1、2.1.4 函数的奇偶性,目标导航,新知探求,课堂探究,新知探求素养养成,点击进入 情境导学,知识探究,1.奇函数的定义,都有xD,f(-x)=-f(x),偶函数的定义,都有-xD,2.如果一个函数是奇函数,则这个函数的图象是以 为对称中心的中心对称图形;反之,如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形,则这个函数是 . 如果一个函数是偶函数,则它的图象是以 为对称轴的轴对称图形.反之,如果一个函数的图象关于y轴对称,则这个函数是 .,坐标原点,奇函数,y轴,偶函数,【拓展延伸】,2.函数按奇偶性可分为四类: (1)奇函数:对于定义域D内的任意一个x,且-xD,恒有f(-x)=-f
2、(x)成立. (2)偶函数:对于定义域D内的任意一个x,且-xD,恒有f(-x)=f(x)成立. (3)既奇又偶函数:对于定义域D内的任意一个x,且-xD,恒有f(-x)=-f(x),f(-x)=f(x)成立. (4)非奇非偶函数:对于定义域D内的任意一个x,且-xD,f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)都不成立.,3.奇函数、偶函数的和差积商:在函数的公共定义域上,偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数,奇函数的和差仍为奇函数,奇(偶)数个奇函数的积商(分母不为零)为奇(偶)函数. 4.若奇函数在原点处有定义,则由奇函数的定义有f(-0)=-f(0),即f(0)=0,利用这一
3、性质可以快速解决与奇函数有关的求值问题. 5.奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同,而偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反. 6.若函数y=f(x+a)是偶函数,则f(x+a)=f(-x+a),此时函数y=f(x)关于直线x=a对称;若函数y=f(x+a)是奇函数,则f(x+a)=-f(-x+a),此时函数y=f(x)关于点(a,0)对称.,自我检测,1.函数f(x)=x4+2x2的图象( ) (A)关于原点对称 (B)关于x轴对称 (C)关于y轴对称 (D)关于直线y=x对称,C,解析:由f(-x)=f(x)知函数为偶函数,故图象关于y轴对称.,2.奇函数y=f(x)(xR)的图象必定经
4、过点( ),C,解析:因为f(x)是奇函数, 所以f(-a)=-f(a), 所以f(x)经过点(-a,-f(a),选C.,C,4.(2018贵州贵阳期末)已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,且当x0时,f(x)=2x-3,则f(-2)的值为 .,解析:因为x0时,f(x)=2x-3.所以f(2)=22-3=1. 因为f(x)为奇函数,故f(-2)=-f(2)=-1, 答案:-1,类型一,判断函数的奇偶性,课堂探究素养提升,思路点拨:利用定义判断.先求定义域.在定义域关于原点对称之下,再判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否成立,从而确定奇偶性.,(3)f(-2)=(-2)2
5、-2(-2)-1=7, f(2)=22-22-1=-1. 所以f(-2)-f(2)且f(-2)f(2), 所以f(x)为非奇非偶函数. (4)定义域为(-,0)(0,+). 当x0时,-x0, 所以f(-x)=(-x)2-(-x)=x2+x=f(x). 所以f(x)为偶函数.,方法技巧,(2)若函数定义域关于原点对称且f(-x)=-f(x),f(-x)=f(x)同时成立,则该函数既是奇函数,又是偶函数,其形式必为f(x)=0,xD(D关于原点对称).,解:(1)f(x)定义域为R. 因为f(-x)=(-x)3-(-x)=-x3+x=-(x3-x)=-f(x), 所以f(x)为奇函数. (2)由
6、已知可得,函数f(x)的定义域为(-,1)(1,+),所以定义域不关于原点对称,所以函数为非奇非偶函数.,类型二,奇、偶函数的图象特点,【例2】 (2018广西玉林月考)已知奇函数f(x)在x0时的图象如图所示,则不等式xf(x)0的解集为( )(A)(1,2) (B)(-2,-1) (C)(-2,-1)(1,2) (D)(-1,1),解析:因为函数f(x)是奇函数,所以图象关于原点对称,如图,补全当x0时,f(x)0,所以此时-2x-1,所以不等式xf(x)0的解集为(-2,-1)(1,2),故选C.,方法技巧 利用函数的奇偶性作图,其依据是奇函数图象关于原点对称,偶函数图象关于y轴对称.,
7、变式训练2-1:已知偶函数f(x)的一部分图象如图所示, (1)请画出f(x)的另一部分图象;,解:(1)由题意,f(x)的图象关于y轴对称,作图如图所示.,(2)判断f(x)是否有最大值或最小值; (3)设f(x)=0的根为x1,x2,求x1+x2.,解:(2)由图象知f(x)有最小值,无最大值. (3)因为f(x)的图象关于y轴对称,所以x1,x2互为相反数,从而x1+x2=0.,类型三,由奇偶性求解析式,【例3】 已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x0时,f(x)=x2-2x+1,求f(x)在R上的解析式.,解:因为f(x)是R上的奇函数,且x0时 f(x)=x2-2x+1, 当x0
8、, 所以f(-x)=x2+2x+1, 又f(-x)=-f(x), 所以f(x)=-x2-2x-1. 又f(x)是定义在R上的奇函数,则f(0)=0.,方法技巧 利用函数的奇偶性求解函数的解析式,主要利用函数奇偶性的定义.求解一般分以下三个步骤:(1)设所求函数解析式中所给的区间上任一个x,即求哪个区间上的解析式,就设x在哪个区间上.(2)把所求区间内的变量转化到已知区间内.(3)利用函数奇偶性的定义f(x)=-f(-x)或f(x)=f(-x)求解所求区间内的解析式.,变式训练3-1:已知f(x)是定义在R上的偶函数,当x0时,f(x)=x3+x+1,求f(x)的解析式.,类型四,奇偶性与单调性
9、的综合应用,方法技巧 (1)解决有关函数的奇偶性、单调性以及求参数取值范围的综合问题时,一般先利用奇偶性得出相应区间上的单调性,再利用单调性脱去函数的符号“f”,转化为解不等式(组)的问题.需要注意的是:在转化时,自变量的取值必须在同一单调区间上. (2)对于偶函数可以利用f(x)=f(-x)=f(|x|)的性质,将问题转化为函数在0,+)上的单调性求解.,变式训练4-1:(2017全国卷)函数f(x)在(-,+)单调递减,且为奇函数.若f(1)=-1,则满足-1f(x-2)1的x的取值范围是( ) (A)-2,2 (B)-1,1 (C)0,4 (D)1,3,解析:因为f(x)是奇函数,且f(1)=-1, 所以f(-1)=-f(1)=1. 所以f(1)f(x-2)f(-1). 又因为f(x)在(-,+)上单调递减, 所以-1x-21. 所以1x3.故选D.,类型五,易错辨析,纠错:错解忽略了定义域的限制条件,奇偶函数的前提是函数的定义域必须关于原点对称,错解没有求函数的定义域.,谢谢观赏！,
