1、第一章 立体几何初步,本章概览 一、地位作用 本章充分注意到对学生数学思维能力的培养,要求学生对空间图形的认识不仅停留在直观感知和观察上,而是要进行空间想象、抽象概括,得到有关的定义及基本性质、定理.使学生对空间图形的认识在初中几何的基础上能适当地上升到理性的层面,基于数学本身的抽象性和科学性,本章对数量、公式的表示,体积、面积的数据处理和运算求解,以及简单命题的演绎证明都提出了恰当的要求,力求准确、严谨、简明,但不求难求全.在历年高考中,突出了对逻辑思维及空间想象能力的考查.,二、内容标准 1.空间几何体 (1)利用实物模型、计算机软件观察大量空间图形,认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构
2、特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构. (2)会用斜二侧画法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的直观图. (3)了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式). 2.点、线、面之间的位置关系 (1)借助长方体模型,在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上,抽象出空间线、面位置关系的定义,并了解如下可以作为推理依据的基本性质和定理.,基本性质1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有点都在这个平面内. 基本性质2:经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面. 基本性质3:如果不重合的两个平面有一个公共点,那么它们
3、有且只有一条过这个点的公共直线. 基本性质4:平行于同一条直线的两条直线互相平行. 定理:如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行,并且方向相同,那么这两个角相等.,(2)以立体几何的上述定义、基本性质和定理为出发点,通过直观感知、操作确认、思辨论证,认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定. 通过直观感知、操作确认,归纳出以下判定定理. 如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行. 如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行. 如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直,则这条直线与这个平面垂直. 如果一个平面过另一个平面的一条
4、垂线,则两个平面互相垂直. 通过直观感知、操作确认,归纳出以下性质定理,并加以证明. 如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线就和两平面的交线平行. 如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行. 如果两条直线垂直于同一个平面,那么这两条直线平行. 如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.,(3)能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题. 三、核心素养 1.立体几何初步的教学重点是帮助学生逐步形成空间想象能力,发展学生直观想象素养.本部分内容的设计遵循从整体到局部、具体到抽象的原则,教师应提供丰富的实物模
5、型或利用计算机软件呈现的空间几何体,帮助学生认识空间几何体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构. 2.几何教学应注意引导学生通过对实际模型的认识,学会将自然语言转化为图形语言和符号语言.教师可以使用具体的长方体的点、线、面关系作为载体,使学生在直观感知的基础上,认识空间中一般的点、线、面之间的位置关系;通过对图形的观察、实验和说理,使学生进一步了解平行、垂直关系的基本性质以及判定方法,学会准确地使用数学语言表述几何对象的位置关系,并能解决一些简单的推理论证及应用问题.,3.立体几何初步的教学中,要求对有关线面平行、垂直关系的性质定理进行证明:对相应的判定定理只要求直观感知、
6、操作确认. 4.有条件的学校应在教学过程中恰当地使用现代信息技术展示空间图形,为理解和掌握图形几何性质(包括证明)的教学提供形象的支持,提高学生的几何直观能力.教师可以指导和帮助学生运用立体几何知识选择课题,进行探究.,1.1 空间几何体 1.1.1 构成空间几何体的基本元素,目标导航,新知探求,课堂探究,新知探求素养养成,点击进入 情境导学,知识探究,1.几何体与长方体 (1)只考虑一个物体占有空间部分的 和 ,而不考虑其他因素,则这个空间部分叫做一个几何体. (2)长方体由 个矩形(包括它的内部)围成,围成长方体的各个矩形叫做长方体的 ;相邻两个面的公共边,叫做长方体的 ;棱和棱的公共点叫
