1、第六章 圆,6.1 圆的性质,考点1 圆的有关概念及性质,陕西考点解读,中考说明：了解等圆、等弧的概念。理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念。,1.圆的有关概念 (1)圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫作圆。定点叫圆心，定长叫半径，以O为圆心的圆记作O。 (2)弧和弦：圆上任意两点间的部分叫弧，连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，直径是最长的弦。 (3)圆心角：顶点在圆心，角的两边与圆相交的角叫作圆心角。 (4)圆周角：顶点在圆上，角的两边与圆相交的角叫作圆周角。 (5)等弧：在同圆或等圆中，能够完全重合的弧。 2.圆的有关性质 圆的对称性： (1)圆是轴对称图形，
2、其对称轴是过圆心的任意一条直线。 (2)圆是中心对称图形，对称中心是圆心。 (3)旋转不变性，即圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合。,陕西考点解读,(1)直径是弦，但弦不一定是直径；(2)半圆是弧，但弧不一定是半圆；(3)弧有长度和度数，圆心角的度数等于它所对的弧的度数，规定半圆的度数为180，劣弧的度数小于180，优弧的度数大于180；(4)在同圆或等圆中能够互相重合的弧是等弧，度数或长度相等的弧不一定是等弧。,【特别提示】,【提分必练】,1.如图，在O中，AB是直径，AC是弦，连接OC，若ACO=30，则BOC的度数是( )第1题图 A.30 B.45 C.55 D.60
3、,D,陕西考点解读,1.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 2.垂径定理的推论 (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； (2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； (3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。,考点2 垂径定理及其推论,(1)一条直线如果具有：a.经过圆心，b.垂直于弦，c.平分弦(被平分的弦不是直径)，d.平分弦所对的优弧，e.平分弦所对的劣弧，以上这五条中的任意两条，则具备其余三条；(2)在同圆或等圆中，两条平行弦所夹的弧相等。,【特别提示】,【提分必练】,2.如图，在O中，AB是直径，C
4、D是弦，ABCD，垂足为E，连接CO，AD，BAD=20，则下列说法正确的是( ) A.AD=2OB B.CE=EO C.OCE=40 D.BOC=2BAD,第2题图,D,考点3 弦、弧、弦心距、圆心角的关系定理及推论,陕西考点解读,结合图形理解定理中“所对的”一词的含义，如一条弦对应着两条弧(一条优弧，一条劣弧)，所对的弧相等是指优弧对应相等或劣弧对应相等。,【特别提示】,(1)弦、弧、弦心距、圆心角的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距相等。 (2)推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余
5、各组量都分别相等。,【特别提示】,3.如图，在O中，AB=AC，AOB=40，则ADC的度数是( ) A.40 B.30 C.20 D.15,第3题图,C,考点4 弦、弧、弦心距、圆心角的关系定理及推论,陕西考点解读,1.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。 2.圆周角定理的推论 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。 推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径。,中考说明： 1.了解并证明圆周角定理及其推论:圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半;直径所对的圆周角是直角;90的圆周角所对的弦是直径。 2
6、.探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系。,圆周角定理的推论2的应用非常广泛，要把直径与90的圆周角联系起来，当条件中有直径时，通常会作出直径所对的圆周角，从而得到直角三角形，为进一步解题创造条件。,【特别提示】,【提分必练】,陕西考点解读,4.如图，点A，B，C在O上，ACOB，BAO=25，则BOC的度数为( )第4题图 A.25 B.50 C.60 D.80 5.如图，AB是O的直径，CD是O的弦，ACD=30，则BAD为( )第5题图 A.30 B.50 C.60 D.70,B,C,考点5 正多边形和圆及圆内接四边形的性质定理,陕西考点解读,1.正多边形和圆的关系 (1)把一个圆分成相等的
