1、3 模拟方法概率的应用,1.几何概型的定义与特点 (1)定义 向平面上有限区域(集合)G内随机地投掷点M,若点M落在子区域G1G的概率与G1的面积成正比,而与G的形状、位置无关,即,则称这种模型为几何概型. (2)特点 试验中所有的可能出现的结果(基本事件)有无限多个. 每个基本事件出现的可能性相等.,名师点拨几何概型的概率计算方法 (1)把实际问题转化为几何图形问题. (2)计算基本事件空间与事件A包含的基本事件对应的区域测度(长度、面积、体积、角度等大小). (3)计算比值利用P(A)=,【做一做】 几何概型与古典概型的区别是( ) A.几何概型的基本事件是等可能的 B.几何概型的基本事件
2、的个数是有限的 C.几何概型的基本事件的个数是无限的 D.几何概型的基本事件不是等可能的 解析:几何概型是无限多个等可能事件的情况,而古典概型中的等可能事件只有有限多个. 答案:C,2.模拟方法 虽然可以通过做大量重复试验用随机事件发生的频率来估计其概率,但是,人工进行试验费时、费力,并且有时很难实现.因此,我们常常借助模拟方法来估计某些随机事件发生的概率.用模拟方法可以在短时间内完成大量的重复试验.对于某些无法确切知道概率的问题,模拟方法能帮助我们得到其概率的近似值.模拟方法在实际中有很多应用. 规律总结用模拟方法估算面积 (1)用模拟方法估算面积的关键是利用随机模拟法和几何概型的概率公式分
3、别求出几何概率,然后通过解方程得到相应部分面积的近似值. (2)对于较复杂的问题通常采用以下方法: 要设计一个图形,使其面积与某个常数有关; 设计一个几何概型; 设计适当的试验,并通过这个试验结果来计算所求结果的近似值.,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里画“”,错误的画“”. (1)事件M“从区间-5,5上任意取出一个数,求取到绝对值大于1的数的概率”是几何概型. ( ) (2)事件N“从区间-5,5上任意取出一个整数,求取到大于1且小于2的数的概率”是几何概型. ( ) (3)事件P“向一个边长为10 cm的正方形内投一点,求点离中心不超过1 cm的概率”是几何概型. (
4、 ) 答案:(1) (2) (3),探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,与长度有关的几何概型的求解 【例1】求解下列各题: (1)取一根长5 m的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得的两段绳子的长度都不小于2 m的概率是多少? (2)某公司的班车在7:00,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,求他等车时间不超过10分钟的概率. (3)在半径为1的圆周上任取两点,连接两点成一条弦,求弦长超过此圆内接正三角形边长的概率.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,分析:(1)剪断绳子的位置是任意的,且剪断的位置有无限多个,且
5、发生的可能性都是相等的,因此事件发生的可能性只与剪断位置所处的绳子段的长度有关; (2)用数轴画出班车发车时间与小明等车不超过10分钟需要到达车站时间段,然后利用线段的长度比值表示所求概型;(3)也是几何概型,应先寻找满足弦长等于此圆内接正三角形边长的点,再寻找满足弦长超过此圆内接正三角形边长的点,计算其长度,利用几何概型的概率公式计算.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,解:(1)如图所示,记事件A为“剪得的两段绳子的长度都不小于2 m”.把绳子分成三段,于是当剪断点处在中间一段时,事件A发生.因为中间一段绳子的长度是1 m,所以(2)如图所示,画出时间轴: 小明到达的时间会随机地
6、落在图中线段AB中,而当他的到达时间落在线段AC或DB时,才能保证他等车的时间不超过10分钟,根据几何概型得所求概率,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,反思感悟1.在求解与长度有关的几何概型时,首先找到几何区域D,区域D可能是一条线段或几条线段或曲线段,然后找到事件A发生时对应的区域d,在找区域d的过程中,确定边界点是问题的关键,但边界点是否取到不影响事件A的概率. 2.若试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示,则其概率的计算公式为P(A)=,3.这里的长度,可以指直线段的长度,也可以指曲线段的长度,还可以指时间的长度等.,探究一,探究
