1、5.2 空间中的平行与垂直,-2-,-3-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,线线、线面平行或垂直的判定与性质 【思考】 判断或证明线面、线线平行或垂直的常用方法有哪些?,例1(2018全国,文19)如图,在三棱锥P-ABC中,AB=BC= , PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点.(1)证明:PO平面ABC; (2)若点M在棱BC上,且MC=2MB,求点C到平面POM的距离.,-4-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,-5-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,-6-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,题后反思1.解决此类问题要注意线线平行(垂直)、线面平行(垂直)与面面平行(垂
2、直)的相互转化.在解决线线平行、线面平行问题时,若题目中已出现了中点,可考虑在图形中再取中点,构成中位线进行证明. 2.要证线面平行,先在平面内找一条直线与已知直线平行,或找一个经过已知直线与已知平面相交的平面,找出交线,证明两线平行. 3.要证线线平行,可考虑公理4或转化为线面平行. 4.要证线面垂直可转化为证明线线垂直,应用线面垂直的判定定理与性质定理进行转化.,-7-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,对点训练1如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,点E,F分别在AD,CD上,AE=CF,EF交BD于点H.将DEF沿EF折到DEF的位置.(1)证明:ACHD; (2)若AB=5
3、,AC=6, ,求五棱锥D-ABCFE的体积.,-8-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,-9-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,-10-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,面面平行或垂直的判定与性质 【思考】 判定面面平行或垂直有哪些基本方法?,例2如图,在四棱锥P-ABCD中,ABCD,且BAP=CDP=90.(1)证明:平面PAB平面PAD; (2)若PA=PD=AB=DC,APD=90,且四棱锥P-ABCD 的体积为 ,求该四棱锥的侧面积.,-11-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,(1)证明 由已知BAP=CDP=90,得ABAP,CDPD. 由于ABCD,故ABPD,从
4、而AB平面PAD. 又AB平面PAB,所以平面PAB平面PAD. (2)解 在平面PAD内作PEAD,垂足为E. 由(1)知,AB平面PAD,故ABPE,可得PE平面ABCD.,-12-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,题后反思1.判定面面平行的四个方法: (1)利用定义,即判断两个平面没有公共点; (2)利用面面平行的判定定理; (3)利用垂直于同一条直线的两平面平行; (4)利用平面平行的传递性,即两个平面同时平行于第三个平面,则这两个平面平行. 2.面面垂直的证明方法: (1)用面面垂直的判定定理,即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线; (2)用面面垂直的定义,即证明两个平面所
5、成的二面角是直二面角. 3.从解题方法上说,由于线线平行(垂直)、线面平行(垂直)、面面平行(垂直)之间可以相互转化,因此整个解题过程始终沿着线线平行(垂直)、线面平行(垂直)、面面平行(垂直)的转化途径进行.,-13-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,对点训练2(2018全国,文18)如图,在平行四边形ABCM中, AB=AC=3,ACM=90.以AC为折痕将ACM折起,使点M到达点D的位置,且ABDA. (1)证明:平面ACD平面ABC; (2)Q为线段AD上一点,P为线段BC上一点,且BP=DQ= DA,求三棱锥Q-ABP的体积.,-14-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,-15
6、-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,平行、垂直关系及体积中的探索性问题 【思考】 解决探索性问题的基本方法有哪些?,例3(2018全国,文19)如图,矩形ABCD所在平面与半圆弧 所在平面垂直,M是 上异于C,D的点.(1)证明:平面AMD平面BMC. (2)在线段AM上是否存在点P,使得MC平面PBD?说明理由.,-16-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,(1)证明 由题设知,平面CMD平面ABCD,交线为CD. 因为BCCD,BC平面ABCD,所以BC平面CMD,故BCDM. 因为M为 上异于C,D的点,且DC为直径, 所以DMCM. 又BCCM=C,所以DM平面BMC. 而DM平
