1、空间向量及其线性运算,一、平面向量复习,定义：,既有大小又有方向的量叫向量,几何表示法：,用有向线段表示；,字母表示法：,用字母a、b等或者用有向线段 的起点与终点字母 表示,相等的向量：,长度相等且方向相同的向量,2、平面向量的加法、减法与数乘运算,向量加法的三角形法则,平面向量的加法与数乘运算律,加法交换律：,abba,加法结合律：,(ab)ca(bc),数乘分配律：,(ab)ab,推广,(1)首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量即：,(2)首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则它们的和为零向量即：,二、空间向量及其加减与数乘运算,空间向量：,空间中具有大小
2、和方向的量叫做向量,定义：,表示方法：,空间向量的表示方法和平面向量一样；,空间任意两个向量都可以用同一平面 内的两条有向线段表示,同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量；,O,A,B,结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用 同一平面内的两条有向线段表示。 因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有 关结论仍适用于它们。,思考：空间任意两个向量是否能共面？,空间向量的加法、减法与数乘向量,a + b,a,a,O,P,a - b,O,B,C,O,B,C,(平面向量),向量加法结合律在空间中仍成立,A,A,O,A,B,C,O,A,B,C,(空间向量),向量加法结合律：,空间中
3、,空间向量加法与数乘向量运算律,加法交换律：,a + b = b + a；,加法结合律：,(a + b) + c =a + (b + c)；,数乘分配律：,(a + b) =a +b ；,对空间向量的加法、减法与数乘向量的说明,空间向量的运算就是平面向量运算的推广,两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立,空间向量的加法运算可以推广至若干个向量相加,C,A,B,D,平行六面体,平行四边形ABCD平移向量 a 到ABCD的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体记作ABCDABCD,A,B,C,D,平行六面体的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱,解：,始点相同的三个不共面向量之和，等
4、于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量-空间平行六面体法则,设M是线段CC的中点，则,解：,M,设G是线段AC靠近点A的三等分点，则,G,A,B,C,D,A,B,C,D,M,解：,例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，求满足下列各式的x的值。,例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，求满足下列各式的x的值。,解：,例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，求满足下列各式的x的值。,解：,A,B,M,C,G,D,练习一：空间四边形ABCD中,M、G分别是BC、CD边的中点,化简：,A,B,M,C,G,D,(2)原式,练习一：空间四边形ABCD中,
5、M、G分别是BC、CD边 的中点,化简：,平面向量,概念,加法 减法 数乘 运算,运 算 律,定义,表示法,相等向量,减法:三角形法则,加法:三角形法则或 平行四边形法则,空间向量,具有大小和方向的量,数乘:ka,k为正数,负数,零,加法交换律,加法结合律,数乘分配律,小结,类比、数形结合,数乘:ka,k为正数,负数,零,练习二：在正方体ABCD-ABCD中,点E是面AC的中心,求下列各式中的x、y的值.,练习二：在正方体ABCD-ABCD中,点E是面 AC的中心,求下列各式中的x、y的值.,练习二：在正方体ABCD-ABCD中,点E是面 AC的中心,求下列各式中的x、y的值.,一、复习:平面
6、共线向量:,零向量与任意向量共线.,2.平面向量共线定理:,1.平面向量共线:平面内,两个向量方向相同或相反的非零向量叫做共线向量(或平行向量),记作,一、共线向量:,零向量与任意向量共线.,A,P,B,若P为AB中点, 则,以上叫向量参数表示式,中点公式：,P,推论给出了点P在直线AB上的三个充要条件:,中点公式：,若P为AB中点, 则,此推论应用于证明三点共线,1.下列说法正确的是： A.在平面内共线的向量在空间不一定共 线 B.在空间共线的向量在平面内不一定共线 C.在平面内共线的向量在空间一定不共线 D.在空间共线的向量在平面内一定共线,2.下列说法正确的是： A.平面内的任意两个向量都共线 B.空间的任意三个向量都不共面 C.空间的任意两个向量都共面 D.空间的任意三个向量都共面,3.对于空间任意一点O，下列命题正确的是： A.若 ，则P、A、B共线 B.若 ，则P是AB的中点 C.若 ，则P、A、B不共线 D.若 ，则P、A、B共线,