7、一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。 (2)我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫作这个正多边形的中心，外接圆的半径叫作这个正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫作这个正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫作这个正多边形的边心距。 2.圆内接四边形的性质定理：圆内接四边形的对角互补。,中考说明： 1.了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系。 2.了解圆内接四边形的对角互补。,【特别提示】,陕西考点解读,(1)正n边形的中心角等于它的外角；(2)正n边形是旋转对称图形，最小旋转角为 ，即任一正n边形绕其中心旋转 的整数倍后，所得图形与原图形重合； (
8、3)所有的正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都经过正n边形的中心；(4)如果正多边形有偶数条边，那么它既是轴对称图形，又是中心对称图形，它的中心就是对称中心。,6.若正方形的外接圆的半径为2，则其内切圆的半径为( ) A. B.2 C. D.17.(2017湖北黄石中考)如图，已知O为四边形ABCD的外接圆，点O为圆心，若BCD=120，AB=AD=2，则O的半径长为( ),【提分必练】,A,第7题图,D,重难突破强化,重难点1 垂径定理及其推论(重点),例1 (2018某工大附中模拟)如图，AD是O的直径，弦BCAD于点E，AB=BC=12，则OC的长为( ),【
9、解析】AD是O的直径，弦BCAD于点E，BE=EC，弧BD=弧DC，AB=AC。又AB=BC，ABC是等边三角形，BAD=DAC=30，DOC=60。在RtCEO中， 。故选D。,例1题图,A.3 B.2 C.3 D.4,D,重难突破强化,例2 (2018某工大附中模拟)如图，O的半径ODAB于点C，连接AO并延长交O于点E，连接EC。若AB=8，CD=2，则cosOCE为( ),【解析】如答图，连接BE。半径ODAB于点C，AC=BC=4。设O的半径为r。在RtAOC中，AC=4，OC=r-2，AO=r，由勾股定理，得r2=42+(r-2)2，解得r=5。AE是O的直径，B=90，OCBE，
10、OCE=CEB。在RtAEB中，AE=10，AB=8，由勾股定理，得AE2=BE2+AB2，解得BE=6。在RtBEC中，BE=6，BC=4，CE= ，cosCEB= ，cosOCE= 。故选B。,B,重难突破强化,重难点2 圆周角定理及其推论(重点),例3 (2018某铁一中模拟)如图，ABC是O的内接三角形，AC是O的直径，C=50，ABC的平分线BD交O于点D，则BAD的度数是( ) A.45 B.85 C.90 D.95,B,【解析】由圆周角定理知D=C=50。AC是O的直径，ABC=90。又BD平分ABC，ABD=45。BAD=180-ABD-D=85。故选B。,重难突破强化,重难点
11、3 圆中求最值问题(含隐形圆)(难点),【解析】因为ABC是等边三角形，所以BAC=ABC=60。由圆周角定理，得BED=BAC=60。因为AEBC，所以ABC=EAB=60。由圆周角定理，得EDB=EAB=60。因为EDB=BED=60，所以BED是等边三角形，所以BED的面积S= ，所以当BD的长最短时，BED的面积最小。当BDAC时，BD的长最短为 ，所以BED的面积的最小值为 。,例4 (2018某铁一中模拟)如图，ABC是等边三角形，边长为5，D为AC边上一动点，连接BD，O为ABD的外接圆，过点A作AEBC交O于点E，连接BE，DE，则BDE的面积的最小值为 。,重难突破强化,【解
12、析】如答图，以CQ为直径作O，连接OP，当O与AB边相切于点P时，CQ最短。根据切线的性质求得OPAB，且BAC=30，POQ=60。OP=OQ，POQ为等边三角形，APQ=30。设PQ=OQ=OP=OC=r，3r=AC=ABcos 30= =3，r=1，CQ的最小值为2。,例5 (2018某交大附中模拟)如图，在RtABC中，BAC=30，斜边AB=23，动点P在AB边上，动点Q在AC边上，且CPQ=90，则线段CQ长的最小值为 。,2,重难突破强化,【解析】由同弧所对的圆周角相等，得A=P。AB是O的直径，ACB=90。在RtABC中，tanABC= ，即AC= BC。由勾股定理，得BC=4，则AC=3。A=P,ACB=PCQ=90,ABCPQC， ，CQ= PC。当PC为O的直径时，PC最长，则CQ最长，则CPQ的面积最大，CQ= ，CPQ的最大面积为 CQPC= 。,例6 (2018某爱知中学模拟)如图，在O上有定点C和动点P位于直径AB的异侧，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q。已知O的半径为 ，tanABC= ，则CPQ的最大面积为 。,
