1、1专题提能四 立体几何中的创新考法与学科素养一、选择题1中国古代数学名著九章算术第五章“商功”共收录 28 个题目，其中一个题目如下：今有城下广四丈，上广二丈，高五丈，袤一百二十六丈五尺，问积几何？其译文可用三视图来解释：某几何体的三视图如图所示(其中侧视图为等腰梯形，长度单位为尺)，则该几何体的体积为( )A3 795 000 立方尺 B2 024 000 立方尺C632 500 立方尺 D1 897 500 立方尺解析：由三视图可知该几何体是一个水平放置的底面是等腰梯形的四棱柱，其体积V (2040)501 2651 897 500(立方尺)，故选 D.12答案：D2中国古代数学名著九章算
2、术中记载：“今有羡除” 刘徽注：“羡除，隧道也其所穿地，上平下邪 ”现有一个羡除如图所示，四边形 ABCD， ABFE， CDEF 均为等腰梯形， AB CD EF， AB6， CD8， EF10， EF 到平面 ABCD 的距离为 3， CD 与 AB 间的距离为 10，则这个羡除的体积是( )A110 B116C118 D120解析：如图，过点 A 作 AP CD， AM EF，过点 B 作BQ CD， BN EF，垂足分别为 P， M， Q， N，连接 PM， QN，将一侧的几何体补到另一侧，组成一个直三棱柱，底面积为 10315.棱柱的12高为 8，体积 V158120.答案：D23.
3、中国古代数学经典九章算术系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知三棱锥 PADE 为鳖臑，且PA平面 ABCE， AD AB2， ED1，若该鳖臑的外接球的表面积为 9，则该阳马的外接球的体积为( )A2 B3 3 3C4 D4 2 3解析：由题意得三棱锥 PADE 中， ED DA，又 PA平面 ABCE，所以其外接球的直径2r PE，设 PA x，则 2r ，则其外接球的表面PA2 AD2 DE2 x2 22 12 x2 5积 S4 r2( x25)9，解得
4、x2.阳马四棱锥 PABCD 的外接球的直径为 PC，即 2R PC 2 ，所以 R ，故其外接球的体积PA2 AD2 DC2 22 22 22 3 3V R3 ( )34 ，故选 D.43 43 3 3答案：D4.九章算术商功：“今有堑堵，下广二丈，袤一十八丈六尺，高二丈五尺问积几何？答曰：四万六千五百尺 ”所谓“堑堵” ，就是两底面为直角三角形的直棱柱如图所示的几何体是一个“堑堵” ，AB BC4， AA15， M 是 A1C1的中点，过 B， C， M 的平面把该“堑堵”分为两个几何体，其中一个为三棱台，则三棱台的表面积为( )A40 B50C2515 3 D3020 32 29 2 2
5、9解析：如图，设 A1B1的中点为 N，连接 MN， BN，则 MN BC，所以过 B， C， M 的平面为平面 BNMC，所求三棱台为 A1MN ACB，所以其表面积为 S ABC S A1NM S 梯形 AA1MC S 梯形 AA1NB S 梯形MNBC 44 22 (2 4 )5 (42)12 12 12 2 2 125 (24) 25 15 3 .12 29 2 29答案：C5中国古代名词“刍童”原来是草堆的意思，关于“刍童”体积计算的描述， 九章算术注曰：“倍上袤，下袤从之亦倍下袤，上袤从之各以其广乘之，并，以高乘之，六而一 ”其计算方法是：将上底面的长乘二，与下底面的长相加，再与上
6、底面的宽相乘；将下底面的长乘二，与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘；把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一已知一个“刍童”的下底面是周长为 18 的矩形，上底面矩形的长为 3，宽为 2， “刍童”的高为 3，则该“刍童”的体积的最大值为( )3A. B.392 752C39 D.6018解析：设下底面的长为 x( x9)，则下底面的宽为 9 x.92 18 2x2由题可知上底面矩形的长为 3，宽为 2， “刍童”的高为 3，所以其体积V 3(32 x)2(2 x3)(9 x) x2 ，故当 x 时，体积取得最16 17x2 392 92大值，最大值为( )2 .故选 B.92 172 9
