1、4.2.1 等差、等比数列与数列的通项及求和,-2-,等差、等比数列的通项及求和 例1(2018全国,文17)记Sn为等差数列an的前n项和,已知a1=-7,S3=-15. (1)求an的通项公式; (2)求Sn,并求Sn的最小值.,解 (1)设an的公差为d,由题意得3a1+3d=-15. 由a1=-7得d=2. 所以an的通项公式为an=2n-9. (2)由(1)得Sn=n2-8n=(n-4)2-16. 所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为-16.,解题心得对于等差、等比数列,求其通项及前n项和时,只需利用等差数列或等比数列的通项公式及求和公式求解即可.,-3-,对点训练1已知等差数列
2、an的前n项和为Sn,等比数列bn的前n项和为Tn,a1=-1,b1=1,a2+b2=2. (1)若a3+b3=5,求bn的通项公式; (2)若T3=21,求S3.,解 设an的公差为d,bn的公比为q,则an=-1+(n-1)d,bn=qn-1. 由a2+b2=2得d+q=3. (1)由a3+b3=5,得2d+q2=6.,因此bn的通项公式为bn=2n-1. (2)由b1=1,T3=21得q2+q-20=0, 解得q=-5或q=4. 当q=-5时,由得d=8,则S3=21. 当q=4时,由得d=-1,则S3=-6.,-4-,可转化为等差、等比数列的问题 例2已知an是公差为3的等差数列,数列
3、bn满足b1=1, b2= ,anbn+1+bn+1=nbn. (1)求an的通项公式; (2)求bn的前n项和.,-5-,解题心得无论是求数列的通项还是求数列的前n项和,通过变形、整理后,能够把数列转化为等差数列或等比数列,进而利用等差数列或等比数列的通项公式或求和公式解决问题.,-6-,对点训练2设an是公比大于1的等比数列,Sn为数列an的前n项和,已知S3=7,且a1+3,3a2,a3+4构成等差数列. (1)求数列an的通项公式; (2)令bn= ,n=1,2,求数列bn的前n项和Tn.,-7-,(2)由(1)得a3n+1=23n, bn=ln 23n=3nln 2. bn+1-bn
4、=3ln 2, 数列bn为等差数列.,-8-,求数列的通项及错位相减求和 例3已知an为等差数列,前n项和为Sn(nN*),bn是首项为2的等比数列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4. (1)求an和bn的通项公式; (2)求数列a2nbn的前n项和(nN*).,解 (1)设等差数列an的公差为d,等比数列bn的公比为q. 由已知b2+b3=12,得b1(q+q2)=12, 而b1=2,所以q2+q-6=0. 又因为q0,解得q=2. 所以,bn=2n.由b3=a4-2a1, 可得3d-a1=8. 由S11=11b4,可得a1+5d=16, 联立,解得a1=
5、1,d=3,由此可得an=3n-2. 所以,an的通项公式为an=3n-2,bn的通项公式为bn=2n.,-9-,(2)设数列a2nbn的前n项和为Tn,由a2n=6n-2, 有Tn=42+1022+1623+(6n-2)2n, 2Tn=422+1023+1624+(6n-8)2n+(6n-2)2n+1, 上述两式相减,得 -Tn=42+622+623+62n-(6n-2)2n+1,得Tn=(3n-4)2n+2+16. 所以,数列a2nbn的前n项和为(3n-4)2n+2+16.,-10-,解题心得求数列通项的基本方法是利用等差、等比数列通项公式,或通过变形转换成等差、等比数列求通项;如果数列
6、an与数列bn分别是等差数列和等比数列,那么数列anbn的前n项和采用错位相减法来求.,-11-,对点训练3(2018浙江,20)已知等比数列an的公比q1,且a3+a4+a5=28,a4+2是a3,a5的等差中项.数列bn满足b1=1,数列(bn+1-bn)an的前n项和为2n2+n. (1)求q的值; (2)求数列bn的通项公式.,解 (1)由a4+2是a3,a5的等差中项,得a3+a5=2a4+4, 所以a3+a4+a5=3a4+4=28, 解得a4=8.,-12-,-13-,-14-,求数列的通项及裂项求和 例4设数列an满足a1+3a2+(2n-1)an=2n. (1)求an的通项公
7、式; (2)求数列 的前n项和.,-15-,解 (1)因为a1+3a2+(2n-1)an=2n, 故当n2时,a1+3a2+(2n-3)an-1=2(n-1). 两式相减得(2n-1)an=2.,-16-,解题心得对于已知等式中含有an,Sn的求数列通项的题目,一般有两种解题思路,一是消去Sn得到f(an)=0,求出an;二是消去an得到g(Sn)=0,求出Sn,再求an. 把数列的通项拆成两项之差,求和时中间的项能够抵消,从而求得其和.注意抵消后所剩余的项一般前后对称.,-17-,对点训练4已知an为公差不为零的等差数列,其中a1,a2,a5成等比数列,a3+a4=12. (1)求数列an的
8、通项公式;,-18-,-19-,涉及奇偶数讨论的数列求和 例5已知等差数列an的前n项和为Sn,且a1=2,S5=30.数列bn的前n项和为Tn,且Tn=2n-1. (1)求数列an,bn的通项公式; (2)设cn=(-1)n(anbn+ln Sn),求数列cn的前n项和.,解 (1)S5=5a1+ d=10+10d=30,d=2,an=2n. 对数列bn: 当n=1时,b1=T1=21-1=1, 当n2时,bn=Tn-Tn-1=2n-2n-1=2n-1, 当n=1时也满足上式. bn=2n-1.,-20-,-21-,当n为偶数时, Bn=-(ln 1+ln 2)+(ln 2+ln 3)-(ln 3+ln 4)+ln n+ln(n+1) =ln(n+1)-ln 1=ln(n+1); 当n为奇数时, Bn=-(ln 1+ln 2)+(ln 2+ln 3)-(ln 3+ln 4)+-ln n+ln(n+1) =-ln(n+1)-ln 1=-ln(n+1). 由以上可知,Bn=(-1)nln(n+1).,-22-,对点训练5已知函数f(x)=4x,4,f(a1),f(a2),f(an),2n+3(nN*)成等比数列. (1)求数列an的通项公式;,-23-,
