1、1第一讲 空间几何体年份 卷别 考查角度及命题位置 命题分析卷 圆柱的三视图的应用T 72018 卷 与数学文化有关的三视图判断T3卷 三视图与表面积问题T 7卷 三视图与体积问题T 42017卷 圆柱与球的结合体问题T 8卷 有关球的三视图及表面积T 6卷空间几何体的三视图及组合体表面积的计算T6空间几何体三视图及表面积的计算T 92016卷直三棱柱的体积最值问题T 10立体几何问题既是高考的必考点，也是考查的难点，其在高考中的命题形式较为稳定，保持“一小一大”或“两小一大”的格局多以选择题或者填空题的形式考查空间几何体三视图的识别，空间几何体的体积或表面积的计算.空间几何体的三视图授课提示
2、：对应学生用书第34页悟通方法结论一个物体的三视图的排列规则俯视图放在正视图的下面，长度与正视图的长度一样，侧视图放在正视图的右面，高度与正视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样，即“长对正、高平齐、宽相等”全练快速解答1(2018高考全国卷)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )2解析：由题意可知带卯眼的木构件的直观图如图所示，由直观图可知其俯视图应选A.故选A.答案：A2(2017高考全国卷)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视
3、图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为( )A10 B12 C14 D16解析：由三视图可知该多面体是一个组合体，下面是一个底面是等腰直角三角形的直三棱柱，上面是一个底面是等腰直角三角形的三棱锥，等腰直角三角形的腰长为2，直三棱柱的高为2，三棱锥的高为2，易知该多面体有2个面是梯形，且这两个梯形全等，这些梯形的面积之和为 212，故选B.2 422答案：B3(2018山西八校联考)将正方体(如图1)截去三个三棱锥后，得到如图2所示的几何体，侧视图的视线方向如图2所示，则该几何体的侧视图为( )解析：将图2
4、中的几何体放到正方体中如图所示，从侧视图的视线方向观察，易知该几何体的侧视图为选项D中的图形，故选D.答案：D明确三视图问题的常见类型及解题策略(1)由几何体的直观图求三视图注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线，看不到的部分用虚线表示(2)由几何体的部分视图画出剩余的视图先根据已知的一部分视图，还原、推测直观3图的可能形式，然后再找其剩下部分视图的可能形式当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合(3)由几何体的三视图还原几何体的形状要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图空间几何体的表面积与体积授课提示
5、：对应学生用书第35页悟通方法结论求解几何体的表面积或体积(1)对于规则几何体，可直接利用公式计算(2)对于不规则几何体，可采用割补法求解；对于某些三棱锥，有时可采用等体积转换法求解(3)求解旋转体的表面积和体积时，注意圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形的应用全练快速解答1(2017高考全国卷)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为( )A90 B63C42 D36解析：法一：由题意知，该几何体由底面半径为3，高为10的圆柱截去底面半径为3，高为6的圆柱的一半所得，故其体积
6、 V3 210 3 2663.12法二：由题意知，该几何体由底面半径为3，高为10的圆柱截去底面半径为3，高为6的4圆柱的一半所得，其体积等价于底面半径为3，高为7的圆柱的体积，所以它的体积 V32763.答案：B2(2018福州四校联考)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A B27272C27 D272 3解析：在长、宽、高分别为3 ，3,3 的长方体中，由几何体的三视图得3 3几何体为如图所示的三棱锥 CBAP，其中底面 BAP是 BAP90的直角三角形，AB3， AP3 ，所以 BP6 ，又棱 CB平面 BAP且 CB3 ，所以 AC6，所以3 3该几何体的表面积是
7、 33 33 63 63 27 ，12 3 12 3 12 3 12 3 3故选D.答案：D3.(2018西安八校联考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A.43B.53C223D423解析：由三视图可知，该几何体为一个半径为1的半球与一个底面半径为1，高为2的半圆柱组合而成的组合体，故其体积 V 1 3 1 22 ，故选B.23 12 53答案：B54(2018高考全国卷)在长方体 ABCDA1B1C1D1中， AB BC2， AC1与平面 BB1C1C所成的角为30，则该长方体的体积为( )A8 B6 2C8 D82 3解析：如图，连接 AC1， BC1， AC. AB平面
8、 BB1C1C， AC1B为直线 AC1与平面 BB1C1C所成的角， AC1B30.又 AB BC2，在Rt ABC1中， AC14，在Rt ACC1中， CC1 22sin 30 AC21 AC2 42 22 22 2， V长方体 ABBCCC1222 8 .2 2故选C.答案：C1活用求几何体的表面积的方法(1)求表面积问题的基本思路是将立体几何问题转化为平面几何问题，即空间图形平面化，这是解决立体几何的主要出发点(2)求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体，先求这些柱、锥、台体的表面积，再通过求和或作差得几何体的表面积2活用求空间几何体体积的常用方法(1)公