7、做长方体的 .,形状,大小,六,面,棱,顶点,2.构成空间几何体的基本元素 (1)构成空间几何体的基本元素:、 、 是构成几何体的基本元素. (2)平面及其表示方法: 平面的概念: 平面是处处平直的面,它是无限延展的.,点,线,面,平面的表示方法:,一个平行四边形,(3)用运动的观点理解空间基本图形之间的关系:,面动成体:面运动的轨迹(经过的空间部分)可以形成一个 .,几何体,【拓展延伸】 对平面的理解 (1)平面与日常生活中见到的平面不同,立体几何中所说的平面是从生活中常见的平面中抽象出来的,生活中的平面是比较平的,且是有界的,而立体几何中的平面是:平直的、无限延展的、无大小、无边界、无厚薄
8、的. (2)平面通常用平行四边形来表示,水平放置的平面往往把平行四边形的锐角画为45角,横边是邻边的2倍;平面也可用其他平面图形来表示,如三角形、梯形、圆等,但不能说平面图形就是平面,平面与平面图形是两个完全不同的概念. (3)平面的表示:通常用小写的希腊字母表示,如,也可用表示平面的多边形的顶点字母表示或对角线的端点字母表示,如:平面ABCD,平面AC等.,自我检测,1.已知下列4个命题:铺得很平的一张白纸是一个平面;一个平面的面积可以等于6 m2;平面的形状是矩形或平行四边形;两个平面重合在一起比一个平面厚.其中正确命题的个数是( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)3,A,解析:平面
9、是绝对平的,无厚薄,无边界,向四周无限延展,通常用平行四边形来表示平面.故选A.,2.下列各元素不属于构成几何体的基本元素的是( ) (A)点 (B)线 (C)面 (D)体,D,解析:点、线、面是构成几何体的基本元素,故选D.,3.下列结论正确的个数有( ) 曲面上可以存在直线 平面上可存在曲线 曲线运动的轨迹可形成平面 直线运动的轨迹可形成曲面 曲面上不能画出直线 (A)3个 (B)4个 (C)5个 (D)2个,解析:因为直线运动的轨迹可形成曲面,也可形成平面,故均正确,不正确,故选B.,B,4.在长方体ABCD-ABCD中,互相平行的平面共有 对,与AA垂直的平面是 .,解析:互相平行的平
10、面为平面ABCD平面ABCD,平面ADDA平面BCCB,平面ABBA平面DCCD,共3对;与AA垂直的平面是平面AC,平面AC.,答案:3 平面AC和平面AC,类型一,构成几何体的基本元素,课堂探究素养提升,【例1】 下列元素属于构成几何体的基本元素的有( ) 点 线 曲面 平行四边形(不含内部的点) 长方体 线段 (A)3个 (B)4个 (C)5个 (D)6个,解析:均为构成几何体的基本元素,只有不属于构成几何体的基本元素,故选B.,方法技巧 点、线、面是构成几何体的基本元素,任何一个几何体都是由这些基本元素组成的,而其他图形有时也能构成另外复杂的几何体,但是不能称之为基本元素.,变式训练1
11、-1:以下结论中不正确的是( ) (A)平面上一定有直线 (B)平面上一定有曲线 (C)曲面上一定无直线 (D)曲面上一定有曲线,解析:曲面上是可以有直线的(圆锥面的母线就是直线),故选C.,类型二,平面的概念,【例2】 有以下结论:平面是处处平直的面;平面是无限延展的;平面的形状是平行四边形;一个平面的厚度可以为0.001 mm.其中正确结论的个数为( ) (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个,解析:两种说法正确,不正确,故选B.,方法技巧 搞清平面与平面图形的区别与联系是解决此类问题的关键.,变式训练2-1:下列语句是对平面的深层理解的描述: 平面是绝对平的;平面没有厚度,也可理
12、解成其厚度为0;平面和点、直线一样,是我们以后研究空间图形的基本对象之一,也是空间图形的一个重要的组成部分;一个平面将无限的空间分成两部分,如果想从平面的一侧到另一侧,必须穿过这个平面;平面可以看作空间的点的集合,它当然是一个无限集. 上述关于平面的相关描述,你认为正确的有 .,解析:由平面的性质可知:均正确.,答案:,类型三,几何体中线面位置关系,【例3】 如图是课桌的大致轮廓,(1)请你从这个几何体中寻找一些点、线、面,并将它们列举出来.,解:(1)点列举如下: 点A,点A1,点B,点B1,点C,点C1,点D,点D1,点A2,点B2,点C2,点D2. 线列举如下: 直线AA1,直线BB1,
13、直线CC1,直线DD1,直线A2B2,直线C2D2等. 面列举如下: 平面A1A2B2B1,平面A1A2D2D1,平面C1C2D2D1,平面B1B2C2C1,平面A1B1C1D1,平面A2B2C2D2.,(2)判断下列说法是否正确. 直线AA1与直线CC1平行; 直线AA1与平面C1D1D2C2相交; 直线AA1与平面A1B1C1D1垂直; 点A1与点B1到平面A2B2C2D2的距离相等.,解:(2)正确,由于直线AA1与直线CC1同在平面AA1C1C内,且没有交点,因此直线AA1与直线CC1平行.不正确,直线AA1与平面C1D1D2C2没有交点,因此直线AA1与平面C1D1D2C2平行.正确
14、,直线AA1与平面A1B1C1D1内的两条相交直线A1B1,A1D1垂直,因此直线AA1与平面A1B1C1D1垂直.正确,点A1到平面A2B2C2D2的距离为A2A1,点B1到平面A2B2C2D2的距离为B2B1,又A2A1=B2B1,因此距离相等.,方法技巧 以长方体为载体研究几何体中的点、线、面的关系,有助于形成空间观念,可以利用运动的观点来分析图形中的线面位置关系.,变式训练3-1:观察图,请指出它由哪些面和线组成?这些面和线具有什么特点?,解:图中的几何体由三个矩形和两个三角形组成.其交线共有9条,其中的两个三角形面互相平行,其余三个矩形面两两相交,其交线(即棱)互相平行.,谢谢观赏！,
