1、v 1、知识与技能：理解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示，会在简单问题中选用空间三个不共面向量作为基底表示其他向量。 v 2、过程与方法：通过类比、推广等思想方法，启动观察、分析、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会类比、推广的思想方法，对向量加深理解。 v 3、情感、态度与价值观：通过本节课的学习，养成积极主动思考，勇于探索，不断拓展创新的学习习惯和品质。教学目标1.共线向量定理 :复习回顾：推论 :如果 L为经过已知点 A，且平行于已知向量 的直线，那么对任一点 O，点 P在直线上的充要条件是存在实数 t，满足等式 ，其中向量 叫做直线 L的方向向量2.
2、共面向量定理 :推论 :空间一点 P位于平面 MAB内的充分必要条件是存在有序实数对 x,y，使 或对空间任一点 O，有 ,上面 式叫做平面 MAB的向量表达式3.平面向量基本定理：4.平面向量的正交分解及坐标表示xyo问题： 我们知道，平面内的任意一个向量 都可以用两个不共线的向量 来表示（平面向量基本定理）。对于空间任意一个向量，有没有类似的结论呢？xyzOQP 由此可知，如果 是空间两两垂直的向量，那么，对空间任一向量 ，存在一个有序实数组 x,y,z使得我们称 为向量 在 上的分向量。探究一 . 空间向量基本定理：思考： 在空间中，如果用任意三个不共面向量 代替两两垂直的向量 ，你能得
3、出类似的结论 吗？ 任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。空间向量基本定理：如果三个向量 不共面，那么对空间任一向量 ， 存在一个唯一的有序实数组 x， y，z，使都叫做 基向量 （ 1）任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。注意： 对于基底 a,b,c,除了应知道 a,b,c不共 面，还应明确： （ 2） 由于 可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是 。（ 3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关连的不同概念。应用举例例 1、 已知向量 a， b， c是空间的一个基底，那么向量 a b， a b
4、， c能构成空间的一个基底吗？为什么？解： a b， a b， c不共面，能构成空间一个基底 假设 a b， a b， c共面，则存在 x， y，使 c x(a b) y(a b)， c (x y)a (x y)b.从而由共面向量定理知， c与 a， b共面 这与 a、 b、 c不共面矛盾 a b， a b， c不共面 【 反思感悟 】 解有关基底的题，关键是正确理解概念，只有空间中三个不共面的向量才能构成空间向量的一个基底向量基底的判断 v 以下四个命题中正确的是 ( )v A空间的任何一个向量都可用其它三个向量表示v B若 a， b， c为空间向量的一组基底，则 a， b， cv 全不是零
5、向量v C ABC为直角三角形的充要条件是 v D任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基 底练习 1v解析 ：v 使用排除法因为空间中的任何一个向量都可用其他三个不共面的向量来表示，故A不正确；v ABC为直角三角形并不一定是角 A，可能是角 B，也可能是角 C ，故 C不正确；v 空间向量基底是由三个不共面的向量组成的，故 D不正确，故选 B.用基底表示向量BANCOMQP解：BANCOMQP【 反思感悟 】 利用空间的一个基底 a， b， c可以表示出所有向量注意结合图形，灵活应用三角形法则、平行四边形法则练习 2探究二、空间直角坐标系单位正交基底： 如果空间的一个基底的三个基向量互
6、相垂直，且长都为 1，则这个基底叫做单位正交基底，常用 i , j , k 表示空间直角坐标系： 在空间选定一点 O和一个单位正交基底 i、 j、 k 。以点 O为原点，分别以 i、 j、 k的正方向建立三条数轴： x轴、y轴、 z轴，它们都叫做坐标轴 .这样就建立了一个空间直角坐标系 O-xyz点 O叫做原点，向量 I、 j、 k都叫做坐标向量 .通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面。二、空间向量的直角坐标系xyzOe1 e2e3给定一个空间坐标系和向量 ,且设 e1,e2,e3为坐标向量，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组 (x,y, z)使 p = xe1+ye2+ze3 有序数组
7、( x, y, z)叫做 p在空间直角坐标系 O-xyz中的坐标，记作 .P=(x,y,z)在空间直角坐标系 O-xyz中，对空间任一点， A,对应一个向量 OA， 于是存在唯一的有序实数组 x,y,z， 使 OA=xe1+ye2+ze3在单位正交基底 e1, e2, e3中与向量 OA对应的有序实数组 (x,y,z)， 叫做点 A在此空间直角坐标系中的坐标，记作A(x,y,z)， 其中 x叫做点 A的横坐标， y叫做点 A的纵坐标，z叫做点 A的竖坐标 .xyzOA(x,y,z)e1 e2e31、在空间坐标系 o-xyz中， ( 分别是与 x轴、 y轴、 z轴的正方向相同的单位向量 )则 的
8、坐标为 。2、点 M（ 2， -3， -4）在坐标平面 xoy、 xoz、 yoz内的正投影的坐标分别为 ，关于原点的对称点为 ，关于 x轴的对称点为 ， 关于 y轴的对称点为 ，关于 z轴的对称点为 ，（ 1， -2， -3） （ 2， -3,4），（ 2,3， -4），（ -2， -3， -4） （ -2,3,4）（ 2,3,4）（ -2,-3,4）（ -2,3,-4）练习 3v例 3.已知 PA垂直于正方形 ABCD所在的平面，M、 N分别是 AB， PC的三等分点且 PN 2NC，AM 2MB， PA AB1，求 的坐标求空间向量的坐标解 PA=AB=AD=1，且 PA垂直于平面 AB
9、CD， AD AB， 可设 以 为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系【 反思感悟 】 空间直角坐标系的建立必须寻求三条两两垂直的直线在空间体中不具备此条件时，建系后要注意坐标轴与空间体中相关直线的夹角v在直三棱柱 中， AOB= ， |AO| = 4， |BO|= 2， D为 的中点，以 OA、 OB、 所在直线为 x轴、 y轴、 z轴建立空间直角坐标系 ， 求向量v 的坐标 .练习 4解：课堂小结1空间的一个基底是空间任意三个不共面的向量，空间的基底可以有无穷多个一个基底是不共面的三个向量构成的一个向量组，一个基向量指一个基底的某一个向量2.空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一个基底，基底选定以后，空间的所有向量均可由基底惟一表示3.由于零向量可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面，就隐含着它们都不是零向量 .(A)1个个 (B)2个个 (C)3个个 (D)4个个C1.当堂检测v2.已知三棱锥 A BCD.v(1)化简 并标出化简结果的向量；v(2)设 G为 BCD的重心，试用 ，表示v 向量 .祝同学们学习进步
