1、专题三 三角函数,3.1 三角函数的图象与性质,-3-,-4-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,三角函数的性质 【思考1】 求三角函数周期、单调区间的一般思路? 【思考2】 求某区间上三角函数最值的一般思路?,例1已知函数f(x)=2 sin(-x)cos x-1+2cos2x,其中xR,则下列结论正确的是( ),答案,解析,-5-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,题后反思1.求三角函数的周期、单调区间、最值及判断三角函数的奇偶性,往往是在其定义域内,先对三角函数解析式进行恒等变形,把三角函数式化简成y=Asin(x+)的形式,再求解.求y=Asin(x+)的单
2、调区间时,只需把(x+)看作一个整体代入y=sin x的相应单调区间内即可,注意要先把化为正数. 2.对于形如y=asin x+bcos x型的三角函数,要通过引入辅助角化为 的形式来求解.,-6-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,对点训练1(2018全国,文8)已知函数f(x)=2cos2x-sin2x+2,则( ) A.f(x)的最小正周期为,最大值为3 B.f(x)的最小正周期为,最大值为4 C.f(x)的最小正周期为2,最大值为3 D.f(x)的最小正周期为2,最大值为4,B,-7-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,三角函数图象的变换 【思考】 对三角函
3、数y=Asin(x+)的图象进行了平移或伸缩变换后,其对应的解析式发生了怎样的变化?,-8-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,例2函数y=sin x- cos x的图象可由函数y=2sin x的图象至少向右平移 个单位长度得到.,-9-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,题后反思1.平移变换理论 (1)平移变换: 沿x轴平移,按“左加右减”法则; 沿y轴平移,按“上加下减”法则. (2)伸缩变换: 沿x轴伸缩时,横坐标x伸长(01)为原来的 倍(纵坐标y不变); 沿y轴伸缩时,纵坐标y伸长(A1)或缩短(0A1)为原来的A倍(横坐标x不变). 2.注意平移前后两个
4、函数的名称是否一致,若不一致,应用诱导公式化为同名函数再平移.,-10-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,D,-11-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,由三角函数的图象求其解析式 【思考】 依据三角函数图象求其解析式的基本方法是什么? 例3函数f(x)=cos(x+)的部分图象如图所示,则f(x)的单调递减区间为( ),答案,解析,-12-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,题后反思1.已知正弦型(或余弦型)函数的图象求其解析式时,用待定系数法求解.由图中的最大值或最小值确定A,由周期确定,由图象上特殊点的坐标来确定,只有限定的取值范围,才能得出唯
5、一解,否则的值不确定,解析式也就不唯一. 2.将点的坐标代入解析式时,要注意选择的点属于“五点法”中的哪一个点.例如,正弦型函数的图象中的“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为x0+=0+2k(kZ),其他依次类推即可.,-13-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,对点训练3函数y=Asin(x+)的部分图象如图所示,则( ),答案,解析,-14-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,三角函数的图象与性质的综合应用 【思考】 如何求给定区间上函数y=Asin(x+)的最值?,例4已知函数,(1)求f(x)的最小正周期; (2)若将f(x)的图象向右平移 个单位,得到
6、函数g(x)的图象,求函数g(x)在区间0,上的最大值和最小值.,-15-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,-16-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,题后反思对于给定区间上函数y=Asin(x+)(A0,0)的最值问题,常用的方法是:首先要求出(x+)的取值范围,然后将(x+)看作一个整体t,利用y=Asin t的单调性求解.另外借助函数y=Asin(x+)的图象求最值也是常用方法.,-17-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,对点训练4已知函数f(x)=2sin xcos x+cos 2x(0)的最小正周期为. (1)求的值; (2)求f(x)的
7、单调递增区间.,-18-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,-19-,规律总结,拓展演练,1.求三角函数的周期、单调区间及判断其奇偶性的问题,常通过三角恒等变换将三角函数化为只含一个函数名称且角度唯一、最高次数为一次的形式. 2.由函数y=sin x的图象变换得到y=Asin(x+)(A0,0)的图象有两种方法,一是先平移再伸缩,二是先伸缩再平移,要弄清楚是平移哪个函数的图象,得到哪个函数的图象;平移前后两个函数的名称是否一致,若不一致,应先利用诱导公式化为同名函数;当由y=Asin x的图象得到y=Asin(x+)(0)的图象时,需平移的单位数应为 ,而不是|.,-20-,规律总结,拓展演练,4.对于函数y=Asin(x+),其对称轴一定经过图象的最高点或最低点,对称中心的横坐标一定是函数的零点,因此在判断直线x=x0或点(x0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时,可通过检验f(x0)的值进行判断.,-21-,规律总结,拓展演练,C,-22-,规律总结,拓展演练,C,-23-,规律总结,拓展演练,A,-24-,规律总结,拓展演练,4.函数f(x)=2cos x+sin x的最大值为 .,-25-,规律总结,拓展演练,5.定义在区间0,3上的函数y=sin 2x的图象与y=cos x的图象的交点个数是 .,答案 7,
