1、2.2.2 二次函数的性质与图象,目标导航,新知探求,课堂探究,新知探求素养养成,点击进入 情境导学,知识探究,1.函数 叫做二次函数,它的定义域是 .当 时,二次函数变为y=ax2(a0),它的图象是一条顶点为原点的抛物线, 时,抛物线开口向上,a0时,抛物线 ,这个函数是 函数. 2.二次函数f(x)=a(x-h)2+k有如下性质: (1)函数的图象是一条抛物线,抛物线顶点的坐标是 ,对称轴是 ;,y=ax2+bx+c(a0),b=c=0,R,开口向下,偶,(h,k),x=h,a0,(2)当a0时,抛物线的开口向上,函数在x=h处取最小值ymin= ,在区间 上是减函数,在 上是增函数;
2、(3)当a0时,抛物线开口向下,函数在 处取最大值ymax= ,在区间 上是增函数,在 上是减函数.3.函数y=ax2+bx+c(a0)配方后为: .,k=f(h),(-,h,h,+),x=h,k=f(h),(-,h,h,+),【拓展延伸】,2.二次函数在闭区间上的最值 对于二次函数f(x)=a(x-h)2+k(a0)在区间m,n上的最值可作如下讨论:(其中f(x)max表示最大值,f(x)min表示最小值) (1)对称轴x=h在区间m,n左侧,即hn时, f(x)max=f(m),f(x)min=f(n).,自我检测,1.抛物线y=-5x2不具有的性质是( ) (A)开口向下 (B)对称轴是
3、y轴 (C)与y轴不相交 (D)最高点是原点,C,解析:由y=-5x2,知该抛物线的开口向下,对称轴为y轴,顶点坐标为(0,0),与y轴交于点(0,0).,2.二次函数y=-2(x+1)2+8的最值情况是( ) (A)最小值是8,无最大值 (B)最大值是-2,无最小值 (C)最大值是8,无最小值 (D)最小值是-2,无最大值,C,解析:因为二次函数的图象开口向下, 故无最小值,且当x=-1时,y最大值=8.故选C.,3.已知二次函数y=x2-2x+1,则它的图象大致为( ),B,解析:由y=(x-1)2,可知其图象开口向上,顶点为(1,0).故选B.,4.将函数y=3x2的图象向 平移2个单位
4、,再向 平移3个单位,就得到y=3(x+2)2-3的图象.,答案:左 下,类型一,二次函数的图象与性质,课堂探究素养提升,【例1】 (1)已知二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象如图所示,则下列结论中正确的是( ) (A)a0 (B)在(1,+)上,函数单调递增 (C)c0 (D)3是方程ax2+bx+c=0的一个根,解析:(1)因为抛物线开口向下,所以a0,所以选项C错误; 又因为对称轴为x=1, 所以当x(1,+)时,函数单调递减,所以选项B错误; 又因为x=-1是ax2+bx+c=0(a0)的一个根,而另一个根到1的距离与-1到1的距离相等, 所以另一根为3,所以选项D正确.故选D
5、.,(2)函数f(x)=x2-(m+1)x+m2在(3,+)上单调递增,则m的取值范围是( ) (A)(-,5) (B)(-,5 (C)5,+) (D)(5,+),方法技巧 二次函数的开口方向、对称轴、顶点等性质,一定要和相应函数的图象对应好,解题时要注意运用数形结合思想.,变式训练1-1:(1)函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-,4上是减函数,则a的取值范围是( ) (A)(-,-3 (B)-3,+) (C)(-,3 (D)3,+),解析:(1)要使二次函数f(x)在(-,4上是减函数,则其对称轴需在x=4的右边.所以-(a-1)4,解得a-3.故选A.,(2)二次函数y=ax
6、2+bx+c的图象如图所示,则下列关系式不正确的是( ) (A)a0 (C)a+b+c0 (D)b2-4ac0,类型二,二次函数的最值,思路点拨: 首先用配方法确定抛物线的顶点坐标或对称轴,再看(1),(2),(3)各区间内是否包含对称轴(数值),从而确定各区间的性质后求其最值.,【例2】 已知二次函数y=f(x)=x2-2x+2. (1)当x0,4时,求f(x)的最值; (2)当x2,3时,求f(x)的最值; (3)当xt,t+1时,求f(x)的最小值g(t).,解: y=f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1. 所以抛物线对称轴为x=1. (1)因为x=10,4,且a=10, 所以当x
