1、2.3.3 直线与圆的位置关系,目标导航,新知探求,课堂探究,新知探求素养养成,知识探究,1.直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系有三种,分别是直线与圆 、 、 .,相离,相交,相切,点击进入 情境导学,2.直线和圆位置关系的判断 (1)代数法 将直线Ax+By+C=0和圆x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0)联立,得方程组消去y(或x)得mx2+nx+p=0(或ay2+by+q=0)利用判别式: 当=0时,直线与圆 ; 当0时,直线与圆 ; 当0时,直线与圆 .,相切,相交,相离,(2)几何法 已知直线Ax+By+C=0和圆(x-a)2+(y-b)2=r2,圆心到直线的距离d
2、= . 0dr直线与圆 . 3.过圆上一点P(x0,y0)作圆的切线,若圆的方程为x2+y2=r2,则切线方程为.,相交,相切,相离,x0x+y0y=r2,(2)若给出的点P(x0,y0)在圆外.则过该点作圆的切线有两条,可通过两种方法求圆的过P(x0,y0)的切线方程. 几何法:设出切线方程y-y0=k(x-x0)即kx-y-kx0+y0=0,利用圆心到直线的距离等于半径可得k值,从而确定出切线方程. 注意 若k有一个值,说明另一条切线斜率不存在,可直接写出.,代数法:利用P(x0,y0)点设出切线方程y-y0=k(x-x0)代入圆的方程得关于x(或y)的一元二次方程,由=0可求得k值,若k
3、只有一个值,说明另一条切线斜率不存在,可直接写出.原因是在设直线方程时,漏去了斜率不存在的直线. (3)关于圆的切线方程有以下结论 经过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的切线方程为x0x+y0y=r2. 经过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P(x0,y0)的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b) (y-b)=r2.,注意 求弦长时,应用几何法更为简便实用.,自我检测,A,1.直线x+y=1与圆x2+y2-2x=0的位置关系是( ) (A)相交 (B)相切 (C)相离 (D)不确定,C,C,4.设直线ax-y+3=0与圆(x-1)2+(y-2)2=4相交于A,B两点,且弦
4、AB的长为2 ,则a= .,答案:0,类型一,直线与圆的位置关系,课堂探究素养提升,【例1】 当m为何值时,直线mx-y-m-1=0与圆x2+y2-4x-2y+1=0相交、相切、相离?,方法技巧 利用上述两种方法都可进行判别,但几何法要比代数法更直观更简便,容易理解,凡涉及与圆有关的距离问题都可以转化为圆心到直线的距离来分析研究.,变式训练1-1:m为何值时,直线mx-y+2=0与圆x2+y2=1相交.,类型二,直线与圆的相切问题,【例2】 求过点P(1,-7)且与圆x2+y2=25相切的直线方程.,解:因为12+(-7)2=5025. 所以点P在圆外. 法一 设切线的斜率为k,由点斜式得 y
5、+7=k(x-1),即y=k(x-1)-7, 将代入圆的方程x2+y2=25, 得x2+k(x-1)-72=25, 整理得(k2+1)x2-(2k2+14k)x+k2+14k+24=0, =(2k2+14k)2-4(k2+1)(k2+14k+24)=0.,方法技巧 过一点求圆的切线,应首先判定点与圆的位置关系,若在圆上,则该点即为切点,可利用垂直求斜率,切线只有一条,若在圆外可根据此点设出切线方程,利用圆心到直线的距离等于半径求得斜率,这时切线有两条.,变式训练2-1:求过点P(-1,5)且与圆(x-1)2+(y-2)2=4相切的直线方程.,(2)当斜率k不存在时,直线方程为x=-1,此时与圆
6、正好相切. 综上,所求圆的切线方程为x=-1或5x+12y-55=0.,类型三,直线与圆的相交问题,【例3】 直线l经过点P(5,5)且和圆O:x2+y2=25相交截得弦长为4 ,求直线l的方程.,方法技巧 此题应从直线的斜率存在和不存在两方面综合考虑,若斜率不存在,可直接写出直线方程x=5,若斜率存在,应设出点斜式方程求解,显然几何法优于代数法.,变式训练3-1:直线x+ y+m=0与圆x2+y2-4x-6=0相交于A,B两点,若|AB| 2,则m的取值范围是( ) (A)-8,8 (B)-4,4 (C)-8,4 (D)-4,8,类型四,直线与圆的综合问题,【例4】 已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=4和直线l:kx-y-4k+3=0, (1)求证:不论k取何值,直线和圆总相交;,(1)证明:由圆的方程(x-3)2+(y-4)2=4得圆心(3,4),半径r=2, 由直线方程得l:k(x-4)+(3-y)=0, 即直线l过定点(4,3),而(4-3)2+(3-4)2=24, 所以(4,3)点在圆内. 故直线kx-y-4k+3=0与圆C总相交.,(2)求当k取何值时,圆被直线l截得弦最短,并求此最短值.,方法技巧 通过分析圆的性质寻找解题途径,由于直线可以看作是绕定点(4,3)旋转的动直线,在旋转过程中,当弦最短时,弦心距最长.,谢谢观赏！,