9、式法：直接根据相关的体积公式计算(2)等积法：根据体积计算公式，通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易，或是求出一些体积比等(3)割补法：把不能直接计算体积的空间几何体进行适当分割或补形，转化为易计算体积的几何体空间几何体与球的切、接问题授课提示：对应学生用书第36页6悟通方法结论1解决与球有关的“切”“接”问题，一般要过球心及多面体中的特殊点或过线作截面，把空间问题转化为平面问题，从而寻找几何体各元素之间的关系2记住几个常用的结论：(1)正方体的棱长为 a，球的半径为 R.正方体的外接球，则2 R a；3正方体的内切球，则2 R a；球与正方体的各棱相切，则2 R a.2(2)在长方
10、体的同一顶点的三条棱长分别为 a， b， c，外接球的半径为 R，则2 R.a2 b2 c2(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为31.(1)(2017高考全国卷)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )A B. C. D.34 2 4解析：设圆柱的底面半径为 r，则 r21 2 2 ，所以，圆柱的体积 V 1(12) 34 34 34，故选B.答案：B(2)(2017高考全国卷)已知三棱锥 SABC的所有顶点都在球 O的球面上， SC是球 O的直径若平面 SCA平面 SCB， SA AC， SB BC，三棱锥 SABC的体积为9，则球 O的
11、表面积为_解析：如图，连接 AO， OB， SC为球 O的直径，点 O为 SC的中点， SA AC， SB BC， AO SC， BO SC，平面 SCA平面 SCB，平面 SCA平面 SCB SC， AO平面 SCB，设球 O的半径为 R，7则 OA OB R， SC2 R. VSABC VASBC S SBCAO13 AO，13 (12SCOB)即9 R，解得 R3，13 (122RR)球 O的表面积为 S4 R243 236.答案：36掌握“切”“接”问题的处理方法(1)“切”的处理：解决与球有关的内切问题主要是指球内切多面体与旋转体，解答时要先找准切点，通过作截面来解决如果内切的是多面
12、体，则多通过多面体过球心的对角面来作截面.(2)“接”的处理：把一个多面体的几个顶点放在球面上即球的外接问题解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径.练通即学即用1(2018湘东五校联考)已知等腰直角三角形 ABC中， AB AC2， D， E分别为 AB， AC的中点，沿 DE将 ABC折成直二面角(如图)，则四棱锥 ADECB的外接球的表面积为_解析：取 DE的中点 M， BC的中点 N，连接 MN(图略)，由题意知， MN平面 ADE，因为 ADE是等腰直角三角形，所以 ADE的外接圆的圆心是点 M，四棱锥 ADECB的外接球的球心在直线 MN上，又等腰
13、梯形 DECB的外接圆的圆心在 MN上，所以四棱锥 ADECB的外接球的球心就是等腰梯形 DECB的外接圆的圆心连接 BE，易知 BEC是钝角三角形，所以等腰梯形 DECB的外接圆的圆心在等腰梯形 DECB的外部设四棱锥 ADECB的外接球的半径为 R，球心到 BC的距离为 d，则Error! 解得 R2 ，故四棱锥 ADECB的外接球的表面积 S4 R210.52答案：102(2018合肥模拟)如图，已知平面四边形 ABCD满足 AB AD2， A60， C908，将 ABD沿对角线 BD翻折，使平面 ABD平面 CBD，则四面体 ABCD外接球的体积为_解析：在四面体 ABCD中， AB
14、AD2， BAD60， ABD为正三角形，设 BD的中点为 M，连接 AM，则 AM BD，又平面 ABD平面 CBD，平面 ABD平面 CBD BD， AM平面 CBD. CBD为直角三角形，其外接圆的圆心是斜边 BD的中点 M，由球的性质知，四面体 ABCD外接球的球心必在线段 AM上，又 ABD为正三角形，球心是 ABD的中心，则外接球的半径为 2 ，四面体 ABCD外接球的体积为 ( )3 .23 32 233 43 233 32327答案：32327授课提示：对应学生用书第135页一、选择题1(2018广州模拟)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图(等腰直角
15、三角形)和侧视图，且该几何体的体积为 ，则该几何体的俯视图可以是( 83)解析：由题意可得该几何体可能为四棱锥，如图所示，其高为2，底面为正方形，面积为224，因为该几何体的体积为 42 ，满足条件13 83，所以俯视图可以为一个直角三角形故选D.9答案：D2(2018高考全国卷)已知圆柱的上、下底面的中心分别为 O1、 O2，过直线 O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( )A12 B122C8 D102解析：设圆柱的轴截面的边长为 x，则由 x28，得 x2 ， S圆柱表 2 S底 S侧 22( )22 2 12.2 2 2故选B.答案：B3(2018合肥
