 S5386 2146(385 2145)381114； b7 T7 T627 27(26 26)2131， a6b7 3811 14213 116.故选 A.43227答案 A6(2018河南郑州二中期末)已知等差数列 an的公差 d0，且 a1， a3， a13成等比数列，若 a11， Sn是数列 an的前 n 项的和，则 (nN *)的最小值为( )2Sn 16an 3A4 B3 C2 2 D.392解析 a11， a1、 a3、 a13成等比数列，(1
5、2 d)2112 d.得 d2 或 d0(舍去) an2 n1， Sn n2，n 1 2n 12 .令 t n1，2Sn 16an 3 2n2 162n 2则 t 2624 当且仅当 t3，2Sn 16an 3 9t即 n2 时等号成立， 的最小值为 4.故选 A.2Sn 16an 3答案 A二、填空题7(2018福建四地六校联考)已知等差数列 an中， a3 ，则 cos(a1 a2 a6) 4_.3解析 在等差数列 an中， a1 a2 a6 a2 a3 a43 a3 ，cos( a1 a2 a6)34cos .34 22答案 228(2018山西四校联考)若等比数列 an的前 n 项和为
6、 Sn，且 5，则S4S2_.S8S4解析 解法一：设数列 an的公比为 q，由已知得 1 5，即S4S2 a3 a4a1 a21 q25，所以 q24， 1 1 q411617.S8S4 a5 a6 a7 a8a1 a2 a3 a4解法二：由等比数列的性质可知， S2， S4 S2， S6 S4， S8 S6成等比数列，若设S2 a，则 S45 a，由( S4 S2)2 S2(S6 S4)得 S621 a，同理得 S885 a，所以 17.S8S4 85a5a答案 179已知数列 xn各项均为正整数，且满足 xn1 Error! nN *.若 x3 x43，则 x1所有可能取值的集合为_解析
7、 由题意得 x31， x42 或 x32， x41.当 x31 时， x22，从而 x11 或 4；当 x32 时， x21 或 4，因此当 x21 时， x12，当 x24 时， x18 或 3.综上， x1所有可能取值的集合为1,2,3,4,8答案 1,2,3,4,8三、解答题10(2018沈阳市高三第一次质量监测)已知数列 an是等差数列，满足a12， a48，数列 bn是等比数列，满足 b24， b532.(1)求数列 an和 bn的通项公式；(2)求数列 an bn的前 n 项和 Sn.解 (1)设等差数列 an的公差为 d，由题意得 d 2，a4 a13所以 an a1( n1)
8、d2( n1)22 n.4设等比数列 bn的公比为 q，由题意得 q3 8，解得 q2.b5b2因为 b1 2，所以 bn b1qn1 22 n1 2 n.b2q(2)由(1)可得， Sn n2 n2 n1 2.n 2 2n2 2 1 2n1 211(2018全国卷)记 Sn为等差数列 an的前 n 项和，已知 a17， S315.(1)求 an的通项公式；(2)求 Sn，并求 Sn的最小值解 (1)设 an的公差为 d，由题意得3a13 d15.由 a17 得 d2.所以 an的通项公式为 an2 n9.(2)由(1)得 Sn n28 n( n4) 216.所以当 n4 时， Sn取得最小值
9、，最小值为16.12已知数列 an和 bn满足： a1 ， an1 an n4， bn(1) n(an3 n21)，23其中 为实数， n 为正整数(1)对任意实数 ，证明数列 an不是等比数列；(2)试判断数列 bn是否为等比数列，并证明你的结论解 (1)证明：假设存在一个实数 ，使 an是等比数列，则有 a a1a3，即22 ，故 24 9 24 ，即 90，这与事实相矛盾所以对(23 3) (49 4) 49 49任意实数 ，数列 an都不是等比数列(2)因为 bn1 (1) n1 an1 3( n1)21(1) n1 (1)(23an 2n 14) 23n(an3 n21) bn， b1( 18)，所以当 18 时， b10( nN *)，此时 bn不23是等比数列；当 18 时， b1( 18)0，则 bn0，所以 (nN *)bn 1bn 23故当 18 时，数列 bn是以( 18)为首项， 为公比的等比数列23