7、面AMD, 故平面AMD平面BMC. (2)解 当P为AM的中点时,MC平面PBD. 证明如下:如图,连接AC交BD于点O. 因为ABCD为矩形,所以O为AC中点. 连接OP,因为P为AM中点,所以MCOP. MC平面PBD,OP平面PBD, 所以MC平面PBD.,-17-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,1.对命题条件的探索的三种途径: (1)先猜后证,即先观察与尝试给出条件再证明; (2)先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件,再证明充分性; (3)将几何问题转化为代数问题,探索出命题成立的条件. 2.对命题结论的探索方法: 从条件出发,探索出要求的结论是什么,对于探索结论是否存
8、在,求解时常假设结论存在,再寻找与条件相容或者矛盾的结论.,-18-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,对点训练3如图,在直角梯形ABCD中,ABCD,ADAB, CD=2AB=4,AD= ,E为CD的中点,将BCE沿BE折起,使得CODE,其中点O在线段DE内.,(1)求证:CO平面ABED; (2)求当CEO(记为)多大时,三棱锥C-AOE的体积最大?最大值为多少?,-19-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,(1)证明 在直角梯形ABCD中,CD=2AB,E为CD的中点,则AB=DE. 又ABDE,ADAB,知BECD. 在四棱锥C-ABED中,BEDE,BECE,CEDE=E,CE
9、,DE平面CDE,则BE平面CDE. 因为CO平面CDE,所以BECO. 又CODE,且BE,DE是平面ABED内两条相交直线, 故CO平面ABED.,-20-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,-21-,规律总结,拓展演练,1.三种平行关系的转化方向.,-22-,规律总结,拓展演练,2.空间直线与平面垂直的相互转化.3.线面、线线垂直与平行的位置关系在面面平行与垂直位置关系的证明中起着承上启下的桥梁作用,依据线面、面面位置关系的判定定理与性质定理进行转化是解决这类问题的关键.证明面面平行主要依据判定定理,证明面面垂直时,关键是从现有直线中找一条直线与其中一个平面垂直,若图中不存在这样的直线
10、应借助添加中线、高线等方法解决.,-23-,规律总结,拓展演练,1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CD的中点,则 ( ) A.A1EDC1 B.A1EBD C.A1EBC1 D.A1EAC,C,解析 连接B1C,BC1,A1E,则B1CBC1. CD平面BB1C1C,BC1平面BB1C1C, CDBC1. B1CCD=C,BC1平面A1B1CD. A1E平面A1B1CD, A1EBC1. 故选C.,-24-,规律总结,拓展演练,2.已知l,m,n是三条不同的直线,是不同的平面,则的一个充分条件是( ) A.l,m,且lm B.l,m,n,且lm,ln C.m,n,mn,且lm D
11、.l,lm,且m,D,解析 对于A,l,m,且lm,如图,不垂直;对于B,l,m,n,且lm,ln,如图,不垂直;对于C,m,n,mn,且lm,直线l没有确定,则,的关系不能确定;对于D,l,lm,且m,则必有l,根据面面垂直的判定定理知.,-25-,规律总结,拓展演练,3.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足 时,平面MBD平面PCD(只要填写一个你认为正确的条件即可).,DMPC(或BMPC),解析 连接AC,由PABD,ACBD可得BD平面PAC,所以BDPC.所以当DMPC(或BMPC)时,即有PC平面MBD,而PC平面PCD
12、,所以平面MBD平面PCD.,-26-,规律总结,拓展演练,4.如图,在四面体ABCD中,ABC是正三角形,AD=CD.(1)证明:ACBD; (2)已知ACD是直角三角形,AB=BD,若E为棱BD上与D不重合的点,且AEEC,求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比.,(1)证明 取AC的中点O,连接DO,BO.因为AD=CD,所以ACDO. 又因为ABC是正三角形,所以ACBO. 从而AC平面DOB,故ACBD.,-27-,规律总结,拓展演练,(2)解 连接EO. 由(1)及题设知ADC=90,所以DO=AO. 在RtAOB中,BO2+AO2=AB2. 又AB=BD, 所以BO2+DO2=BO2+AO2=AB2=BD2, 故DOB=90.,
