1、1.4 计数应用题,第1章 计数原理,学习目标 1.进一步理解和掌握两个计数原理. 2.进一步深化理解排列与组合的概念. 3.能综合运用排列、组合解决计数问题.,题型探究,内容索引,当堂训练,题型探究,命题角度1 “类中有步”的计数问题 例1 电视台在某节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封，现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有_种不同的结果.,类型一 两个计数原理的应用,答案,解析,28 800,解析 在甲箱或乙箱中抽取幸运之星，决定了后边选幸运伙伴是不同的，故要分两类分别计算：(1)
2、幸运之星在甲箱中抽，先确定幸运之星，再在两箱中各确定一名幸运伙伴，有30292017 400(种)结果； (2)幸运之星在乙箱中抽，同理有20193011 400(种)结果. 因此共有17 40011 40028 800(种)不同结果.,用流程图描述计数问题，类中有步的情形如图所示：,反思与感悟,具体意义如下： 从A到B算作一件事的完成，完成这件事有两类办法，在第1类办法中有3步，在第2类办法中有2步，每步的方法数如图所示. 所以，完成这件事的方法数为m1m2m3m4m5， “类”与“步”可进一步地理解为： “类”用“”号连接，“步”用“”号连接，“类”独立，“步”连续，“类”标志一件事的完成
3、，“步”缺一不可.,解析 如图所示，将原图从上而下的4个区域标为1,2,3,4. 因为1,2,3之间不能同色，1与4可以同色， 因此，要分类讨论1,4同色与不同色这两种情况. 故不同的着色方法种数为432432148.,跟踪训练1 现有4种不同颜色，要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两部分不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有_种.,答案,解析,48,命题角度2 “步中有类”的计数问题 例2 有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复.若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”
4、项目，其余项目上、下午都各测一人，则不同的安排方式共有_种.(用数字作答),答案,解析,264,解析 上午总测试方法有432124(种).我们以A、B、C、D、E依次代表五个测试项目. 若上午测试E的同学下午测试D，则上午测试A的同学下午只能测试B、C，确定上午测试A的同学后其余两位同学上、下午的测试方法共有2种； 若上午测试E的同学下午测试A、B、C之一， 则上午测试A、B、C中任何一个的同学下午都可以测试D，安排完这位同学后其余两位同学的测试方式就确定了， 故共有339(种)测试方法，即下午的测试方法共有11种， 根据分步计数原理，总的测试方法共有2411264(种).,用流程图描述计数问
5、题，步中有类的情形如图所示：,反思与感悟,从计数的角度看，由A到D算作完成一件事，可简单地记为AD. 完成AD这件事，需要经历三步，即AB，BC，CD.其中BC这步又分为三类，这就是步中有类. 其中mi(i1,2,3,4,5)表示相应步的方法数. 完成AD这件事的方法数为m1(m2m3m4)m5. 以上给出了处理步中有类问题的一般方法.,跟踪训练2 如图所示，使电路接通，开关不同的开闭方式共有_种.,答案,解析,21,解析 根据题意，设5个开关依次为1、2、3、4、5，如图所示，若电路接通，则开关1、2与3、4、5中至少有1个接通，对于开关1、2，共有224(种)情况，其中全部断开的有1(种)
6、情况，则其至少有1个接通的有413(种)情况， 对于开关3、4、5，共有2228(种)情况，其中全部断开的有1(种)情况，则其至少有1个接通的有817(种)情况，则电路接通的情况有3721(种).,例3 3个女生和5个男生排成一排. (1)如果女生必须全排在一起，有多少种不同的排法？,解 (捆绑法)因为3个女生必须排在一起，所以可先把她们看成一个整体， 这样同5个男生合在一起共有6个元素，排成一排有 种不同排法. 对于其中的每一种排法，3个女生之间又有 种不同的排法， 因此共有 4 320(种)不同的排法.,类型二 有限制条件的排列问题,解答,(2)如果女生必须全分开，有多少种不同的排法？,解
