1、3.3 幂函数,目标导航,新知探求,课堂探究,新知探求素养养成,点击进入 情境导学,知识探究,1.一般地,形如 (R)的函数叫做幂函数,其中 是自变量, 是常数. 2.幂函数随着的取值不同,它们的定义域、性质和图象也不尽相同,但它们有一些共同的性质: (1)所有的幂函数在 上都有定义,并且图象都通过点 . (2)如果0,则幂函数的图象通过 ,并且在区间0,+)上是 .,x,y=x,(0,+),(1,1),原点,增函数,(3)如果0,则幂函数在区间(0,+)上是 .在第一象限内,当x从右边趋于原点时,图象在y轴右方无限地逼近 轴,当x趋向于+时,图象在x轴上方无限地逼近x轴. (4)如果幂函数图
2、象过第三象限,则一定过点 .,减函数,y,(-1,-1),【拓展延伸】 各种幂函数的图象和性质 当指数=1时,y=x的图象是直线;当=0时,y=x0=1是断直线(除点(0,1),除此以外幂函数的图象都是曲线.,幂函数y=x的图象在第一象限内具有如下特征:直线x=1,y=1,y=x将直角坐标平面在第一象限的直线x=1的右侧分为三个区域、,如图. 则(1,+)y=x的图象经过区域内; (0,1)y=x的图象经过区域内; (-,0)y=x的图象经过区域内. 并且在直线x=1的右侧,从x轴起,幂函数y=x的指数由小到大递增,即“指大图高”“指小图低”,在直线x=1的左侧,图象从下到上,相应的指数由大变
3、小.,自我检测,1.下列所给出的函数中,是幂函数的是( ) (A)y=-x3 (B)y=x-3 (C)y=2x3 (D)y=x3-1,B,解析:由幂函数的定义知,只有B符合.,D,3.若幂函数f(x)=x在(0,+)上是增函数,则( ) (A)0 (B)0 (C)=0 (D)的大小不能确定,解析:当0时,f(x)=x在(0,+)上是增函数,选A.,A,答案:(-,+) 偶函数,类型一,幂函数的概念,课堂探究素养提升,方法技巧 根据幂函数的解析式特征求解.幂函数解析式的结构特征:(1)解析式是单项式;(2)幂指数为常数,底数为自变量,系数为1.,变式训练1-1:(1)如果幂函数y=(m2-3m+
4、3) 的图象不过原点,则m的取值是( ) (A)-1m2 (B)m=1或m=2 (C)m=2 (D)m=1 (2)已知幂函数y=f(x)的图象经过点(9,3),则f(100)= .,解析:(1)由幂函数的定义知m2-3m+3=1,所以m=1或m=2.又图象不过原点,所以m2-m-20,经验证m=1或m=2均适合.所以选B.,答案:(1)B (2)10,类型二,幂函数的图象,思路点拨:根据幂函数的图象特征确定相应的图象. 解析:由第一、二、三个图象在第一象限的单调性知,0,而第一个图象关于原点对称,为奇函数,第二个图象关于y轴对称,为偶函数;第三个在y轴左侧无图象,故这三个图象分别填. 由第四、
5、五、六个图象在第一象限的特征知,01,再由其奇偶性及定义域知这三个图象应依次填. 第七个图象对应的幂指数大于1,故填. 答案:,方法技巧,类型三,比较大小,思路点拨:本题是利用幂函数比较大小的基本题型,可利用幂函数的单调性或借助中间量(如“1”)进行比较.,(3)0.70.8与0.80.7;,解:(3)因为y=x0.8是增函数,0.70.8, 所以0.70.80.80.8. 又因为y=0.8x是减函数,0.70.8, 所以0.80.80.80.7. 所以0.70.80.80.80.80.7,即0.70.80.80.7.,方法技巧 比较幂值的大小,关键在于构造适当的函数,若指数相同而底数不同,则考虑幂函数;若指数不同底数相同,则考虑指数函数;若底数不同,指数也不同,需引入中间量,利用幂函数与指数函数的单调性,也可以借助幂函数与指数函数的图象.,类型四,易错辨析,谢谢观赏！,
