1、2.3 直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.1 直线与平面垂直的判定,目标导航,新知探求,课堂探究,新知探求素养养成,点击进入 情境导学,知识探究,1.直线与平面垂直的概念 如果直线l与平面内的 都垂直,就说直线l与平面互相垂直,记作 ,直线l叫做平面的 ,平面叫做直线l的 ,直线与平面垂直时,它们唯一的公共点叫做 . 探究1:若直线a平面,直线b,则a与b互相垂直吗? 答案:垂直.,任意一条直线,l,垂线,垂面,垂足,2.直线与平面垂直的判定定理,两条相交直线,ab=P,探究2:若直线ab,直线ac,且b,c,直线a平面吗? 答案:不一定垂直,当b与c相交时,a平面.,3.直线与平面所成的
2、角 (1)如图,一条直线PA和一个平面相交,但不和这个平面 ,这条直线叫做这个平面的斜线,斜线和平面的交点A叫做 ,过斜线上 的一点向平面引垂线PO,过垂足O和 的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影,平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的 ,叫做这条直线和这个平面所成的角.,垂直,斜足以外,斜足,斜足A,锐角,(2)一条直线垂直于平面,称它们所成的角是 ;一条直线在平面内或一条直线和平面平行,称它们所成的角是 的角,于是,直线与平面所成的角的范围是090.,直角,0,自我检测,1.(线面垂直的性质)已知直线a平面,直线b平面,则a与b的关系为( ) (A)ab (B)ab (C)a,b相交不垂
3、直 (D)a,b异面不垂直,B,2.(线面垂直定理的理解)下列条件中,能使直线m的是( ) (A)mb,mc,b,c (B)mb,b (C)mb=A,b (D)mb,b,D,3.(线面垂直的判定)若三条直线OA,OB,OC两两垂直,则直线OA垂直于( ) (A)平面OAB (B)平面OAC (C)平面OBC (D)平面ABC,C,4.(直线与平面所成的角)空间四边形ABCD的四边相等,则它的两对角线AC,BD的关系是( ) (A)垂直且相交 (B)相交但不一定垂直 (C)垂直但不相交 (D)不垂直也不相交,C,解析:取BD的中点O,连接AO,CO, 则BDAO,BDCO, 所以BD平面AOC,
4、BDAC,又BD,AC异面,故选C.,5.(直线与平面所成的角)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AC1与底面ABCD所成角的正弦值为 .,答案:,题型一,线面垂直的概念与定理的理解,【例1】列说法中正确的个数是( ) 若直线l与平面内一条直线垂直,则l; 若直线l与平面内两条直线垂直,则l; 若直线l与平面内两条相交直线垂直,则l; 若直线l与平面内任意一条直线垂直,则l; 若直线l与平面内无数条直线垂直,则l. (A)1 (B)2 (C)3 (D)4,课堂探究素养提升,解析:由直线与平面垂直的判定定理和定义知正确的是,故选B.,方法技巧 线面垂直的判定定理中,直线垂直于平面内的两条相交
5、直线,“相交”两字必不可少,否则,就是换成无数条直线,这条直线也不一定与平面垂直.,即时训练1-1:下列说法中错误的是( ) 如果一条直线和平面内的一条直线垂直,该直线与这个平面必相交; 如果一条直线和平面的一条平行线垂直,该直线必在这个平面内; 如果一条直线和平面的一条垂线垂直,该直线必定在这个平面内; 如果一条直线和一个平面垂直,该直线垂直于平面内的任何直线. (A) (B) (C) (D),解析:由线面垂直的判定定理可得错误,正确.故选D.,D,【备用例1】 下列命题中,正确命题的序号是 . 若l不垂直于,则在内没有与l垂直的直线;过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条;若a,b,则ab
