1、12.1.1 指数与指数幂的运算（第一课时）本节开始我们将在回顾平方根和立方根的基础上，类比出正数的 n 次方根的定义，从而把指数推广到分数指数进而推广到有理数指数，再推广到实数指数，并将幂的运算性质由整数指数幂推广到实数指数幂教材为了让学生在学习之外就感受到指数函数的实际背景，先给出两个具体例子：GDP 的增长问题和碳 14 的衰减问题前一个问题，既让学生回顾了初中学过的整数指数幂，也让学生感受到其中的函数模型，并且还有思想教育价值后一个问题让学生体会其中的函数模型的同时，激发学生探究分数指数幂、无理数指数幂的兴趣与欲望，为新知识的学习作了铺垫本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法，如推
2、广的思想(指数幂运算律的推广)、类比的思想、逼近的思想(有理数指数幂逼近无理数指数幂)、数形结合的思想(用指数函数的图象研究指数函数的性质)等，同时，充分关注与实际问题的结合，体现数学的应用价值21.教学重点：n 次方根概念及性质、根式与分数指数幂的互化与有理指数幂的运算性质2.教学难点：根式概念、n 次方根的性质、分数指数幂概念的理解及有理指数幂的运算（1）复习引入什么是平方根？什么是立方根？一个数的平方根有几个，立方根呢？归纳：在初中的时候我们已经知道：若，则叫做 a 的平方根.同理，若，则叫做 a 的立方根.根据平方根、立方根的定义，正实数的平方根有两个，它们互为相反数，如 4 的平方根
3、为，负数没有平方根，一个数的立方根只有一个，如8 的立方根为2；零的平方根、立方根均为零. （二）形成概念零的 n 次方根为零，记为举例：16 的次方根为 ，等等，而 的 4 次方根不存在.小结：一个数到底有没有 n 次方根，我们一定先考虑被开方数到底是正数还是负数，还要分清 n 为奇数和偶数两种情况.3根据 n 次方根的意义，可得：肯定成立， 表示 an的 n 次方根，等式 一定成立吗？如果不一定成立，那么 等于什么？让学生注意讨论， n 为奇偶数和 a 的符号，充分让学生分组讨论.通过探究得到： n 为奇数，n 为偶数, 如小结：当 n 为偶数时， 化简得到结果先取绝对值，再在绝对值算具体
4、的值，这样就避免出现错误.例 1：求下列各式的值【分析】：当 n 为偶数时，应先写 ，然后再去绝对值.2.观察以下式子，并总结出规律： 0 4小结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数作为指数的形式， （分数指数幂形式）.根式的被开方数不能被根指数整除时，根式是否也可以写成分数指数幂的形式.如：即： 义为：正数的定负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相同.即：规定：0 的正分数指数幂等于 0，0 的负分数指数幂无意义.说明：规定好分数指数幂后，根式与分数指数幂是可以互换的，分数指数幂只是根式的一种新的写法，而不是由于整数指数幂，分数指数幂都有意义，因此，有理数指数幂是有意义的
5、，整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：若 0，P 是一个无理数，则 P 该如何理解？为了解决这个问题，引导学生先阅读课本 P57P58.即： 的不足近似值，从由小于 的方向逼近 ， 的过剩近似值从大于的方向逼近 .所以，当 不足近似值从小于 的方向逼近时， 的近似值从小于 的方向逼5近 .当 的过剩似值从大于 的方向逼近 时， 的近似值从大于 的方向逼近，(如课本图所示) 所以， 是一个确定的实数.一般来说，无理数指数幂是一个确定的实数，有理数指数幂的性质同样适用于无理数指数幂.无理指数幂的意义，是用有理指数幂的不足近似值和过剩近似值无限地逼近以确定大小.思考： 的含义是什么？由
6、以上分析，可知道，有理数指数幂，无理数指数幂有意义，且它们运算性质相同，实数指数幂有意义，也有相同的运算性质，即：例 2（P 56，例 2）求值； ； ； .例 3（P 56，例 3）用分数指数幂的形式表或下列各式（ 0）6； ； .分析：先把根式化为分数指数幂，再由运算性质来运算.解： ；.例 4.计算下列各式（式中字母都是正数）： ； .解：原式=2(-6)(-3) ；原式=说明：该例是运用分数指数幂的定义和运算性质进行计算的题，第小题是仿照单项式乘除法进行的，首先将系数相乘除，然后将同底数的幂相乘除；第小题是先按积的乘方计算，再按幂的乘方计算，在计算过程中要特别注意符号. 同学们在下面做
7、题中，刚开始时，要严格按照象例题一样的解题步骤进行，待熟练以后再简化计算步骤.:例 5. 计算下列各式：（1） ；（2） (a0).说明：本例是利用分数指数幂来进行根式计算，其顺序是先把根式化为分数指数幂，再根据幂的运算性质进行计算；对于计算结果，若没有特别要求，就用分数指数幂的形式表示，若有特殊要求，可根据要求给出结果，但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数（三）达标检测1下列运算结果中，正确的是( )7A a2a3 a5 B( a2)3( a3)2C(1) 01 D( a2)3 a6【解析】 a2a3 a23 a5；( a2)3 a6( a3)2 a6；(1) 01，
8、若成立，需要满足 a1；( a2)3 a6，故选 A.【答案】 A2下列各式中成立的一项是( )A.Error!7 n7mError! B.Error!Error!C.Error!( x y)Error! D.Error!Error!【解析】 A 中应为 Error!7 n7m7 ；B 中等式左侧为正数，右侧为负数；C 中 x y1时不成立；D 正确【答案】 D3.Error!(a0)的值是( )A 1 B aC aError! D aError!【解析】 原式 a3a Error!a Error! a3 Error! Error! aError!.【答案】 D4计算：0.25Error! 4 42 0Error! Error!_.【答案】 4
