1、第2课时 等差数列前n项和的性质与应用,一,二,2.做 一做: (1)已知某等差数列共有10项,其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差为( ) A.5 B.4 C.3 D.2 (2)在等差数列an中,其前n项和为Sn,S2=4,S4=9,则S6= . 解析(1)设等差数列的公差为d,由题意,得S偶-S奇=30-15=5d,解得d=3. (2)S2,S4-S2,S6-S4成等差数列, 4+(S6-9)=25,解得S6=15. 答案(1)C (2)15,一,二,二、等差数列前n项和的最值 【问题思考】 1.如何求等差数列前n项和的最值?,2.做一做: (1)在等差数列an中,an=21-3
2、n,则当其前n项和Sn取最大值时,n的值等于 . (2)已知数列an的前n项和Sn=n2-48n,则Sn的最小值为 . 解析(1)由已知,得当n0,a7=0,当n7时,an0,所以当Sn取最大值时,n的值为6或7. (2)Sn=n2-48n=(n-24)2-576. nN*,当n=24时,Sn有最小值-576. 答案(1)6或7 (2)-576,判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的 画“”. (1)若等差数列an的前n项和为Sn,则S2n+1=(2n+1)an. ( ) (2)若等差数列an共有20项,则S奇S偶=a9a10. ( ) (3)若等差数列an的前n项和为Sn,
3、则S5,S10,S15也成等差数列.( ) (4)若无穷等差数列an的公差d0,则其前n项和Sn不存在最大 值. ( ) (5)若数列an为等差数列,则数列|an|一定不是等差数列. ( ) 答案(1) (2) (3) (4) (5),1,2,3,反思感悟利用等差数列前n项和的性质简化计算 (1)在解决等差数列问题时,先利用已知求出a1,d,再求所求,是基本解法,有时运算量大些; (2)如果利用等差数列前n项和的性质或利用等差数列通项公式的性质,那么可简化运算,为最优解法; (3)设而不求,整体代换也是很好的解题方法.,变式训练1(1)已知等差数列的前12项和为354,前12项中偶数项和与奇数
4、项和之比为3227,则公差d= . (2)在项数为2n+1的等差数列中,所有奇数项的和为165,所有偶数项的和为150,则n的值为 .,1,2,3,【例2】 在等差数列an中,Sn为前n项和,且a1=25,S17=S9,请问数列an前多少项和最大? 思路分析解答本题可用多种方法,根据S17=S9找出a1与d的关系,转化为Sn的二次函数求最值,也可以先用通项公式找到通项的变号点,再求解.,1,2,3,反思感悟已知等差数列an,求|an|的前n项和的步骤 1.确定通项公式an; 2.根据通项公式确定数列an中项的符号,即判断数列an是先负后正,还是先正后负; 3.去掉数列|an|中各项的绝对值,转
5、化为an的前n项和求解,转化过程中有时需添加一部分项,以直接利用数列an的前n项和公式; 4.将|an|的前n项和写成分段函数的形式.,1.一个等差数列共有10项,其偶数项之和是15,奇数项之和是12.5,则它的首项与公差分别是( ) A.0.5,0.5 B.0.5,1 C.0.5,2 D.1,0.5,2.已知Sn是等差数列an的前n项和,且Sn=20,S2n=80,则S3n=( ) A.130 B.180 C.210 D.260 解析因为Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍然构成等差数列,所以20,60,S3n-80成等差数列,所以260=20+S3n-80,解得S3n=180. 答案B,4.在数列an中,a1=32,an+1=an-4,则当n= 时,前n项和Sn取得最大值,最大值是 . 解析由an+1=an-4,得an为等差数列,且公差d=an+1-an=-4,故an=-4n+36. 令an=-4n+360,得n9,故当n=8或n=9时,Sn最大,且S8=S9=144. 答案8或9 144,5.在等差数列an中,Sn为其前n项和.若S2=16,S4=24,求数列|an|的前n项和Tn.,