7、二,探究三,思维辨析,当堂检测,答案:4,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,与面积有关的几何概型的求解 【例2】 (1)如图所示,一半径为2的扇形(其中扇形中心角为90),在其内部随机地撒一粒黄豆,则它落在阴影部分的概率为 . (2)设点M(x,y)在|x|1,|y|1对应区域内均匀分布,试在此平面区域内取一点a,求点a距离边界不超过 的概率.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,反思感悟与面积有关的几何概型的概率求法 1.与面积有关的几何概型的概率公式:,2.解与面积有关的几何概型问题应注意: (1)根据题意确认所求问题的基本事件
8、是否与面积有关; (2)找出或构造随机事件对应的几何图形,并能求出有关图形的面积; (3)在研究射击、射箭、射门、投掷等问题时,常转化为几何概型,利用面积计算来求其概率.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,变式训练2(1)若x-2,2,y-2,2,则x2+y21的概率等于 . (2)(2018江苏苏州高一同步练习)射箭比赛的箭靶中有五个涂有不同颜色的圆环,从外向内分别为白色、黑色、蓝色、红色,靶心是金色,金色靶心叫“黄心”.奥运会的比赛靶面直径为122 cm,靶心直径为12.2 cm,运动员在一定距离外射箭,假设每箭都能中靶,且射中靶面内任意一点是等可能的,那么射中黄心的概率为多少?
9、,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,与体积有关的几何概型的求解【例3】已知正方体ABCD-A1B1C1D1内有一个内切球O,则在正方体ABCD-A1B1C1D1内任取点M,点M在球O内的概率是 . (2)有一杯2升的水,其中含有一个细菌,用一个小杯从这杯水中取出0.1升水,求小杯水中含有这个细菌的概率.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,反思感悟如果试验的结果所构成的区域可用体积来度量,我们要结合问题的背景,选择好观察角度,准确找出基本事件所占的总的体积及事件A所分布的体积.,探究一,探
10、究二,探究三,思维辨析,当堂检测,变式训练3有一杯2升的水,其中含有一个细菌,用一个小杯从这杯水中取出0.1升水,求小杯水中含有这个细菌的概率. 解:把判断这个细菌所在的位置看成一次试验,设“所取的0.1升水中含有这个细菌”为事件A, 则事件A构成的区域体积是0.1升,全部试验结果构成的区域体积是2升,所以,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,因选错几何度量而致误 【典例】在等腰直角三角形ABC中,过直角顶点C在ACB内部任作一条射线CM,与线段AB交于点M,求AMAC的概率.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,纠错心得虽然在线段上任取一点是等可能的,但过点C和任取的点所作的
11、射线是不均匀的,因而不能把等可能取点看作等可能作射线,因此不满足几何概型的条件.弄清基本事件的度量是正确解答本题的关键,本题基本事件的度量是ACB的大小而不是线段AB的长度,因此在解决几何概型的问题时,一定要结合题意分清观察的角度.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,1.在区间10,20内的所有实数中,随机取一个实数a,则a13的概率为( ),答案:C,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,解析:问题相当于在以O为球心,1为半径的球外,且在以O为球心,2为半径的球内任取一点,答案:A,探究一
12、,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,3.一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体容器内自由飞行,若小蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1,称其为“安全飞行”,则小蜜蜂“安全飞行”的概率为( ),答案:C,4.如图,在矩形ABCD中,点E为边CD的中点.若在矩形ABCD内部随机取一个点Q,则点Q取自ABE内部的概率等于( ),答案:C,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,5.已知圆C:x2+y2=9. (1)若连续掷两次质地均匀的骰子,记向上的点数分别为m,n,则点(m,n)在圆C内的概率是多少? (2)若m,n是任意两个实数,且m-4,4,n-5,5,则点(m,n)在圆C内的概率是多少?,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,解:(1)点在圆内需满足m2+n29,适合题意的点有(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)共4个.,(2)依题意,所有可能的点(m,n)可构成一个长、宽分别为10和8的矩形区域,如图.,