16、模拟)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A518 B618C86 D106解析：由三视图可知，该几何体由一个半圆柱与两个半球构成，故其表面积为41 2 2132 1 23286.故选C.12 12答案：C4(2018沈阳模拟)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是( )A44 B4 22 2C84 D283解析：由三视图可知该几何体是一个四棱锥，记为四棱锥 PABCD，如图所示，其中 PA底面 ABCD，四边形 ABCD是正方形，且 PA2， AB210， PB2 ，所以该四棱锥的侧面积 S是四个直角三角形的面积和，即 S2( 2
17、2 212 1222 )44 ，故选A.2 2答案：A5(2018聊城模拟)在三棱锥 PABC中，已知 PA底面 ABC， BAC120， PA AB AC2，若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为( )A10 B183C20 D9 3解析：该三棱锥为图中正六棱柱内的三棱锥 PABC， PA AB AC2，所以该三棱锥的外接球即该六棱柱的外接球，所以外接球的直径2 R 2 R ，所以该球的表面积为4 R22042 22 5 5.答案：C6(2018高考全国卷)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示圆柱表面上的点 M在正视图上的对应点为 A，圆柱表面上的点 N在左视图上的对
18、应点为 B，则在此圆柱侧面上，从 M到 N的路径中，最短路径的长度为( )A2 B217 5C3 D2解析：先画出圆柱的直观图，根据题图的三视图可知点 M， N的位置如图所示圆柱的侧面展开图及 M， N的位置( N为 OP的四等分点)如图所示，连接 MN，则图中 MN即为 M到 N的最短路径ON 164， OM2，14| MN| 2 .OM2 ON2 22 42 5故选B.答案：B7在正三棱柱 ABCA1B1C1中， AB2， AA13，点 M是 BB1的中点，则三棱锥 C1AMC的体积为( )11A. B.3 2C2 D22 3解析：取 BC的中点 D，连接 AD.在正三棱柱 ABCA1B1
19、C1中， ABC为正三角形，所以 AD BC，又 BB1平面 ABC， AD平面 ABC，所以 BB1 AD，又 BB1 BC B，所以 AD平面 BCC1B1，即 AD平面 MCC1，所以点 A到平面 MCC1的距离就是 AD.在正三角形 ABC中， AB2，所以 AD ，又 AA133，点 M是 BB1的中点，所以 S MCC1 S矩形 BCC1B1 233，所以 VC1 AMC VAMCC112 123 .13 3 3答案：A8如图，四棱锥 PABCD的底面 ABCD为平行四边形， NB2 PN，则三棱锥 NPAC与三棱锥DPAC的体积比为( )A12 B18C16 D13解析：由 NB
20、2 PN可得 .设三棱锥 NPAC的高为 h1，三棱锥 BPAC的高为 h，则 PNPB 13 h1h .又四边形 ABCD为平行四边形，所以点 B到平面 PAC的距离与点 D到平面 PAC的距离相等PNPB 13，所以三棱锥 NPAC与三棱锥 DPAC的体积比为 .V1V13S PACh113S PACh 13答案：D9已知球的直径 SC4， A， B是该球球面上的两点， ASC BSC30，则棱锥 SABC的体积最大为( )A2 B83C D23 3解析：如图，因为球的直径为 SC，且 SC4， ASC BSC30，所以 SAC SBC90， AC BC2， SA SB2 ，所以 S SB
21、C 2312122 2 ，则当点 A到平面 SBC的距离最大时，棱锥 ASBC即 SABC的体积最大，此时平面 SAC3 3平面 SBC，点 A到平面 SBC的距离为2 sin 330 ，所以棱锥 SABC的体积最大为 2 2，故选A.313 3 3答案：A二、填空题10(2018洛阳统考)已知点 A， B， C， D均在球 O上， AB BC ， AC2 .若三棱锥6 3DABC体积的最大值为3，则球 O的表面积为_解析：由题意可得， ABC ， ABC的外接圆半径 r ，当三棱锥的体积最大时， 2 3VDABC S ABCh(h为 D到底面 ABC的距离)，即3 hh3，即 R 313 1
22、3 12 6 6 R2 r2(R为外接球半径)，解得 R2，球 O的表面积为42 216.答案：1611已知某几何体的三视图如图，其中正视图中半圆直径为4，则该几何体的体积为_解析：由三视图可知该几何体为一个长方体挖掉半个圆柱，所以其体积为248122 22644.答案：64412某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为_解析：由三视图可知，几何体的直观图如图所示，平面 AED平面 BCDE，四棱锥 ABCDE的高为1，四边形 BCDE是边长为1的正方形，则13S ABC S ABE 1 ， S ADE ， S ACD 1 ，故面积最大的侧面的面积12 2 22 12 12 5 52为 .52答案：5213(2018福州四校联考)已知三棱锥 ABCD的所有顶点都在球 O的球面上， AB为球 O的直径，若该三棱锥的体积为 ， BC3， BD ， CBD 90，则球 O的体积为_3 3解析：设 A到平面 BCD的距离为 h，三棱锥的体积为 ， BC3， BD ， CBD903 3， 3 h ， h2，球心 O到平面 BCD的距离为1.设 CD的中点为 E，连接 OE13 12 3 3，则由球的截面性质可得 OE平面 CBD， BCD外接圆的直径 CD2 ，球 O的半径 OD23，球 O的体积为 .323答案：323