7、2 392 752答案：B6如图，在正三棱柱 ABCA1B1C1中，底面正三角形的边长为 a，侧棱长为 b，且a b0，点 D 是四边形 BB1C1C 的两条对角线的交点，则当直线 AD 与侧面 ABB1A1所成角的正切值取得最小值时，正三棱柱 ABCA1B1C1的体积是( )A. a3 B. a334 38C. a3 D. a3312 324解析：如图所示，取 BC 的中点 E，连接 DE.过点 E 作 EF AB 于点F，过点 D 作 DG EF 交平面 ABB1A1于点 G，连接 AG， FG， AE.易知 DE 是 BCB1的中位线，所以 DE BB1.因为平面 ABB1A1平面 AB
8、C，平面 ABB1A1平面ABC AB， EF AB，所以 EF平面 ABB1A1.又 DG EF，所以 DG平面 ABB1A1.则 DAG 是直线 AD 与侧面 ABB1A1所成的角因为 DE BB1， DE平面 ABB1A1， BB1平面 ABB1A1，所以 DE平面 ABB1A1.因为平面 DEFG平面 ABB1A1 FG，所以 DE FG，又 DG EF，所以四边形 DEFG 是平行四边形所以 GD EF sin 60AC a， FB cos 60AC a，所以 AF a.12 34 12 14 34又 FG DE CC1 b，所以 AG .12 12 AF2 FG2 34a 2 12
9、b 2 916a2 14b24在 Rt DAG 中，tan DAG ，GDAG34a916a2 14b2 3a9a2 4b2 3a29a2 4b2 39 4b2a2因为 a b0，所以 b2 a2，得 0 1，所以 tan DAG b2a2 39 4b2a2 39 41，当且仅当 a b 时取等号，故直线 AD 与侧面 ABB1A1所成角的正切值的最小值是 ，3913 3913此时正三棱柱 ABCA1B1C1的体积 V aa a a3.故选 A.12 32 34答案：A二、填空题7在古代将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，已知四面体 ABCD 为鳖臑，AB平面 BCD，且 AB BC C
10、D，若此四面体的体积为 ，则其外接球的表面积为36 833_解析：四面体 ABCD 为鳖臑，则由题意可知 BCD 中只能 BCD 为直角，则四面体ABCD 的体积为 CD CD CD ，解得 CD 4 .易知外接球的球心为 AD 的中13 12 36 36 833 3点，易求得 AD2 ，所以球的半径为 ，所以球的表面积为 56.14 14答案：568如图，已知在四棱锥 PABCD 中， PA底面 ABCD， PA2 ，底面 ABCD 是边长为 42的正方形， M， N 分别是 AB， AD 上的动点， E 为 MN 上一点，满足 MN平面 PAE，且PE AE，则 PMN 的面积的最小值是_
11、2解析： MN平面 PAE， PE平面 PAE， MN PE， MN AE，又 PE AE， S PMN2S AMN，则求 PMN 的面积的最小值转化为求 AMN 的面积的最小值 PA底面2ABCD， PA AE，又 PE AE， APE ，则 AE2 .设 AM m， AN n，则在 Rt2 4 2AMN 中， AMAN AEMN，即 mn2 2 ， mn16，当且仅当2 m2 n2 2 2mnm n4 时等号成立， S PMN S AMN 168 .2 212 2答案：8 259有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是顶角的余弦值为 0.5 的等腰三角形在容器内放一个半径为 r 的铁球，并注水，使
12、水面与球正好相切，然后将球取出，则这时容器中水的深度为_解析：如图所示，作出轴截面，因轴截面是顶角的余弦值为 0.5的等腰三角形，所以顶角为 60，所以该轴截面为正三角形根据切线性质知当球在容器内时，水的深度为 3r，水面所在圆的半径为 r，3则容器内水的体积 V ( r)23r r3 r3.将球取出后，设13 3 43 53容器中水的深度为 h，则水面圆的半径为 h，从而容器内水的体积33V 2h h3，由 V V，得 h r，所以这时容器中水的深度为 r.13 (33h) 19 315 315答案： r31510如图，在边长为 2 的正方形 ABCD 中，圆心为 B，半径为 r(0 r2)