6、;若ab,a,则b.,解析:当l与不垂直时,l可能与内的无数条互相平行的直线垂直,故不正确;由于过一点有且只有一条直线与已知平面垂直.故正确;,显然正确. 答案:,题型二,直线与平面垂直的判定,【思考】 1.若把定理中“两条相交直线”改为“两条直线”,直线与平面一定垂直吗? 提示:当这两条直线平行时,直线可与平面相交但不一定垂直. 2.如果两条平行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面吗? 提示:垂直.,【例2】 (12分)在三棱锥P-ABC中,H为ABC的垂心,APBC,PCAB,求证:PH平面ABC.,变式探究:在三棱锥P-ABC中,H为ABC的垂心,且PH平面ABC,求证:
7、ABPC, BCAP.,方法技巧 利用直线与平面垂直的判定定理证明线面垂直的关键是在这个平面内找到两条相交直线,证明它们都和这条直线垂直.,证明:因为ACB=90, 所以BCAC. 又SA平面ABC,所以SABC. 又ACSA=A,所以BC平面SAC. 因为AD平面SAC,所以BCAD. 又SCAD,SCBC=C, 所以AD平面SBC.,即时训练2-1:如图,已知ABC中,ACB=90,SA平面ABC,ADSC于D,求证:AD平面SBC.,【备用例2】 如图,在锥体P-ABCD中,ABCD是菱形,且DAB=60,PA=PD,E, F分别是BC,PC的中点.证明:AD平面DEF.,题型三,直线与
8、平面所成的角,(1)证明:如图,连接A1B.在A1BC中,因为E和F分别是BC和A1C的中点,所以EFBA1.又因为EF平面A1B1BA,所以EF平面A1B1BA.,(1)求证:EF平面A1B1BA;,(2)求证:直线AE平面BCB1;,(3)求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小.,方法技巧 求平面的斜线与平面所成的角的一般步骤: (1)确定斜线与平面的交点(斜足);(2)通过斜线上除斜足以外的某一点作平面的垂线,连接垂足和斜足即为斜线在平面上的射影,则斜线和射影所成的锐角即为所求的角;(3)求解由斜线、垂线、射影构成的直角三角形.,即时训练3-1:(2018福州一中高一测试)已知正三棱锥
9、S-ABC的所有棱长都相等,则SA与平面ABC所成角的余弦值为 .,【备用例3】 (2015浙江卷)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,BAC=90, AB=AC=2,A1A=4,A1在底面ABC的射影为BC的中点,D是B1C1的中点.,(1)证明:设E为BC的中点,连接A1E,AE.由题意得A1E平面ABC,所以A1EAE. 因为AB=AC,所以AEBC. 故AE平面A1BC. 连接DE,由D,E分别为B1C1,BC的中点,得DEB1B且DE=B1B, 从而DEA1A且DE=A1A, 所以AA1DE为平行四边形. 于是A1DAE. 又因为AE平面A1BC,所以A1D平面A1BC.,(1)证
10、明:A1D平面A1BC;,(2)求直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值.,题型四,易错辨析忽视条件限制而致误,【例4】 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是AB,B1B,C1C的中点,求证:B1E平面A1FGD1.,错解:因为F,G分别为棱B1B,C1C的中点,所以BCFG. 因为BCAB,BCB1B,且B1BAB=B, 所以BC平面A1ABB1. 又因为B1E平面A1ABB1, 所以BCB1E, 即FGB1E. 同理A1D1B1E,所以B1E平面A1FGD1. 纠错:本题的错误在于只证明了直线和平面内的两条平行直线垂直,不符合判定定理的要求.根据线面垂直的判定定理,直线要垂直于平面内的两条相交直线时才能垂直于这个平面.,正解:因为E,F分别为AB,B1B的中点,且AB=B1B,所以B1F=BE. 所以RtA1B1FRtB1BE,所以B1A1F=BB1E. 因为B1A1F+B1FA1=90,所以B1FA1+BB1E=90, 所以B1EA1F. 因为F,G分别为棱B1B,C1C的中点,所以FGBC. 又因为BCBA,BCB1B,且BAB1B=B, 所以BC平面A1ABB1. 又因为B1E平面A1ABB1,所以BCB1E. 所以FGB1E. 因为FGA1F=F, 所以B1E平面A1FGD1.,谢谢观赏！,