7、 (插空法)要保证女生全分开，可先把5个男生排好， 每两个相邻的男生之间留出一个空，这样共有4个空， 加上两边两个男生外侧的两个位置，共有6个位置， 再把3个女生插入这6个位置中， 只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻. 由于5个男生排成一排有 种不同的排法，对于其中任意一种排法，从上述6个位置中选出3个来让3个女生插入有 种方法， 因此共有 14 400(种)不同的排法.,解答,(3)如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法？,解答,解 方法一 (特殊位置优先法)因为两端不能排女生， 所以两端只能挑选5个男生中的2个，有 种不同排法， 对于其中的任意一种排法，其余六
8、位都有 种排法， 所以共有 14 400(种)不同的排法.,方法二 (间接法)3个女生和5个男生排成一排共有 种不同的排法， 从中扣除女生排在首位的 种排法和女生排在末位的 种排法， 但这样两端都是女生的排法在扣除女生排在首位时被扣去一次， 在扣除女生排在末位时又被扣去一次， 所以还需加一次，由于两端都是女生有 种不同的排法， 所以共有 14 400(种)不同的排法.,方法三 (特殊元素优先法)从中间6个位置中挑选出3个让3个女生排入， 有 种不同的排法，对于其中的任意一种排法， 其余5个位置又都有 种不同的排法， 所以共有 14 400(种)不同的排法.,(4)如果两端不能都排女生，有多少种
9、不同的排法？,解 方法一 因为只要求两端不能都排女生， 所以如果首位排了男生，则末位就不再受条件限制了， 这样可有 种不同的排法； 如果首位排女生，有 种排法，这时末位就只能排男生， 这样可有 种不同的排法. 因此共有 36 000(种)不同的排法. 方法二 3个女生和5个男生排成一排有 种排法，从中扣去两端都是女生的排法有 种，就能得到两端不都是女生的排法种数. 因此共有 36 000(种)不同的排法.,解答,(5)如果甲必须排在乙的右面(可以不相邻)，有多少种不同的排法？,解 (顺序固定问题)因为8人排队，其中两人顺序固定，,解答,(1)排列问题的限制条件一般表现为：某些元素不能在某个位置
10、，某个位置只能放某些元素等.要先处理特殊元素或先处理特殊位置，再去排其他元素.当用直接法比较麻烦时，可以用间接法，先不考虑限制条件，把所有的排列数算出，再从中减去全部不符合条件的排列数，这种方法也称为“去杂法”，但必须注意要不重复，不遗漏(去尽). (2)对于某些特殊问题，可采取相对固定的特殊方法，如相邻问题，可用“捆绑法”，即将相邻元素看成一个整体与其他元素排列，再进行内部排列；不相邻问题，则用“插空法”，即先排其他元素，再将不相邻元素排入形成的空位中.,反思与感悟,跟踪训练3 用0到9这10个数字， (1)可以组成多少个没有重复数字的四位数？在这些四位数中，奇数有多少个？,解答,解 0到9
11、这10个数字构成的三位数共有900个，分为三类： 第1类：三位数字全相同，如111,222，999，共9个； 第2类：三位数字全不同，共有998648(个)， 第3类：由间接法可求出，只含有2个相同数字的三位数，共有9009648243(个).,(2)可以组成多少个只含有2个相同数字的三位数？,解答,命题角度1 不同元素的排列、组合问题 例4 有4张分别标有数字1,2,3,4的红色卡片和4张分别标有数字1,2,3,4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行.如果取出的4张卡片所标的数字之和等于10，则不同的排法共有多少种？,类型三 排列与组合的综合应用,解答,解 分三类：,(1)解排列、