13、的圆与AB、 BC 分别交于 E、 F 两点，且 sin CDF ，则阴影部分绕直线 BC 旋转一周后形成的几55何体的表面积为_解析：由旋转体的定义可知，阴影部分绕直线 BC 旋转一周后形成的几何体为圆柱中挖掉一个半球和一个圆锥，其表面为阴影部分的边界线绕 BC 旋转一周后形成的图形在 Rt DCF 中，由 sin CDF 可得 tan CDF ，故 CF CD1，所以 BF BE1.55 12 12线段 AD 绕直线 BC 旋转一周后形成圆柱的侧面，该圆柱的底面半径为 2，母线长为2，故该圆柱的侧面积 S12228；线段 AE 绕直线 BC 旋转一周后形成一个圆环，大圆的半径为 2，小圆的
14、半径为 1，故该圆环的面积 S22 21 23；圆弧 绕直线 BC 旋转一周后形成一个半球面，所在球的半径为 1，故其表面积 S3EF41 22；12线段 DF 绕直线 BC 旋转一周后形成一个圆锥的侧面，圆锥的底面半径为 2，母线长为 ，故其表面积 S42 2 .5 5 5所以阴影部分绕直线 BC 旋转一周后形成的几何体的表面积S S1 S2 S3 S48322 (132 ).5 56答案：(132 )5三、解答题11现需设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥 PA1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱 ABCDA1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高 O1O 是正四棱
15、锥的高 PO1的 4 倍(1)若 AB6 m， PO12 m，则仓库的容积是多少？(2)若正四棱锥的侧棱长为 6 m，则当 PO1为多少时，仓库的容积最大？解析：(1)由 PO12 知 O1O4 PO18.因为 A1B1 AB6，所以正四棱锥 PA1B1C1D1的体积V 锥 A1B PO1 62224(m 3)；13 21 13正四棱柱 ABCDA1B1C1D1的体积V 柱 AB2O1O6 28288(m 3)所以仓库的容积V V 锥 V 柱 24288312(m 3)(2)设 A1B1 a m， PO1 h m，则 0 h6， O1O4 h.连接 O1B1.因为在 Rt PO1B1中，O1B
16、 PO PB ，21 21 21所以 2 h236，(2a2)即 a22(36 h2)，0 h6，于是仓库的容积 V V 柱 V 锥 a24h a2h a2h (36h h3)，0 h6.13 133 263从而 V (363 h2)26(12 h2)263令 V0，得 h2 或 h2 (舍)3 3当 0 h2 时， V0， V 是单调递增函数；3当 2 h6 时， V0， V 是单调递减函数3故当 h2 时， V 取得极大值，也是最大值3因此，当 PO12 m 时，仓库的容积最大3712如图，已知异面直线 a， b 成 60角，其公垂线段(指与 a， b 直线垂直相交的线段)EF2，长为 4
17、 的线段 AB 的两端点 A， B 分别在直线 a， b 上运动(1)指出 AB 中点 P 的轨迹所在位置；(2)求 AB 中点 P 的轨迹所在的曲线方程解析：(1)设 EF 的中点 O，而 P 为 AB 的中点，故 O， P 在 EF 的中垂面 上，从而 P点轨迹在 EF 的中垂面 上(2)设 A， B 在面 上的射影为 C， D，则由 AP PB2， AC BD1，得 CD2 .因为3a OC， b OD，所以 COD60 .在平面 内，以 O 为原点， COD 的角平分线为 x 轴的正半轴建立直角坐标系如图设 C 点的坐标为( t1， t1)， D 点坐标为3( t2， t2)，则 P 点坐标( x， y)3满足Error!因为 CD2 ，3所以 (t1 t2)2( t1 t2)212.3所以 y21，故 P 点轨迹在 EF 的中垂面 上，且轨迹为椭圆x29
