1、1.5.2 二项式系数的性质及应用(二),第1章 1.5 二项式定理,学习目标 1.进一步理解并掌握二项式系数的性质. 2.能解决二项式系数的最大、最小问题. 3.会解决整除问题.,题型探究,知识梳理,内容索引,当堂训练,知识梳理,知识点 二项式系数的性质,一般地，(ab)n展开式的二项式系数 有如下性质： (1) . (2) . (3)当r 时， ； 当r 时， . (4) .,2n,特别提醒：(1)当n为偶数时，二项式系数中，以 最大；当n为奇数时，二项式系数中以 和 (两者相等)最大.,题型探究,例1 (12x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大
2、的项.,解答,类型一 二项式系数或系数最大项问题,(12x)8的展开式中，二项式系数最大的项为,解得5r6.r5或r6. 系数最大的项为T61 792x5，T71 792x6.,(1)求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当n为奇数时，中间两项的二项系数最大；当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大. (2)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组，解不等式组的方法求得.,反思与感悟,跟踪训练1 在 的展开式中： (1)系数的绝对值最大的项是第几项？,解答,解得5r6. 又0r8，rN，r5或r6. 故系数的绝对值最大的项是第6项
3、和第7项.,(2)求二项式系数最大的项；,解 二项式系数最大的项为中间项，即第5项，,解答,(3)求系数最大的项.,解 由(1)知，展开式中第6项和第7项的系数的绝对值最大， 而第6项的系数为负，第7项的系数为正，,解答,例2 求证：2n23n5n4(nN*)能被25整除.,证明 原式46n5n4 4(51)n5n4,类型二 利用二项式定理解决整除问题,证明,以上各项均为25的整数倍，故2n23n5n4能被25整除,利用二项式定理证明或判断整除问题，一般要进行合理变形，常用的变形方法就是拆数，往往是将幂底数写成两数的和，并且其中一个数是除数的因数，这样能保证被除式展开后的大部分项含有除式的倍数
4、，进而可判断或证明被除数能否被除数整除，若不能整除则可求出余数.,反思与感悟,跟踪训练2 求证：51511能被7整除.,证明 51511(492)511,证明,显然能被7整除，所以51511能被7整除.,当堂训练,1.若(x3 )n(nN*)的展开式中只有第6项系数最大，则该展开式中的常数项为_.,答案,2,3,4,5,1,解析,解析 由于展开式中只有第6项的系数最大， 且其系数等于其二项式系数， 所以展开式项数为11，从而n10，于是得其常数项为C10210.,210,6,2.今天是星期一，今天是第1天，那么第810天是星期_.,答案,2,3,4,5,1,解析,解析 求第810天是星期几，实
5、质是求810除以7的余数，应用二项式定理将数变形求余数.,一,所以第810天相当于第1天，故为星期一.,3.设aZ，且0a13，若512 012a能被13整除，则a_.,答案,2,3,4,5,1,解析,解析 512 012a(521)2 012a 522 012 522 011(1) 52(1)2 011(1)2 012a能被13整除， 只需(1)2 012a1a能被13整除即可.0a13，a12.,12,4.已知 展开式中的第5项是常数，则展开式中系数最大的项是第_项.,答案,2,3,4,5,1,解析,9,所以共17项，第9项系数最大.,2,3,4,5,1,5.已知(ab)n的二项展开式中只
6、有第5项的二项式系数最大，则n_.,答案,解析,8,解析 (ab)n的二项展开式中只有第5项的二项式系数最大， 二项展开式共有9项， 即n19， n8.,规律与方法,1.二项式系数的性质 求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，n为奇数时，中间两项的二项式系数最大；n为偶数时，中间一项的二项式系数最大.,3.余数及整除问题 (1)求余数问题 求余数的关键是将原数进行合理、科学的拆分，然后借助二项展开式进行分析.若最后一项是一个小于除数的正数，则该数就是所求的余数；若是负数，则还要进行简单的加、减运算产生. (2)整除问题 整除问题实际上就是判断余数是否为零，因此求解整除问题可以借助于求余数问题展开思路.,本课结束,