7、=1时,y有最小值,ymin=f(1)=1. 因为f(0)=2f(4)=10, 所以当x=4时,y有最大值,ymax=f(4)=10. (2)因为12,3,且12, 所以f(x)在2,3上是单调增函数. 所以当x=2时,y有最小值,ymin=f(2)=2, 当x=3时,y有最大值,ymax=f(3)=5.,方法技巧 二次函数求最值问题:首先要采用配方法,化为y=a(x-h)2+k的形式,得顶点(h,k)或对称轴方程x=h,可分为三个类型. (1)轴固定,区间也固定. (2)轴变动,区间固定,这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内,何时在区间之外. (3)轴固定,区间变动,这时要讨论区间中的参数,确
8、定轴与区间的相对位置.,变式训练2-1:二次函数y=x2+2ax-3,x1,2,求函数的最小值.,类型三,确定二次函数的解析式,思路点拨:由于题中给出了顶点坐标,可用顶点式设出二次函数,再由g(x)确定a的值. 解:如果二次函数的图象与y=ax2的图象开口大小相同,开口方向也相同,可知二次项系数相同,若顶点坐标为(h,k),则其解析式为y=a(x-h)2+k.,【例3】 二次函数f(x)与g(x)的图象开口大小相同,开口方向也相同.已知函数g(x)的解析式和f(x)图象的顶点,写出函数f(x)的解析式. (1)函数g(x)=x2,f(x)图象的顶点是(4,-7); (2)函数g(x)=-2(x
9、+1)2,f(x)图象的顶点是(-3,2).,(1)因为f(x)与g(x)=x2的图象开口大小相同,开口方向也相同,f(x)的图象的顶点是(4,-7), 所以f(x)=(x-4)2-7=x2-8x+9. (2)因为f(x)与g(x)=-2(x+1)2的图象开口大小相同,开口方向也相同,且g(x)=-2(x+1)2与y=-2x2的图象开口大小相同,开口方向也相同. 又因为f(x)图象的顶点是(-3,2), 所以f(x)=-2(x+3)2+2=-2x2-12x-16.,方法技巧 二次函数常见设法: (1)一般式:y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a0). (2)顶点式:y=a(x-h)2+k
10、(a,h,k为常数,a0). (3)两根式:y=a(x-x1)(x-x2)(a,x1,x2是常数,a0). 要确定二次函数解析式,就是要确定解析式中的待定系数(常数),当已知抛物线上任意三点时,通常设函数解析式为一般式y=ax2+bx+c,然后列出三元一次方程组求解;当已知抛物线的顶点坐标和抛物线另一条件时,通常设函数解析式为顶点式y=a(x-h)2+k,再利用另一条件求解a;当已知抛物线与x轴交点或交点的横坐标时,通常设函数解析式为两根式y=a(x-x1)(x-x2)求解.,变式训练3-1:已知二次函数f(x)同时满足条件: f(1+x)=f(1-x);f(x)的最大值为15;f(x)=0的
11、两根的立方和等于17.求f(x)的解析式.,类型四,易错辨析,【例4】 已知函数y=x2-2x+3在区间0,m上有最大值3,最小值2,求实数m的取值范围.,错解:因为y=x2-2x+3=(x-1)2+2, 所以当x=0时,y=3;当x=1时,y=2, 且当x0,1时,y=x2-2x+3为减函数, 所以当m=1时,ymax=3,ymin=2. 纠错:错解只注意到二次函数在0,m上为递减时的情形,而忽略了二次函数的轴对称性,故当1m2时也有可能满足ymax=3,ymin=2.,正解:y=x2-2x+3=(x-1)2+2,则函数图象的对称轴是x=1,顶点坐标为(1,2),图象大致如图. 因为函数的最小值为2, 所以10,m, 又当ymax=3时,解x2-2x+3=3得 x=0或x=2,由图象知1m2.,谢谢观赏！,
