1、第3章,数系的扩充与复数的引入,3.1 数系的扩充,学习目标 1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程. 2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念. 3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件.,1,预习导学 挑战自我，点点落实,2,课堂讲义 重点难点，个个击破,3,当堂检测 当堂训练，体验成功,知识链接 为解决方程x22，数系从有理数扩充到实数；数的概念扩充到实数集后，人们发现在实数范围内也有很多问题不能解决，如从解方程的角度看，x21这个方程在实数范围内就无解，那么怎样解决方程x21在实数系中无根的问题呢？ 答 设想引入新数i，使i是方程x21的根
2、，即ii1，方程x21有解，同时得到一些新数.,预习导引 1.复数的有关概念 (1)复数的概念：形如abi的数叫做复数，其中a，bR，i叫做 .a叫做复数的_，b叫做复数的 . (2)复数的表示方法：复数通常用字母 表示，即 . (3)复数集定义： 所构成的集合叫做复数集.通常用大写字母C表示.,虚数单位,虚部,z,zabi,全体复数,实部,2.复数的分类及包含关系(1)复数(abi，a，bR),(2)集合表示：,3.复数相等的充要条件 设a，b，c，d都是实数，那么abicdi .,ac且bd,要点一 复数的概念 例1 请说出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数，还是纯虚数.,解 的
3、实部为2，虚部为3，是虚数； 的实部为3，虚部为 ，是虚数； 的实部为 ，虚部为1，是虚数； 的实部为，虚部为0，是实数； 的实部为0，虚部为 ，是纯虚数； 的实部为0，虚部为0，是实数.,规律方法 复数abi中，实数a和b分别叫做复数的实部和虚部.特别注意，b为复数的虚部而不是虚部的系数，b连同它的符号叫做复数的虚部.,跟踪演练1 已知下列命题： 复数abi不是实数； 当zC时，z20； 若(x24)(x23x2)i是纯虚数，则实数x2； 若复数zabi，则当且仅当b0时，z为虚数； 若a、b、c、dC时，有abicdi，则ac且bd. 其中真命题的个数是_.,解析 根据复数的有关概念判断命
4、题的真假. 是假命题，因为当aR且b0时，abi是实数. 是假命题，如当zi时，则z210， 是假命题，因为由纯虚数的条件得,解得x2，当x2时，对应复数为实数. 是假命题，因为没有强调a，bR. 是假命题，只有当a、b、c、dR时，结论才成立. 答案 0,要点二 复数的分类 例2 求当实数m为何值时，z (m25m6)i分别是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数.,(1)复数z是实数的充要条件是,当m2时复数z是实数.,当m3且m2时复数z是虚数.,(2)复数z是虚数的充要条件是,(3)复数z是纯虚数的充要条件是,当m3时复数z是纯虚数.,规律方法 利用复数的概念对复数分类时，主要依据实部
5、、虚部满足的条件，可列方程或不等式求参数.,跟踪演练2 实数k为何值时，复数(1i)k2(35i)k2(23i)分别是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)零. 解 由z(1i)k2(35i)k2(23i) (k23k4)(k25k6)i. (1)当k25k60时，zR，即k6或k1. (2)当k25k60时，z是虚数，即k6且k1.,要点三 两个复数相等 例3 (1)已知x2y22xyi2i，求实数x、y的值. 解 x2y22xyi2i，,(2)关于x的方程3x2 x1(10x2x2)i有实根，求实数a的值. 解 设方程的实数根为xm， 则原方程可变为3m2 m1(10m2m2)i，,
6、解得a11或a .,规律方法 两个复数相等，首先要分清两复数的实部与虚部，然后利用两个复数相等的充要条件可得到两个方程，从而可以确定两个独立参数.,跟踪演练3 已知M1，(m22m)(m2m2)i， P1,1,4i，若MPP，求实数m的值. 解 MPP，MP， (m22m)(m2m2)i1 或(m22m)(m2m2)i4i.,由(m22m)(m2m2)i1得,由(m22m)(m2m2)i4i得,综上可知m1或m2.,1.已知复数za2(2b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是_.,1,2,3,4,1,2,3,4,2.在复数集中，方程x220的解是x_.,3.如果zm(m1)(m21)i为纯虚数，则实数m的值为_.,1,2,3,4,m0.,0,4.下列几个命题： 两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等； 两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等； 1ai(aR)是一个复数； 虚数的平方不小于0；,1,2,3,4,1,2,3,4,1的平方根只有一个，即为i； i是方程x410的一个根； i是一个无理数. 其中正确命题的个数为_.,解析 命题正确，错误.,4,课堂小结 1.对于复数zabi(a，bR)，可以限制a，b的值得到复数z的不同情况. 2.两个复数相等，要先确定两个复数的实、虚部，再利用两个复数相等的条件进行判断.,