12、组合综合问题的一般思路是“先选后排”，也就是先把符合题意的元素都选出来，再对元素或位置进行排列. (2)解排列、组合综合问题时要注意以下几点： 元素是否有序是区分排列与组合的基本方法，无序的问题是组合问题，有序的问题是排列问题. 对于有多个限制条件的复杂问题，应认真分析每个限制条件，然后再考虑是分类还是分步，这是处理排列、组合综合问题的一般方法.,反思与感悟,跟踪训练4 从1,3,5,7,9中任取3个数字，从0,2,4,6,8中任取2个数字，一共可以组成多少个没有重复数字的五位偶数？,解答,解 (1)五位数中不含数字0.,(2)五位数中含有数字0.,第2步，排顺序又可分为两小类：,所以符合条件
13、的偶数个数为,命题角度2 含有相同元素的排列、组合问题 例5 将10个优秀名额分配到一班、二班、三班3个班级中，若各班名额数不小于班级序号数，则共有_种不同的分配方案.,解析 先拿3个优秀名额分配给二班1个，三班2个，这样原问题就转化为将7个优秀名额分配到3个班级中，每个班级中至少分配到1个. 利用“隔板法”可知，共有 15(种)不同的分配方案.,答案,解析,15,凡“相同小球放入不同盒中”的问题，即为“n个相同元素有序分成m组(每组的任务不同)”的问题，一般可用“隔板法”求解： (1)当每组至少含一个元素时，其不同分组方式有N 种，即将n个元素中间的n1个空格中加入m1个“隔板”. (2)任
14、意分组，可出现某些组含元素为0个的情况，其不同分组方式有N 种，即将n个相同元素与m1个相同“隔板”进行排序，在nm1个位置中选m1个安排“隔板”.,反思与感悟,跟踪训练5 用2,3,4,5,6,7六个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为_.,解析 用间接法：六个数字能构成的三位数共666216(个)，而无重复数字的三位数共有 654120(个). 故所求的三位数的个数为21612096.,答案,解析,96,当堂训练,1.李芳有4件不同颜色的衬衣，3件不同花样的裙子，另有两套不同样式的连衣裙.“五一”节需选择一套服装参加歌舞演出，则李芳有_种不同的选择方式.,答案,2,3,4,5,1,解析
15、,解析 由题意可得，李芳不同的选择方式为43214.,14,2.包括甲、乙在内的7个人站成一排，其中甲在乙的左侧(可以不相邻)，有_种站法.,答案,2,3,4,5,1,解析,解析 因为甲、乙定序了，所以有 2 520(种).,2 520,3.从0,2,4中取一个数字，从1,3,5中取两个数字，组成无重复数字的三位数，则所有不同的三位数的个数是_.,答案,2,3,4,5,1,解析,48,解析 第一类：从2,4中任取一个数，有 种取法， 同时从1,3,5中取两个数字，有 种取法， 再把三个数全排列，有 种排法. 故有 36(种)取法. 第二类：从0,2,4中取出0，有 种取法， 从1,3,5三个数
16、字中取出两个数字，有 种取法， 然后把两个非0的数字中的一个先安排在首位，有 种排法， 剩下的两个数字全排列，有 种排法，共有 12(种)方法. 共有361248(种)排法.,2,3,4,5,1,4.某电视台连续播放5个广告，其中有3个不同的商业广告和2个不同的公益宣传广告，要求最后播放的必须是公益宣传广告，且2个公益宣传广告不能连续播放，则不同的播放方式有_种.,答案,2,3,4,5,1,解析,解析 先安排后2个，再安排前3个， 由分步计数原理知， 共有 36(种)不同的播放方式.,36,2,3,4,5,1,5.已知xi1,0,1，i1,2,3,4,5,6，则满足x1x2x3x4x5x62的
17、数组(x1，x2，x3，x4，x5，x6)的个数为_.,答案,解析,解析 根据题意，x1x2x3x4x5x62，xi1,0,1，i1,2,3,4,5,6， xi中有2个1和4个0，或3个1、1个1和2个0，或4个1和2个1，共有 90(个)， 满足x1x2x3x4x5x62的数组(x1，x2，x3，x4，x5，x6)的个数为90.,90,规律与方法,1.解排列、组合综合题一般是先选元素、后排元素，或充分利用元素的性质进行分类、分步，再利用两个基本计数原理作最后处理. 2.对于较难直接解决的问题则可用间接法，但应做到不重不漏. 3.对于分配问题，解题的关键是要搞清楚事件是否与顺序有关，对于平均分组问题更要注意顺序，避免计数的重复或遗漏.,本课结束,
